Distribuzione di fermi di ordine 1/2
Salve, ho un problema concettuale che non riesco proprio a risolvere. Sto studiando qualche accenno di statistica dei carrier nei semiconduttori per il mio esame di fotonica 1.
Nel libro di testo adottato si fa ovviamente (essendo elettroni dei fermioni) riferimento alla statistica di Fermi Dirac. Per quanto riguarda la distribuzione di Fermi, la quale da la probabilità che un certo stato sia occupato da un elettrone per un semiconduttore all'equlibrio termico ad una data temperatura, potrei dire "nessun problema". Viene poi utilizzata tale funzione di distribuzione per determinare il numero di elettroni per unità di volume nella banda di conduzione (il che corrisponde all'integrale esteso su tutta la banda di conduzione della densità degli stati per la funzione di distribuzione di fermi). Fino a qui tutto chiaro (o almeno credo, non so perchè ma più studio fisica e più mi sembra chiaro che c'è sempre qualcosa che mi sfugge), a tal punto si introduce la funzione di distribuzione di fermi di ordine 1/2 che permette di scrivere il numro di elettroni per unità di volume come
\(\displaystyle N_c F_{1/2} (\frac{\varepsilon_f - \varepsilon_c}{K_bT}) \)
dove \(\displaystyle F_{1/2} \) è la funzione di distribuzione di fermi di ordine 1/2 mentre \(\displaystyle N_c \) è la densità degli stati efficace(sperano di aver tradotto a dovere in italiano il termine).
Ovviamente con chiederei mai a nessuno un corso di fisica statistica, più che altro magari qualche consiglio, una possibile interpretazione di tale funzione e che ruolo ha. Ho provato a cercare online ma non ho trovato granchè, ed anche qui sul forum non vedo discussioni aperte sull'argomento, sperando di aver cercato bene.
L'idea che mi sono fatto, parecchio fantasiosa a parere mio, è che sia una approssimazione della funzione di distribuzione di fermi considerando solo valori dell'energia maggiori \(\displaystyle f(\varepsilon_f) \)(l'idea nasce dal fatto che in tal punto la funzione di distribuzione vale esattamente 1/2 e nel caso in questione ci interessano proprio i valori dell'energia situati al di sopra del livello di fermi, essendo il semiconduttore all'equilibrio), ma probabilmente mi sbaglio.
Chiedo di non trucidarmi per le mie assurde teorie ed ogni discussione e consiglio è benvenuto.
Nel libro di testo adottato si fa ovviamente (essendo elettroni dei fermioni) riferimento alla statistica di Fermi Dirac. Per quanto riguarda la distribuzione di Fermi, la quale da la probabilità che un certo stato sia occupato da un elettrone per un semiconduttore all'equlibrio termico ad una data temperatura, potrei dire "nessun problema". Viene poi utilizzata tale funzione di distribuzione per determinare il numero di elettroni per unità di volume nella banda di conduzione (il che corrisponde all'integrale esteso su tutta la banda di conduzione della densità degli stati per la funzione di distribuzione di fermi). Fino a qui tutto chiaro (o almeno credo, non so perchè ma più studio fisica e più mi sembra chiaro che c'è sempre qualcosa che mi sfugge), a tal punto si introduce la funzione di distribuzione di fermi di ordine 1/2 che permette di scrivere il numro di elettroni per unità di volume come
\(\displaystyle N_c F_{1/2} (\frac{\varepsilon_f - \varepsilon_c}{K_bT}) \)
dove \(\displaystyle F_{1/2} \) è la funzione di distribuzione di fermi di ordine 1/2 mentre \(\displaystyle N_c \) è la densità degli stati efficace(sperano di aver tradotto a dovere in italiano il termine).
Ovviamente con chiederei mai a nessuno un corso di fisica statistica, più che altro magari qualche consiglio, una possibile interpretazione di tale funzione e che ruolo ha. Ho provato a cercare online ma non ho trovato granchè, ed anche qui sul forum non vedo discussioni aperte sull'argomento, sperando di aver cercato bene.
L'idea che mi sono fatto, parecchio fantasiosa a parere mio, è che sia una approssimazione della funzione di distribuzione di fermi considerando solo valori dell'energia maggiori \(\displaystyle f(\varepsilon_f) \)(l'idea nasce dal fatto che in tal punto la funzione di distribuzione vale esattamente 1/2 e nel caso in questione ci interessano proprio i valori dell'energia situati al di sopra del livello di fermi, essendo il semiconduttore all'equilibrio), ma probabilmente mi sbaglio.
Chiedo di non trucidarmi per le mie assurde teorie ed ogni discussione e consiglio è benvenuto.
Risposte
Ti dico in breve quello che so al riguardo. La distribuzione di fermi-dirac è in realtà una famiglia di funzioni. In generale quello che sia chiama integrale di FD di ordine m è
$\int_(E_c)^\infty (\rho(E))/(1+exp((E-E_f)/(k_BT))) dE$ che diventa, se chiamo $\epsilon=(E-E_c)/(k_BT)$ ed $\eta=(E_f-E_c)/(k_BT)$,
proporzionale a
$\int_0^\infty( \epsilon^m/(1+exp(\epsilon-\eta) )d\epsilon)=F_m(\eta)$
Ora tutto sta a capire come deve essere fatta la densità degli stati \rho(E) che per elettroni all’equilibrio in un semiconduttore è proporzionale (non ricordo la costante a moltiplicare ma sul tuo testo sicuramente c’è) a $sqrt(E-E_c)$ e quindi facendo la sostituzione detta viene fuori $m=1/2$ proprio a causa della radice. Per altre densità in altre situazioni (non ne ho viste tante, giusto un paio, la più rilevante è proprio quella ½) viene fuori $m=3/2,5/2$, etc. Se non erro poteva andare da $-1/2$ a $7/2$ saltando di 1.
Quindi insomma, l’ordine della distribuzione è strettamente legato alla densità degli stati, non è qualcosa che si possa desumere a “posteriori” come mi pare di capire dal tuo ragionamento.
$\int_(E_c)^\infty (\rho(E))/(1+exp((E-E_f)/(k_BT))) dE$ che diventa, se chiamo $\epsilon=(E-E_c)/(k_BT)$ ed $\eta=(E_f-E_c)/(k_BT)$,
proporzionale a
$\int_0^\infty( \epsilon^m/(1+exp(\epsilon-\eta) )d\epsilon)=F_m(\eta)$
Ora tutto sta a capire come deve essere fatta la densità degli stati \rho(E) che per elettroni all’equilibrio in un semiconduttore è proporzionale (non ricordo la costante a moltiplicare ma sul tuo testo sicuramente c’è) a $sqrt(E-E_c)$ e quindi facendo la sostituzione detta viene fuori $m=1/2$ proprio a causa della radice. Per altre densità in altre situazioni (non ne ho viste tante, giusto un paio, la più rilevante è proprio quella ½) viene fuori $m=3/2,5/2$, etc. Se non erro poteva andare da $-1/2$ a $7/2$ saltando di 1.
Quindi insomma, l’ordine della distribuzione è strettamente legato alla densità degli stati, non è qualcosa che si possa desumere a “posteriori” come mi pare di capire dal tuo ragionamento.
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