Distribuzione di Maxwell-Boltzmann della velocità in due dim
Ciao a tutti
mi trovo a dover calcolare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann della velocità in due dimensioni.
La spiegazione su come farlo in pratica è stata data già dal professore in classe, però ho dei seri problemi a capire alcuni passaggi
Il professore dice :
se partiamo da $f(v_{x}) = C\cdot e^{-\frac{mV_{x}^{2}}{2kT}}$
che normato mi da $\int_{-oo}^{oo} f(V_{x}) dV_{x} = 1$
allora abbiamo che, su due dimensioni:
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}f(V_{x})f(V_{y}) = 1 $
che diventa
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}C^{2}\cdot e^{-\frac{m}{2kT}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2})} $
se consideriamo che
$V_{x}^{2}+V_{y}^{2} = V_{x}^{2}$
allora
$2 \pi V dV = dV_{x}dV_{y}$
perdonate l'ignoranza ma questo passaggio non mi è per nulla chiaro!!!
da dove spunta il $\pi$ ?
poi prosegue dicendo: "fatta questa sostituzione otteniamo":
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}C^{2}\cdot e^{-\frac{m}{2kT}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2})} = 2 \pi C^{2} \int_{0}^{oo} V e^{-\frac{m}{2kT}(V^{2})} dV $
secondo dubbio... perchè l'integrale tra $-oo$ e $oo$ diventa tra $0$ e $oo$?
immagino che le mie domande abbiano risposte scontate, ma sinceramente non ci arrivo proprio.
Grazie mille
Ciao
mi trovo a dover calcolare la distribuzione di Maxwell-Boltzmann della velocità in due dimensioni.
La spiegazione su come farlo in pratica è stata data già dal professore in classe, però ho dei seri problemi a capire alcuni passaggi
Il professore dice :
se partiamo da $f(v_{x}) = C\cdot e^{-\frac{mV_{x}^{2}}{2kT}}$
che normato mi da $\int_{-oo}^{oo} f(V_{x}) dV_{x} = 1$
allora abbiamo che, su due dimensioni:
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}f(V_{x})f(V_{y}) = 1 $
che diventa
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}C^{2}\cdot e^{-\frac{m}{2kT}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2})} $
se consideriamo che
$V_{x}^{2}+V_{y}^{2} = V_{x}^{2}$
allora
$2 \pi V dV = dV_{x}dV_{y}$
perdonate l'ignoranza ma questo passaggio non mi è per nulla chiaro!!!
da dove spunta il $\pi$ ?
poi prosegue dicendo: "fatta questa sostituzione otteniamo":
$\int_{-oo}^{oo} dV_{x}\int_{-oo}^{oo} dV_{y}C^{2}\cdot e^{-\frac{m}{2kT}(V_{x}^{2}+V_{y}^{2})} = 2 \pi C^{2} \int_{0}^{oo} V e^{-\frac{m}{2kT}(V^{2})} dV $
secondo dubbio... perchè l'integrale tra $-oo$ e $oo$ diventa tra $0$ e $oo$?
immagino che le mie domande abbiano risposte scontate, ma sinceramente non ci arrivo proprio.
Grazie mille
Ciao
Risposte
Mediante questa trasformazione:
Vx = Vcos(a)
Vy = Vsen(a)
dove V^2 = Vx^2 + Vy^2 è il quadrato del modulo della velocità, puoi svolgere la parte dell'integrale che interessa, quella rispetto alla variabile a, molto più velocemente. In pratica sono coordinate polari nello spazio delle velocità. Se hai qualche rudimento di integrali doppi non dovresti avere difficoltà nel proseguire.
Vx = Vcos(a)
Vy = Vsen(a)
dove V^2 = Vx^2 + Vy^2 è il quadrato del modulo della velocità, puoi svolgere la parte dell'integrale che interessa, quella rispetto alla variabile a, molto più velocemente. In pratica sono coordinate polari nello spazio delle velocità. Se hai qualche rudimento di integrali doppi non dovresti avere difficoltà nel proseguire.
