Distribuzione maxwelliana - corrente attraverso un piano
Ho un numero [tex]$n$[/tex] di elettroni con velocità distribuite alla Maxwell. La corrente attraverso un piano è [tex]$J=nq \frac{\bar{v}}{4}$[/tex]. Come si giustifica il fattore 1/4?
Risposte
Non capisco bene cosa chiede l'esercizio.. alla Maxwell significa solo relativamente al modulo della velocità o anche in direzione?
Credo che il risultato dipenda dalla densità di elettroni nello spazio oltre che dalla loro distribuzione di velocità.
Credo che il risultato dipenda dalla densità di elettroni nello spazio oltre che dalla loro distribuzione di velocità.
Non lo prendete come un esercizio, cercavo solo di giustificare l'affermazione del mio libro di dispositivi elettronici. Non so bene se la distribuzione maxwelliana riguardi anche le direzioni, comunque devo calcolare la corrente degli elettroni abbastanza energetici da superare una barriera [tex]$\phi_B$[/tex]; Approssimando la Fermi-Dirac con la Maxwell-Boltzmann per la distribuzione dell'energia, [tex]$F(E)$[/tex], questo numero è
[tex]$n=\int_{q \phi_B}^{\infty} N(E)F(E)\text{d}E=N_Ce^{\displaystyle -\frac{q(\phi_B-V)}{kT}}$[/tex].
Ora (quotando il libro) "it is known that for a Maxwellian distribution of velocities, the current from random motion of carriers across a plane is given by [tex]$J=nq \frac{v_{av}}{4}$[/tex], where [tex]$v_{av}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m^*}}$[/tex] is the average thermal velocity".
[tex]$n=\int_{q \phi_B}^{\infty} N(E)F(E)\text{d}E=N_Ce^{\displaystyle -\frac{q(\phi_B-V)}{kT}}$[/tex].
Ora (quotando il libro) "it is known that for a Maxwellian distribution of velocities, the current from random motion of carriers across a plane is given by [tex]$J=nq \frac{v_{av}}{4}$[/tex], where [tex]$v_{av}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m^*}}$[/tex] is the average thermal velocity".
Mi sembra, ai tempi dello studio, di averlo affrontato in questo modo. La distribuzione di Maxwell delle velocità, per ciascuna componente, è [tex]$f(v_i)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}}e^{-\frac{mv_i^2}{2kT}}$[/tex]. Suppongo che il campione di particelle si trovi a sx del piano, la cui normale è l'asse [tex]Ox[/tex], quindi il contributo alla corrente è dato dalle particelle che hanno componente [tex]v_x[/tex] positiva, e per un suo determinato valore è [tex]$j_x=nqv_xf(v_x)f(v_y)f(v_z)$[/tex]. Mediando su [tex]v_y[/tex] e [tex]v_z[/tex] si ottengono dei fattori [tex]1[/tex] (le distribuzione è già normalizzata), mentre [tex]$=\sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}}\int_0^\infty dv_x v_x e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}}=\sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}} \frac{kT}{m}=\sqrt{\frac{kT}{2 \pi m}}= \frac{v_{av}}{4}$[/tex],
"elgiovo":
Non lo prendete come un esercizio, cercavo solo di giustificare l'affermazione del mio libro di dispositivi elettronici. Non so bene se la distribuzione maxwelliana riguardi anche le direzioni, comunque devo calcolare la corrente degli elettroni abbastanza energetici da superare una barriera [tex]$\phi_B$[/tex]; Approssimando la Fermi-Dirac con la Maxwell-Boltzmann per la distribuzione dell'energia, [tex]$F(E)$[/tex], questo numero è
[tex]$n=\int_{q \phi_B}^{\infty} N(E)F(E)\text{d}E=N_Ce^{\displaystyle -\frac{q(\phi_B-V)}{kT}}$[/tex].
Ora (quotando il libro) "it is known that for a Maxwellian distribution of velocities, the current from random motion of carriers across a plane is given by [tex]$J=nq \frac{v_{av}}{4}$[/tex], where [tex]$v_{av}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m^*}}$[/tex] is the average thermal velocity".
Non riesco a capire il significato dei simboli che hai utilizzato
. $n$ dovrebbe essere un dato del problema.Inizialmente non avevo inteso che fosse presente un potenziale in funzione di una coordinata...
