Distribuzione velocità gas perfetto
Un gas perfetto, costituito da molecole uguali, ciascuna di massa m, è contenuto in un recipiente alla temperatura T.
Si consideri un sistema di riferimento S rispetto al quale il recipiente si muove di moto traslatorio con velocità U;
si calcoli, rispetto al sistema S,
a) la velocità quadratica media molecolare $\overline{V^2}$,
b) la funzione di distribuzione $\rho ( V)$ del modulo delle velocità V.
il mio tentativo di soluzione del punto a):
$$\overline{V_S^2} = \overline{(\vec{V}+\vec{U})^2} = \overline{V^2} + U^2 + 2U\overline{V}$$
usando la distribuzione di maxwell ricavo:
$$\overline{V^2} = \frac{3 K_B T}{m}$$
quindi
$$\overline{V_S^2} = \frac{3 K_B T}{m} + U^2 + 2U\overline{V}$$
La soluzione del libro invece è diversa manca l' ultimo termine:
$$\overline{V_S^2} = \frac{3 K_B T}{m} + U^2$$
Dove sbaglio?
Il punto b) non ho proprio idea di come farlo.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano.
Si consideri un sistema di riferimento S rispetto al quale il recipiente si muove di moto traslatorio con velocità U;
si calcoli, rispetto al sistema S,
a) la velocità quadratica media molecolare $\overline{V^2}$,
b) la funzione di distribuzione $\rho ( V)$ del modulo delle velocità V.
il mio tentativo di soluzione del punto a):
$$\overline{V_S^2} = \overline{(\vec{V}+\vec{U})^2} = \overline{V^2} + U^2 + 2U\overline{V}$$
usando la distribuzione di maxwell ricavo:
$$\overline{V^2} = \frac{3 K_B T}{m}$$
quindi
$$\overline{V_S^2} = \frac{3 K_B T}{m} + U^2 + 2U\overline{V}$$
La soluzione del libro invece è diversa manca l' ultimo termine:
$$\overline{V_S^2} = \frac{3 K_B T}{m} + U^2$$
Dove sbaglio?
Il punto b) non ho proprio idea di come farlo.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano.
Risposte
Poiché la densità di probabilità è una funzione pari rispetto a ogni componente della velocità:
la media di ciascuna componente si ricava integrando una funzione dispari. Insomma, la probabilità che una molecola abbia una determinata velocità vettoriale è uguale alla probabilità che abbia una velocità vettoriale di verso opposto. Ergo, la velocità vettoriale media è nulla.
la media di ciascuna componente si ricava integrando una funzione dispari. Insomma, la probabilità che una molecola abbia una determinata velocità vettoriale è uguale alla probabilità che abbia una velocità vettoriale di verso opposto. Ergo, la velocità vettoriale media è nulla.
Inizio col ringraziarla,
( In realtà il punto a) ero riuscito a risolverlo nel frattempo )
Ora sono bloccato col punto b)
la soluzione del libro è:
$$ \rho(V_S)=\left({\frac{m}{2K_BT}}\right)^{1/2}\frac{V_S}{U}\left (exp\left({-\frac{m(V_S-U)^2}{2K_BT}}\right)-\exp\left({-\frac{m(V_S+U)^2}{2K_BT}}\right)\right ) $$
Non so come impostare il problema:
L' unica cosa che mi viene in mente è che
la probabilità che una particella abbia velocità $\vec(V_s)$
è uguale alla probabilità che la stessa abbia velocità $\vec(V)-\vec(U)$ ma non saprei come continuare.
( In realtà il punto a) ero riuscito a risolverlo nel frattempo )
Ora sono bloccato col punto b)
la soluzione del libro è:
$$ \rho(V_S)=\left({\frac{m}{2K_BT}}\right)^{1/2}\frac{V_S}{U}\left (exp\left({-\frac{m(V_S-U)^2}{2K_BT}}\right)-\exp\left({-\frac{m(V_S+U)^2}{2K_BT}}\right)\right ) $$
Non so come impostare il problema:
L' unica cosa che mi viene in mente è che
la probabilità che una particella abbia velocità $\vec(V_s)$
è uguale alla probabilità che la stessa abbia velocità $\vec(V)-\vec(U)$ ma non saprei come continuare.
Legge di composizione delle velocità
$[vecv=vecV-vecU] rarr [v^2=V^2+U^2-2vecV*vecU]$
Densità di probabilità del modulo v della velocità relativa
$f(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z=(m/(2\pikT))^(3/2)exp[-(mv^2)/(2kT)]dv_xdv_ydv_z$
Densità di probabilità del modulo V della velocità assoluta
$f(V_x,V_y,V_z)dV_xdV_ydV_z=(m/(2\pikT))^(3/2)exp[-(m(V^2+U^2-2vecV*vecU))/(2kT)]dV_xdV_ydV_z=$
$=(m/(2\pikT))^(3/2)exp[-(m(V^2+U^2-2VUcos\theta))/(2kT)]V^2sin\thetad\phid\thetadV$
(essendo $vecU$ diretto positivamente lungo l'asse z)
Integrazione sulle variabili angolari
$2\pi(m/(2\pikT))^(1/2)exp[-(m(V^2+U^2-2VUcos\theta))/(2kT)]1/(2\pi)V/U(mVU)/(kT)sin\thetad\thetadV=$
$=-(m/(2\pikT))^(1/2)V/U[exp[-(m(V^2+U^2-2VUcos\theta))/(2kT)]]_0^\pidV=$
$=(m/(2\pikT))^(1/2)V/U{exp[-(m(V-U)^2)/(2kT)]-exp[-(m(V+U)^2)/(2kT)]}dV$
Grazie mille sei stato molto chiaro.
Un ultimo dubbio: il fatto di prendere U parallelo all' asse z è arbitrario?
Se avessi preso U parallelo all' asse x avrei avuto problemi a fare l' integrale ma in teoria il risultato finale doveva essere uguale?
Un ultimo dubbio: il fatto di prendere U parallelo all' asse z è arbitrario?
Se avessi preso U parallelo all' asse x avrei avuto problemi a fare l' integrale ma in teoria il risultato finale doveva essere uguale?
Affermativo. Se $vecU$ è diretto positivamente lungo l'asse z, più precisamente, lungo l'asse $V_z$, l'angolo che esso forma con $vecV$ è uguale all'angolo $\theta$ delle coordinate sferiche.
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