Grazie Speculor,
con il tuo suggerimento ci sono arrivato!!!!
L'unica cosa é che una volta calcolato mi viene che la velocitá piú probabile é 0!!! é possibile?
con il tuo suggerimento ci sono arrivato!!!!
L'unica cosa é che una volta calcolato mi viene che la velocitá piú probabile é 0!!! é possibile?
Come hai calcolato la velocità più probabile?
Sono partito con $f(v) = \sqrt(\frac{m}{2\pi K T}) \cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2}$
ne ho fatto le derivata prima rispetto a $v$ e ho imposto che sia uguale a 0 e mi viene
$ \frac{d}{dv}\sqrt(\frac{m}{2\pi K T}) \cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = -\frac{m}{KT}\sqrt(\frac{m}{2\pi K T}) \cdot v\cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = 0$
da cui
$v\cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = 0$
che, almeno che non abbia sbagliato i conti mi da $v=0$
sbaglio?
ne ho fatto le derivata prima rispetto a $v$ e ho imposto che sia uguale a 0 e mi viene
$ \frac{d}{dv}\sqrt(\frac{m}{2\pi K T}) \cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = -\frac{m}{KT}\sqrt(\frac{m}{2\pi K T}) \cdot v\cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = 0$
da cui
$v\cdot e^{-\frac{m}{2KT}v^2} = 0$
che, almeno che non abbia sbagliato i conti mi da $v=0$
sbaglio?
La distribuzione del modulo della velocità ha un fattore v^2 che moltiplica l'esponenziale.
Guarda su Wikipedia nel paragrafo "Deduzione della distribuzione completa".
Guarda su Wikipedia nel paragrafo "Deduzione della distribuzione completa".
grazie. adesso l'ho notato
però nel mio caso non ho un fattore $v^{2}$ bensì un fattore $v$ perchè sono in due dimensioni e non tre.
infatti facendo in questo modo mi viene un valore di velocità più probabile molto più sensato.
Il problema ora però mi nasce con il trovare la velocità media... in quanto, dovendo moltiplicare tutto per un ulteriore fattore $v$
mi viene un integrale mi viene un integrale del tipo $\int_{0}^{oo} v^{2} \cdot e^{costante \cdot v^{2}}$
integrale per cui ho già chiesto aiuto in queste ore e che mi è stato detto che non è risolvibile
grazie comunque, mi sei stato molto di aiuto fino ad ora.
però nel mio caso non ho un fattore $v^{2}$ bensì un fattore $v$ perchè sono in due dimensioni e non tre.
infatti facendo in questo modo mi viene un valore di velocità più probabile molto più sensato.
Il problema ora però mi nasce con il trovare la velocità media... in quanto, dovendo moltiplicare tutto per un ulteriore fattore $v$
mi viene un integrale mi viene un integrale del tipo $\int_{0}^{oo} v^{2} \cdot e^{costante \cdot v^{2}}$
integrale per cui ho già chiesto aiuto in queste ore e che mi è stato detto che non è risolvibile
grazie comunque, mi sei stato molto di aiuto fino ad ora.
