Distribuzioni di carica da determinare
Ciao a tutti, sto avendo difficoltà a definire le distribuzioni di carica date da questo problema:
In un sistema di coordinate polari cilindriche, è dato il seguente campo elettrico: $E_rho = -h/rho$, $E_phi = 0$, $E_z = kz$, con $k = 1.70 V/m^2$ ($k$ non è $1/(4piepsilon_0)$) e $h = 1.50 V$. Si consideri la distribuzione di carica che genera un tale campo e un cilindro degenere avente per asse l'asse z. Determinare il raggio di un tale cilindro che contenga complessivamente carica nulla.
Ho pensato di risolverlo così: calcolando il flusso attraverso il cilindro, ovvero il flusso di $E_z$ attraverso le due basi del cilindro (una in z = 0, in modo che quel flusso sia nullo, e una in $\bar z$, con $rho$ che varia tra 0 e $\bar rho$) e quello di $E_rho$ attraverso la superficie cilindrica, con z che varia tra 0 e $\bar z$.
Ora in questo modo ho due incognite, l'altezza z e il raggio $rho$ del cilindro, quindi ho pensato di calcolare la carica interna al cilindro (che deve essere nulla) come la somma tra la distribuzione di carica che genera $E_rho$ e quella che genera $E_z$. La distribuzione che genera $E_rho$ dovrebbe essere un filo infinito lungo z, con densità lineare di carica $lambda = -2piepsilon_0h$, ma non riesco a capire come trovare la distribuzione che genera $E_z$. Ho pensato a calcolare la divergenza (che viene $k$) ma non riesco a capirne il senso fisico, visto che per il teorema della divergenza $kepsilon_0$ dovrebbe essere la densità di carica nei punti del volume che considero come dominio del campo. Come faccio a integrare questa densità di carica se non so a cosa è dovuta?
Grazie a chi vorrà aiutarmi :)
In un sistema di coordinate polari cilindriche, è dato il seguente campo elettrico: $E_rho = -h/rho$, $E_phi = 0$, $E_z = kz$, con $k = 1.70 V/m^2$ ($k$ non è $1/(4piepsilon_0)$) e $h = 1.50 V$. Si consideri la distribuzione di carica che genera un tale campo e un cilindro degenere avente per asse l'asse z. Determinare il raggio di un tale cilindro che contenga complessivamente carica nulla.
Ho pensato di risolverlo così: calcolando il flusso attraverso il cilindro, ovvero il flusso di $E_z$ attraverso le due basi del cilindro (una in z = 0, in modo che quel flusso sia nullo, e una in $\bar z$, con $rho$ che varia tra 0 e $\bar rho$) e quello di $E_rho$ attraverso la superficie cilindrica, con z che varia tra 0 e $\bar z$.
Ora in questo modo ho due incognite, l'altezza z e il raggio $rho$ del cilindro, quindi ho pensato di calcolare la carica interna al cilindro (che deve essere nulla) come la somma tra la distribuzione di carica che genera $E_rho$ e quella che genera $E_z$. La distribuzione che genera $E_rho$ dovrebbe essere un filo infinito lungo z, con densità lineare di carica $lambda = -2piepsilon_0h$, ma non riesco a capire come trovare la distribuzione che genera $E_z$. Ho pensato a calcolare la divergenza (che viene $k$) ma non riesco a capirne il senso fisico, visto che per il teorema della divergenza $kepsilon_0$ dovrebbe essere la densità di carica nei punti del volume che considero come dominio del campo. Come faccio a integrare questa densità di carica se non so a cosa è dovuta?
Grazie a chi vorrà aiutarmi :)
Risposte
Credo che la soluzione sia più semplice.
Il flusso del campo sulle basi del cilindro vale (qualunque sia l'altezza scelta come riferimento)
$Phi_(text(basi)) = k*bar z*pi * bar rho^2$
mentre quello sulla superficie laterale:
$Phi_(text(sup.lat.))=2*pi*bar rho*bar z*(-h/bar rho) = -2*pi*h*bar z$
Sommando i due contributi e imponendo che per il T. di Gauss tale somma sia nulla, si avrà;
$bar rho = sqrt(2*h/k)$
Il flusso del campo sulle basi del cilindro vale (qualunque sia l'altezza scelta come riferimento)
$Phi_(text(basi)) = k*bar z*pi * bar rho^2$
mentre quello sulla superficie laterale:
$Phi_(text(sup.lat.))=2*pi*bar rho*bar z*(-h/bar rho) = -2*pi*h*bar z$
Sommando i due contributi e imponendo che per il T. di Gauss tale somma sia nulla, si avrà;
$bar rho = sqrt(2*h/k)$
Grazie ancora ingres. Non vedevo a un dito dal mio naso :///
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