Gli $n$ elettroni ad un dato istante si trovano in una data configurazione. Potremmo dire, correggetemi se sbaglio, che ad un certo istante è definita la distribuzione di probabilità di trovare un elettrone in funzione del punto. Inoltre è presente una data distribuzione di velocità degli elettroni, la maxwelliana, che normalmente è valida in condizioni stazionarie, e le direzioni sono equiprobabili.
Perchè volendo ricavare gli elettroni che superano una superficie si calcolano tutti gli elettroni che, essendo inizialmente distribuiti in un certo spazio, hanno velocità media lungo un asse positiva.
In condizioni stazionarie comunque la velocità media dovrebbe essere un vettore nullo, essendo le direzioni equiprobabili.
"nnsoxke":
Non riesco a capire il significato dei simboli che hai utilizzato
Infatti, è un dato. Si calcola con l'integrale sopra.
"nnsoxke":
Inizialmente non avevo inteso che fosse presente un potenziale in funzione di una coordinata...
Gli $n$ elettroni ad un dato istante si trovano in una data configurazione. Potremmo dire, correggetemi se sbaglio, che ad un certo istante è definita la distribuzione di probabilità di trovare un elettrone in funzione del punto. Inoltre è presente una data distribuzione di velocità degli elettroni, la maxwelliana, che normalmente è valida in condizioni stazionarie, e le direzioni sono equiprobabili. Perchè volendo ricavare gli elettroni che superano una superficie si calcolano tutti gli elettroni che, essendo inizialmente distribuiti in un certo spazio, hanno velocità media lungo un asse positiva.
La [tex]$\psi$[/tex] degli elettroni la lascerei da parte, non mi sembra abbia un ruolo qui. Per il resto sono d'accordo.
"nnsoxke":
In condizioni stazionarie comunque la velocità media dovrebbe essere un vettore nullo, essendo le direzioni equiprobabili.
Quella complessiva è nulla, ma a me interessa la [tex]$\langle v_x \rangle$[/tex]. Io mi ritrovo col calcolo di Cmax (grazie, a proposito), cos'è che non ti convince?
Non so se la $v_x$ media dovrebbe essere nulla, come le altre componenti, se la distribuzione fosse esattamente maxwelliana, in base alla definizione di maxwelliana.
Ciò che più non mi quadra è che non vedo una dipendenza dalla distribuzione degli n elettroni nello spazio, che secondo me ci dovrebbe essere. Facendo un esempio per rendere l'idea: se gli elettroni, o portatori di cariche, fossero distribuiti, con la stessa distribuzione di velocità, in maniera da avere una distanza media più o meno grande dallo stesso piano, il risultato non dovrebbe variare?
Ciò che più non mi quadra è che non vedo una dipendenza dalla distribuzione degli n elettroni nello spazio, che secondo me ci dovrebbe essere. Facendo un esempio per rendere l'idea: se gli elettroni, o portatori di cariche, fossero distribuiti, con la stessa distribuzione di velocità, in maniera da avere una distanza media più o meno grande dallo stesso piano, il risultato non dovrebbe variare?
Ma gli [tex]$n$[/tex] elettroni si trovano già sul piano in questione. La densità elettronica in un semiconduttore varia punto per punto con l'andamento delle bande di energia (o del potenziale):
[tex]$n(x)=n_i\text{exp}\left(-\frac{E_i(x)-E_F}{kT}\right)=N_C\text{exp}\left(-\frac{E_C(x)-E_F}{kT}\right)$[/tex]
In [tex]$x=0$[/tex] si ha che [tex]$E_C(0)=q\phi_B$[/tex].
[tex]$n(x)=n_i\text{exp}\left(-\frac{E_i(x)-E_F}{kT}\right)=N_C\text{exp}\left(-\frac{E_C(x)-E_F}{kT}\right)$[/tex]
In [tex]$x=0$[/tex] si ha che [tex]$E_C(0)=q\phi_B$[/tex].
Gli elettroni dovrebbero essere distribuiti in un volume all'interno del conduttore...
Vorrei capire bene in base a cosa varia la densità elettronica e quali sono gli affetti.
Per esempio, consideriamo una termocoppia, cioè due conduttori di metalli diversi giuntati agli estremi, i quali sono posti a due temperature diverse.
Si verifica che tra i due giunti è presente una differenza di potenziale, dipendente dalla differenza di temperatura e dai metalli utilizzati.
Come si spiega questo fenomeno?
Quando i due giunti vengono posti alla stessa temperatura da cosa dipende la distribuzione elettronica?
Vorrei capire bene in base a cosa varia la densità elettronica e quali sono gli affetti.
Per esempio, consideriamo una termocoppia, cioè due conduttori di metalli diversi giuntati agli estremi, i quali sono posti a due temperature diverse.
Si verifica che tra i due giunti è presente una differenza di potenziale, dipendente dalla differenza di temperatura e dai metalli utilizzati.
Come si spiega questo fenomeno?
Quando i due giunti vengono posti alla stessa temperatura da cosa dipende la distribuzione elettronica?
Nel caso della termocoppia, la [tex]$\Delta V$[/tex] ai capi della giunzione è dovuta alla differenza delle work function dei due metalli: i loro livelli di Fermi si equilibrano finché la struttura ne possiede uno solo (questo comporta che parte degli elettroni più energetici si riversi nella "vasca" di quelli meno energetici), sicché
[tex]$\Delta V = - \frac{\phi_A - \phi_B}{q}$[/tex].
In questo caso però non c'è corrente, è una [tex]$\Delta V$[/tex] analoga al potenziale di built-in dei diodi, e serve al sistema per riportarsi in equilibrio. Se
[tex]$\frac{\text{d}\phi_A}{\text{d}T} \ne \frac{\text{d}\phi_B}{\text{d}T}$[/tex]
allora [tex]$\Delta V=\Delta V(T)$[/tex], altrimenti la [tex]$\Delta V$[/tex] rimane costante con la temperatura.
La distribuzione elettronica in un materiale dipende dall'andamento del livello di Fermi, in particolare dalla sua distanza dal fondo della banda di conduzione. In un semiconduttore puoi modularla (tramite drogaggio, oppure causando un qualche piegamento delle bande), in un metallo è quasi impossibile, perché il Fermi è molto più su della banda di conduzione e hai elettroni a volontà.
[tex]$\Delta V = - \frac{\phi_A - \phi_B}{q}$[/tex].
In questo caso però non c'è corrente, è una [tex]$\Delta V$[/tex] analoga al potenziale di built-in dei diodi, e serve al sistema per riportarsi in equilibrio. Se
[tex]$\frac{\text{d}\phi_A}{\text{d}T} \ne \frac{\text{d}\phi_B}{\text{d}T}$[/tex]
allora [tex]$\Delta V=\Delta V(T)$[/tex], altrimenti la [tex]$\Delta V$[/tex] rimane costante con la temperatura.
La distribuzione elettronica in un materiale dipende dall'andamento del livello di Fermi, in particolare dalla sua distanza dal fondo della banda di conduzione. In un semiconduttore puoi modularla (tramite drogaggio, oppure causando un qualche piegamento delle bande), in un metallo è quasi impossibile, perché il Fermi è molto più su della banda di conduzione e hai elettroni a volontà.
Questo significa che gli elettroni sono praticamente quasi liberi da poterli considerare come un gas di particelle che attraversano (urtano in condizioni stazionarie) il piano.
Non ho ben capito cosa intendi quando scrivi che gli elettroni si trovano già sul piano, penso che andrebbe specificato meglio.
Dunque gli elettroni che "si trovano già sul piano" sono considerati come se fossero delle particelle libere, mentre quelli che non sono sul piano (ammesso che ce ne siano) non sono liberi e quindi non contribuiscono alla corrente attraverso il piano.
Cosa cambia tra questi e gli altri? Non ho capito bene come interagiscono con gli atomi (se sono presenti anche questi, inizialmente ho letto solo elettroni)
Non ho ben capito cosa intendi quando scrivi che gli elettroni si trovano già sul piano, penso che andrebbe specificato meglio.
Dunque gli elettroni che "si trovano già sul piano" sono considerati come se fossero delle particelle libere, mentre quelli che non sono sul piano (ammesso che ce ne siano) non sono liberi e quindi non contribuiscono alla corrente attraverso il piano.
Cosa cambia tra questi e gli altri? Non ho capito bene come interagiscono con gli atomi (se sono presenti anche questi, inizialmente ho letto solo elettroni)
Dunque gli elettroni che "si trovano già sul piano" sono considerati come se fossero delle particelle libere, mentre quelli che non sono sul piano (ammesso che ce ne siano) non sono liberi e quindi non contribuiscono alla corrente attraverso il piano.
No, non direi. Gli elettroni in banda di conduzione sono tutti liberi.
Però ad un certo istante la corrente attraverso il piano sarà data dagli elettroni che si trovano sul piano (di cui sappiamo la numerosità) e che hanno velocità $v_x$ diretta nel verso opposto della corrente (opposto perché quando si definì la corrente elettrica non si sapeva se i portatori erano positivi o negativi).
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