Gli integrali di quella forma si calcolano senza troppi problemi notando che
[tex]$I_2 = \int_0^{\infty} v^2 e^{-\beta v^2} dv = \int_0^{\infty} - \frac{d}{d\beta} \left( e^{-\beta v^2} \right)dv = - \frac{d}{d\beta} \int_0^{\infty} e^{-\beta v^2} dv = - \frac{1}{2} \frac{d}{d\beta} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \beta^{-3/2}$[/tex]
Con lo stesso trucchetto calcoli anche quelli del tipo
[tex]$I_{2n} = \int_0^{\infty} v^{2n} e^{-\beta v^2} dv = (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \int_0^{\infty} e^{-\beta v^2} dv = \frac{(-1)^n }{2} \frac{d^n}{d\beta^n} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} = \sqrt{\pi} \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \frac{1}{\beta^{(2n+1)/2}}$[/tex]
Con quelli dispari procedi praticamente nello stesso modo scaricando una $v^1$ sulla gaussiana. Quello che intendo è
[tex]$I_{2n+1} = \int_0^{\infty} v^{2n} v e^{-\beta v^2} dv = \int_0^{\infty} (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \left( v e^{-\beta v^2} \right)dv =
(-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \int_0^{\infty} v e^{-\beta v^2} dv = (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \left[ - \frac{e^{-\beta v^2}}{2\beta} \right]_0^{\infty} = \frac{(-1)^n}{2} \frac{d^n}{d\beta^n} \frac{1}{\beta} = \frac{n!}{2} \frac{1}{\beta^{n+1}}$[/tex]
Quindi in definitiva
[tex]$I_m = \int_0^{\infty} v^m e^{-\beta v^2} dv = \begin{cases} \sqrt{\pi} \frac{(m-1)!!}{2^{m/2+1}} \frac{1}{\beta^{(m+1)/2}} \text{, se } m = 2n \\ \frac{1}{2} \left( \frac{m-1}{2}\right)! \frac{1}{\beta^{(m+1)/2}} \text{, se } m = 2n+1 \end{cases}$[/tex]
Scusate se sono andato un po' OT ma mi sembra che se uno si trova in situazioni del genere qualche trucchetto per risolvere gli integrali che possono spuntare male non fa...
[tex]$I_2 = \int_0^{\infty} v^2 e^{-\beta v^2} dv = \int_0^{\infty} - \frac{d}{d\beta} \left( e^{-\beta v^2} \right)dv = - \frac{d}{d\beta} \int_0^{\infty} e^{-\beta v^2} dv = - \frac{1}{2} \frac{d}{d\beta} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \beta^{-3/2}$[/tex]
Con lo stesso trucchetto calcoli anche quelli del tipo
[tex]$I_{2n} = \int_0^{\infty} v^{2n} e^{-\beta v^2} dv = (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \int_0^{\infty} e^{-\beta v^2} dv = \frac{(-1)^n }{2} \frac{d^n}{d\beta^n} \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} = \sqrt{\pi} \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \frac{1}{\beta^{(2n+1)/2}}$[/tex]
Con quelli dispari procedi praticamente nello stesso modo scaricando una $v^1$ sulla gaussiana. Quello che intendo è
[tex]$I_{2n+1} = \int_0^{\infty} v^{2n} v e^{-\beta v^2} dv = \int_0^{\infty} (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \left( v e^{-\beta v^2} \right)dv =
(-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \int_0^{\infty} v e^{-\beta v^2} dv = (-1)^n \frac{d^n}{d\beta^n} \left[ - \frac{e^{-\beta v^2}}{2\beta} \right]_0^{\infty} = \frac{(-1)^n}{2} \frac{d^n}{d\beta^n} \frac{1}{\beta} = \frac{n!}{2} \frac{1}{\beta^{n+1}}$[/tex]
Quindi in definitiva
[tex]$I_m = \int_0^{\infty} v^m e^{-\beta v^2} dv = \begin{cases} \sqrt{\pi} \frac{(m-1)!!}{2^{m/2+1}} \frac{1}{\beta^{(m+1)/2}} \text{, se } m = 2n \\ \frac{1}{2} \left( \frac{m-1}{2}\right)! \frac{1}{\beta^{(m+1)/2}} \text{, se } m = 2n+1 \end{cases}$[/tex]
Scusate se sono andato un po' OT ma mi sembra che se uno si trova in situazioni del genere qualche trucchetto per risolvere gli integrali che possono spuntare male non fa...
alle.fabbri, ti darebbe tanto fastidio se incominciassi a venerarti segretamente??? 
a parte le battute, davvero molto utile il trucchetto che mi hai spiegato, Grazie mille
a parte le battute, davvero molto utile il trucchetto che mi hai spiegato, Grazie mille
....e ricorda.....da un grande potere derivano grandi responsabilità.....usalo con saggezza!!!!!
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