Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

[robe921]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi (anche in modo blando) come si arriva al risultato che l'energia cinetica media di una particella in un gas sia $ =3/2kT$? Vorrei almeno una spiegazione, un modo per evitare la memorizzazione "per dogma"

Vi ringrazio

[Petruccioli1]

allora, per la dimostrazione che ti darò dovresti conoscere il concetto di ensemble, e quindi di media sugli ensemble

la media sugli ensemble di una generica grandezza A è definita come segue: $ =(intA(q,p)rho(q,p)dqdp)/(intrho(q,p)dqdp)$ dove q e p sono le coordinate generalizzate, $rho$ è la distribuzione di probabilità , cioè in soldoni, l'ensembe è un insieme di idealmente infiniti sistemi, e misurando ognuno di essi in un certo istante ricavi per ognuno un certo valore della grandezza di interesse A che è funzione di q e p (coordinate e momenti); inoltre in un certo punto del piano delle fasi $(q_0,p_0)$ potrai trovare più o meno sistemi e quindi in quel punto la $rho$ sarà rispettiamente più o meno vicina a 1.(nota che l'integrale al numeratore altro non è che un valore di aspettazione).

detto ciò vediamo ricaviamo l'energia per un gas perfetto monoatomico (biatomico e triatomico hai altri valori di $$)

$ = (intE(q,p)rho(q,p)dqdp)/(intrho(q,p)dqdp)$

gas perfetto=>no interazione tra gli atomi=> $E=K=1/2mv^2=p^2/(2m)=(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m)$ (non c'è energia potenziale)

Boltzmann ha derivato una legge di distribuzione che prevede
il numero probabile di particelle che occupano uno stato di energia in un sistema classico di
molte particelle in equilibrio termico a una certa temperatura T. La distribuzione di Boltzmann e’
data dalla seguente funzione: $rho(q,p)=Z*e^(-betaE(q,p))$; Z è la funzione di partizione, in pratica è una costante che moltiplicata per l'integrale su tutte le q,p della $rho$ ti da come risultato 1, cioè fa in modo che la "rho" sia una funzione di probabilità,invece $beta=1/(k_bT)$ ; $k_b$ è la costante di boltzmann e T la temperatura;
unica osservazione sulla $rho$ è che puoi vedere come all'aumentare dell'energia dello stato, la probabilità diminuisca, il che penso che sia anche intuitivo.
per il nostro problema si usa proprio questa distribuzione.

$ =( int(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dxdydzdp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dxdydzdp_xdp_ydp_z)$

adesso faccio 2 passaggi:1) integro rispetto alle dxdydz, ottengo un volume V al numeratore e al denominatore che se ne vanno, 2) semplicemente dato che ho un integrale con dentro $(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m)$ lo posso spezzare in tre integrali ognuno con la sua componente...


$ =( int(p_x^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z) + ( int(p_y^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z) + ( int(p_x^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_z^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)$

adesso occupiamoci di integrare solo rispetto a una direzione , ad esempio la x:

$( int(p_x^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)$ in pratica questa è l'energia cinetica lungo l'asse x

$( int(p_x^2)/(2m)e^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)/(inte^(-1/(K_bT)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)$=$ (int((p_x^2)/(2m)e^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))e^((-1/(2mK_bT))(p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z))/(inte^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))e^((-1/(2mK_bT))(p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_xdp_ydp_z)$

dove ho soltanto separato messo in evidenza la componente in x dell'integrale, rispetto alle altre, in modo che adesso, poichè si vede che una variabile non interferisce con le altre, posso integrare separando le variabili, sia al num che al den.

$ (int((p_x^2)/(2m)e^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x)(inte^((-1/(2mK_bT))(p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_ydp_z))/((inte^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x)(inte^((-1/(2mK_bT))(p_y^2+p_z^2)/(2m))dp_ydp_z))$

si vede che c'è una quantità semplificabile, e quindi la si semplifica;
a questo punto si possono sfruttare 2 integrali notevoli:

$inte^(-ax^2)dx=sqrt(pi/a)$per il denominatore e $intx^2e^(-ax^2)dx=sqrt(pia)/(2a^2)$ per il numeratore

dove

$p_x^2=x^2$; $1/(2mk_bT)=a$;

$ (int((p_x^2)/(2m)e^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x))/(inte^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x)=((1/(2m))int((p_x^2)e^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x))/(inte^((-1/(2mK_bT))(p_x^2))dp_x)=$

$=1/(2m)*sqrt(pi/(2mk_bT))*1/2*(2mk_bT)^2*1/sqrt(pi2mk_bT)=1/2K_bT $

poichè questa è l'energia cinetica rispetto a una sola componente (quella x) del moto, e i gradi di libertà totali sono 3 (x,y,z) lo stesso procedimento si dovrebbe fare per gli altri 2, il che porta a un risultato equivalente , e quindi l'energia media totale e uguale a 3 volte quella ricavata .

saluti