Distribuzione di carica a simmetria sferica, determinare potenziale elettrico

[MrMojoRisin891]

Ciao, sto avendo problemi con questo esercizio:
"Si consideri una distribuzione uniforme di carica a simmetria sferica compresa tra un raggio interno $r_i$ e un raggio esterno $r_e$, come mostra in sezione la figura.
La carica totale è $Q$. Si determini il potenziale nelle tre regioni dello spazio:
$r>r_e$, $r_i

Per quanto riguarda la regione di spazio esterna, ho trovato
$V(r)=Q/(4piepsilon_0r)$;

Nella regione tra i due raggi mi viene
$V(r)=Q/(4piepsilon_0)[1/r_e+(1/2(r_e^2-r^2))/(r_e-r_i)^3]$,
ma forse sto sbagliando qualcosa...
Potreste aiutarmi per favore?

[donald_zeka]

Non si può sapere se stai sbagliando qualcosa se non posti il procedimento...io calcolerei per ogni regione il campo elettrico $E(r)$ e, fissato un punto a potenziale zero (mettiamo $r=oo$) applicherei la definizione: $V(r)=int_(r)^(oo)E(r)dr$

[MrMojoRisin891]

Il campo elettrico nella regione compresa tra i due raggi dovrebbe essere
$(Qr)/(4piepsilon_0(r_e-r_i)^3)$, giusto?

[donald_zeka]

No, usa il teorema di Gauss $Phi(E)=q/(epsilon_0)$, essendo q la carica contenuta nella regione compresa tra il generico $r$ e $r_i$

[MrMojoRisin891]

Grazie, ho trovato che $E=(Qr)/(4piepsilon_0(r_e^3-r_i^3)$, esatto?

[donald_zeka]

Ancora no...insomma quanto vale la carica contenuta nel volume compreso tra $r$ e $r_i$ se la densità $rho$ è costante?

$4pir^2E=(rhoV)/(epsilon_0)$

Essendo $V$ il volume compreso tra $r$ e $r_i$...

[MrMojoRisin891]

$(Q(r^3-r_i^3))/(r_e^3-r_i^3)$?

[donald_zeka]

Si, giusto, quella è la carica q contenuta nel volume compreso tra $r$ e $r_i$

[MrMojoRisin891]

Ok, quindi il campo è $(Q(r^3-r_i^3))/(4piepsilon_0(r_e^3-r_i^3)r^2)$, giusto?

[donald_zeka]

Giusto

[MrMojoRisin891]

Allora il potenziale in un punto interno a questa regione sarà
$Q/(4piepsilon_0)(1/r_e+(1/2(r_e^2-r^2)+r_i^3(r_e^(-1)-r^(-1)))/(r_e^3-r_i^3))$
È corretto?

La soluzione riporta
$Q/(4piepsilon_0)(1/r+(1/2(r_e^2-r^2)+r_e^3(r_e^(-1)-r^(-1)))/(r_e^3-r_i^3))$,
ma non capisco dove sto sbagliando...

[donald_zeka]

E' giusto il tuo risultato, basta pensare anche al fatto che ponendo $r_i=0$ nel tuo risultato si ottiene il potenziale dentro una sfera carica, mentre ponendolo nel risultato del libro no...anzi, forse è giusto anche il risultato del libro, dipende da quale punto è stato scelto come potenziale zero, se si sceglie come potenziale zero il potenziale all'infinito allora il risultato giusto è il tuo, probabilmente il risultato del libro è sbagliato oppure ha scelto un punto a potenziale zero diverso

[konigdsnne]

Non ho capito come determinate il volume tra Ri e Re. Inoltre per r

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[donald_zeka]

Il volume tra R_i e R_e è uguale alla differenza tra il volume della sfera di raggio R_e e il volume della sfera di raggio R_i.
E=0 implica V=costante, in pratica per $r<=R_i$ il potenziale è uguale a $V(R_i)$

[marcptoni1996]

Vorrei riaprire la discussione perché mi è stato chiesto di trovare il potenziale all'inferno di una corona sferica nel centro. Visto che nel centro il campo è nullo allora il potenziale al centro è uguale a quello in R1

Da quanto ho capito dovrei integrare il campo intento alla distribuzione tra R1 e R2 e quello esterno alla distribuzione tra R2 e infinito.

Ho provato ma il risultato ottenuto in aula non mi torna, vorrei sapere quanto dovrebbe venire

[verbal]

"Vulplasir":Ancora no...insomma quanto vale la carica contenuta nel volume compreso tra $r$ e $r_i$ se la densità $rho$ è costante?

$4pir^2E=(rhoV)/(epsilon_0)$

Essendo $V$ il volume compreso tra $r$ e $r_i$...

Non ho capito come si trova il volume V per poi utilizzarlo nel trovare il campo elettrico E..

[verbal]

"Vulplasir":Ancora no...insomma quanto vale la carica contenuta nel volume compreso tra $r$ e $r_i$ se la densità $rho$ è costante?

$4pir^2E=(rhoV)/(epsilon_0)$

Essendo $V$ il volume compreso tra $r$ e $r_i$...

[Flaviocnn]

scusate qualcuno potrebbe ordinare i calcoli e riassumere il procedimento in un unico post?
faccio fatica a seguire il ragionamento spezzettato nella discussione...