Distribuzione di carica a simmetria sferica
Si consideri la distribuzione di carica elettrica a simmetria sferica che genera in tutto lo spazio il potenziale elettrostatico \(\displaystyle V(r) = \frac {\beta \cdot r^2}{a^3 + r^3} \), nella quale \(\displaystyle a = 1.54 m \), \(\displaystyle \beta = 172 Vm \), ed r è la coordinata radiale sferica in un opportuno sistema di riferimento la cui origine coincide con il centro della distribuzione.
1) Calcolare la velocità minima, in m/s, che deve avere una particella di massa \(\displaystyle m = 1.88 \cdot 10^{-6} Kg \) e carica elettrica \(\displaystyle q = 1.36 \cdot 10^-6 C \) che si trova inizialmente a distanza molto grande dal centro della distribuzione per raggiungere il centro della distribuzione.
2) Calcolare la carica elettrica complessiva, in nC, della distribuzione assegnata.
Per risolvere il primo esercizio pensavo di sfruttare l'espressione \(\displaystyle F = q \cdot E = q \cdot \frac {dV}{dR} = m \cdot a \); per quanto riguarda invece la seconda domanda pensavo di trovare il campo elettrico (sempre con la derivata del potenziale come nel punto precedente) per poi uguagliare il risultato trovato a \(\displaystyle \frac 1 {4π\varepsilon_0} \cdot \frac Q {r^2} \), dove l'unica incognita sarebbe la Q, solo che in entrambi i casi non riesco a capire quale raggio debba usare.
Grazie a tutti per l'aiuto.
1) Calcolare la velocità minima, in m/s, che deve avere una particella di massa \(\displaystyle m = 1.88 \cdot 10^{-6} Kg \) e carica elettrica \(\displaystyle q = 1.36 \cdot 10^-6 C \) che si trova inizialmente a distanza molto grande dal centro della distribuzione per raggiungere il centro della distribuzione.
2) Calcolare la carica elettrica complessiva, in nC, della distribuzione assegnata.
Per risolvere il primo esercizio pensavo di sfruttare l'espressione \(\displaystyle F = q \cdot E = q \cdot \frac {dV}{dR} = m \cdot a \); per quanto riguarda invece la seconda domanda pensavo di trovare il campo elettrico (sempre con la derivata del potenziale come nel punto precedente) per poi uguagliare il risultato trovato a \(\displaystyle \frac 1 {4π\varepsilon_0} \cdot \frac Q {r^2} \), dove l'unica incognita sarebbe la Q, solo che in entrambi i casi non riesco a capire quale raggio debba usare.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Domanda 1
Hai il potenziale quindi puoi impostare un discorso energetico.
Domanda 2
Hai il potenziale, quindi puoi trovare il campo a distanza r e quindi per il T. di Gauss la carica contenuta in una sfera di raggio r. E quindi facendo tendere r a infinito ...
Hai il potenziale quindi puoi impostare un discorso energetico.
Domanda 2
Hai il potenziale, quindi puoi trovare il campo a distanza r e quindi per il T. di Gauss la carica contenuta in una sfera di raggio r. E quindi facendo tendere r a infinito ...
Grazie mille dell'aiuto.
Non mi è chiara una cosa relativamente alla prima domanda. Ho provato a calcolare la velocità sfruttando il principio di conservazione dell'energia, per cui (K + U) in = (K+U) fin, dove K è l'energia cinetica e U l'energia elettrostatica.
Ho poi posto l'energia cinetica finale pari a zero dal momento che si vuole sapere la velocità minima per cui ho trovato \(\displaystyle \frac 1 2 m v^2 = q \cdot (V(0) - V(\infty)) \), dove V(0) è pari a zero \(\displaystyle V(0) = \frac {\beta (0)^2} {a^3 + 0^3} \) e \(\displaystyle V(\infty) = \lim x\to \infty \frac {\beta x^2}{a^3 + x^3} \) fa anch'esso zero...cosa sto sbagliando?
Non mi è chiara una cosa relativamente alla prima domanda. Ho provato a calcolare la velocità sfruttando il principio di conservazione dell'energia, per cui (K + U) in = (K+U) fin, dove K è l'energia cinetica e U l'energia elettrostatica.
Ho poi posto l'energia cinetica finale pari a zero dal momento che si vuole sapere la velocità minima per cui ho trovato \(\displaystyle \frac 1 2 m v^2 = q \cdot (V(0) - V(\infty)) \), dove V(0) è pari a zero \(\displaystyle V(0) = \frac {\beta (0)^2} {a^3 + 0^3} \) e \(\displaystyle V(\infty) = \lim x\to \infty \frac {\beta x^2}{a^3 + x^3} \) fa anch'esso zero...cosa sto sbagliando?
Nel fare il calcolo devi riferirti al valore massimo del potenziale.
Volendo fare un equivalente meccanico è come lanciare un corpo contro un piano inclinato liscio alto "h" costituito da una salita e successiva discesa. Giunto alla sommità il corpo ridiscende ed alla fine riacquista la stessa velocità iniziale, ma questo non significa che quindi vada bene qualunque velocità iniziale. L'energia cinertica iniziale K dovrà almeno essere tale da permettergli di superare il picco di energia potenziale gravitazionale ovvero K>mgh, altrimenti il corpo durante la salita si fermerà e poi tornerà indietro.
In questo caso quindi va ricercato il punto di massimo di energia potenziale e i conti vanno riferiti a questo punto.
Volendo fare un equivalente meccanico è come lanciare un corpo contro un piano inclinato liscio alto "h" costituito da una salita e successiva discesa. Giunto alla sommità il corpo ridiscende ed alla fine riacquista la stessa velocità iniziale, ma questo non significa che quindi vada bene qualunque velocità iniziale. L'energia cinertica iniziale K dovrà almeno essere tale da permettergli di superare il picco di energia potenziale gravitazionale ovvero K>mgh, altrimenti il corpo durante la salita si fermerà e poi tornerà indietro.
In questo caso quindi va ricercato il punto di massimo di energia potenziale e i conti vanno riferiti a questo punto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo