Distribuzione sferica con cavità all'interno
Ho il seguente problema di elettrostatica:
Un guscio sferico di 10 cm di raggio, con una cavità concentrica vuota di 5 cm di raggio, ha nella zona non vuota una densità di carica uniforme di 0.2 mC/m^3. Determinare in funzione della distanza radiale (e fornirne un grafico):
1) il campo elettrico
2) il potenziale elettrostatico
3) le derivate esterne e interne sulle superfici limite tra pieno e vuoto delle grandezze precedenti
Ho dei dubbi a riguardo. Dato che la densità di carica è uniforme, io penserei che il campo elettrico nella cavità vuota è nullo, e quindi dato che $E=-\nabla\phi(r)$, il potenziale raggiunge il valore massimo qui. Il campo elettrico all'esterno invece io lo calcolerei con Gauss, quindi
$E(r)=\frac{Q(r)}{4\pir^2\epsilon_0}$
Dove, in coordinate sferiche, e con $r_1=5$, $r_2=10$
$Q(r)=\int_{r_1}^{r_2}(r')^2 \rho(r')dr'\int_{0}^{2\pi}d\alpha\int_{0}^{\pi}d\beta$
analogamente, il potenziale sarà
$\phi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{V}dV\frac{\rho(r')}{|r|}$
Riguardo al terzo punto ho dei dubbi, penso che per "derivate" intenda il gradiente del potenziale e il gradiente del campo elettrostatico; vedete dei problemi nello svolgimento dell'esercizio o cosa? Cosa sto dimenticando/sbagliando?
Un guscio sferico di 10 cm di raggio, con una cavità concentrica vuota di 5 cm di raggio, ha nella zona non vuota una densità di carica uniforme di 0.2 mC/m^3. Determinare in funzione della distanza radiale (e fornirne un grafico):
1) il campo elettrico
2) il potenziale elettrostatico
3) le derivate esterne e interne sulle superfici limite tra pieno e vuoto delle grandezze precedenti
Ho dei dubbi a riguardo. Dato che la densità di carica è uniforme, io penserei che il campo elettrico nella cavità vuota è nullo, e quindi dato che $E=-\nabla\phi(r)$, il potenziale raggiunge il valore massimo qui. Il campo elettrico all'esterno invece io lo calcolerei con Gauss, quindi
$E(r)=\frac{Q(r)}{4\pir^2\epsilon_0}$
Dove, in coordinate sferiche, e con $r_1=5$, $r_2=10$
$Q(r)=\int_{r_1}^{r_2}(r')^2 \rho(r')dr'\int_{0}^{2\pi}d\alpha\int_{0}^{\pi}d\beta$
analogamente, il potenziale sarà
$\phi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{V}dV\frac{\rho(r')}{|r|}$
Riguardo al terzo punto ho dei dubbi, penso che per "derivate" intenda il gradiente del potenziale e il gradiente del campo elettrostatico; vedete dei problemi nello svolgimento dell'esercizio o cosa? Cosa sto dimenticando/sbagliando?
Risposte
Data la simmetria sferica del sistema, Il teorema di Gauss lo puoi applicare per determinare il campo per qualsiasi valore di r, anche nella cavità. Applicandolo, trovi che:
- nella cavità è nullo, (la carica racchiusa dalla superficie di prova è sempre zero). Tu hai detto giustamente che il campo qui è nullo ma il motivo è essenzialmente la simmetria sferica del sistema
- nella regione tra le due superfici, va bene la formula che hai scritto con alcune importanti correzioni; nell'integrale in \(\displaystyle d\beta \) ti sei perso un \(\displaystyle \cos \beta \) e poi il secondo estremo di integrazione in \(\displaystyle dr \) deve essere il generico \(\displaystyle r \) e non \(\displaystyle r_{2} \) altrimenti includeresti tutta la carica e poi perdi la dipendenza da r. Tieni presente poi che tale formula vale solo per la regione tra le due superfici e non anche all'esterno della sfera più grande. L'integrazione è semplice, perché l'hai lasciata solo indicata?
- fuori dalla sfera piu grande, il campo è \(\displaystyle E(r)=\frac{Q_{totale}}{4\pi \epsilon_{0}r^2} \) dove \(\displaystyle Q_{totale} \) la trovi facilmente moltiplicando il volume tra le due superfici per la densità di carica.
Per trovare il potenziale, basta osservare che \(\displaystyle \vec E = - \vec \nabla \phi \); considerando il gradiente in coordinate sferiche e la dipendenza del campo solo da r, questa formula dà semplicemente \(\displaystyle \phi (r) = -\int E(r)dr \) che si fa facilmente.
La formula data da te per il potenziale è quella generale (...ma c'è un errore: al denominatore devi mettere |r - r'|); però dare la formula generale senza adattarla al caso particolare dell'esercizio serve poco...
Per il terzo punto non credo di aver capito bene cosa chieda. se intende le derivate direzionali rispetto alla direzione radiale, basta derivare le formule sopra, tenendo conto che quando derivi "verso l'origine" devi mettere un segno meno.
PS: ho l'impressione che tu abbia usato formule delle quali non conosci bene il significato o l'applicazione...sbaglio?
- nella cavità è nullo, (la carica racchiusa dalla superficie di prova è sempre zero). Tu hai detto giustamente che il campo qui è nullo ma il motivo è essenzialmente la simmetria sferica del sistema
- nella regione tra le due superfici, va bene la formula che hai scritto con alcune importanti correzioni; nell'integrale in \(\displaystyle d\beta \) ti sei perso un \(\displaystyle \cos \beta \) e poi il secondo estremo di integrazione in \(\displaystyle dr \) deve essere il generico \(\displaystyle r \) e non \(\displaystyle r_{2} \) altrimenti includeresti tutta la carica e poi perdi la dipendenza da r. Tieni presente poi che tale formula vale solo per la regione tra le due superfici e non anche all'esterno della sfera più grande. L'integrazione è semplice, perché l'hai lasciata solo indicata?
- fuori dalla sfera piu grande, il campo è \(\displaystyle E(r)=\frac{Q_{totale}}{4\pi \epsilon_{0}r^2} \) dove \(\displaystyle Q_{totale} \) la trovi facilmente moltiplicando il volume tra le due superfici per la densità di carica.
Per trovare il potenziale, basta osservare che \(\displaystyle \vec E = - \vec \nabla \phi \); considerando il gradiente in coordinate sferiche e la dipendenza del campo solo da r, questa formula dà semplicemente \(\displaystyle \phi (r) = -\int E(r)dr \) che si fa facilmente.
La formula data da te per il potenziale è quella generale (...ma c'è un errore: al denominatore devi mettere |r - r'|); però dare la formula generale senza adattarla al caso particolare dell'esercizio serve poco...
Per il terzo punto non credo di aver capito bene cosa chieda. se intende le derivate direzionali rispetto alla direzione radiale, basta derivare le formule sopra, tenendo conto che quando derivi "verso l'origine" devi mettere un segno meno.
PS: ho l'impressione che tu abbia usato formule delle quali non conosci bene il significato o l'applicazione...sbaglio?
Si, ma quella formula generale appunto si riconduce a quell'integrale del campo elettrico rispetto a r sostituendo; comunque ho capito, avevo solo qualche dubbio a riguardo! Per il terzo punto, penso che semplicemente chieda
$\lim_{r\rightarrow r_1-}\frac{dE(r)}{dr}$
$\lim_{r\rightarrow r_1+}\frac{dE(r)}{dr}$
e stessa cosa per il potenziale. Grazie dell'aiuto comunque!
$\lim_{r\rightarrow r_1-}\frac{dE(r)}{dr}$
$\lim_{r\rightarrow r_1+}\frac{dE(r)}{dr}$
e stessa cosa per il potenziale. Grazie dell'aiuto comunque!
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