Distanza origine particella

[angelox9]

Salve a tutti, sapete darmi una mano con il seguente quesito:

Una particella parte dall’origine all’istante t=0 con velocità iniziale $ v_{0} = [8.0 î + 15 ĵ] (m/s) $ e si muove nel
piano xy con una accelerazione costante $ a = 1.5 î – 4.0 ĵ (m/s^2)$.

Quanto vale la distanza (in m) dall’origine della particella all’istante t=3.0 s?

Ho provato ad risolverlo cosi:

$ x(t) = x_{o}+v_{0}t+1/2at^2$

$ x_{0} = 0$

$ x(3) = ( ( 8.0 ),( 15 ) ) * 3.0 + 1/2 ( ( 1.5 ),( -4.0 ) ) * 9 = ( ( 24 ),( 45 ) ) + ( ( 6.75 ),( -18 ) ) = 30.75i+27j [m]$

$d = sqrt(30.75^2+27^2) = sqrt(946+729) = sqrt(1675) = 41 m $

Cosa ne pensate?

Sto sbagliando qualcosa?


Invece che ne pensate di questo altro metodo, ma che ottengo un risultato diverso?


Metodo2:

$ t = 0$

$ v_{0} = [8.0 î + 15 ĵ] (m/s) $
$ | v_{0} | = sqrt(8^2+15^2) = sqrt(64+225) = sqrt(289) = 17 m/s $

$ a = 1.5 î – 4.0 ĵ (m/s^2) $
$ | a| = sqrt(1.5^2+4^2) = sqrt(2.25+16) = sqrt(18.25) = 4.27 m/(s^2) $

$ t = 3$
$ S = 0 + 17*3 + 1/2(4.27*9) = 51+1/2(38.43) = 51+19.21 = 70.21 m$

[Shackle]

Il primo è quello giusto. Ma perchè scrivi a quella maniera ? È una equazione vettoriale , la distanza (vettore) va scritta :

$ vecd(t) = vecd_{o}+vecv_{0}t+1/2vecat^2$

e questa va proiettata su i due assi coordinati $x$ ed $y$ . Quindi anche quest’altra scrittura è troppo “disinvolta”:


$ x(3) = ( ( 8.0 ),( 15 ) ) * 3.0 + 1/2 ( ( 1.5 ),( -4.0 ) ) * 9 = ( ( 24 ),( 45 ) ) + ( ( 6.75 ),( -18 ) ) = 30.75i+27j [m]$

si tratta in realtà di due equazioni scalari, una nell’incognita $x$ e un’altra nell’incognita $y$ . Quindi riscrivi meglio il tutto.

Nel metodo 2 , si perde di vista la natura vettoriale di $vecv$ e $veca$, e cioè che esse sono grandezze vettoriali per cui durante il moto:

$vecv = vecv_0 + vecat$

da qui, con le condizioni iniziali date, per integrazione si ricava l’espressione della distanza vettoriale scritta in alto. I vettori restano vettori, non dipendono dal sistema di riferimento adottato. I dati del tuo problema si riferiscono ad un assegnato sistema di coordinate, essendo date le componenti e i versori degli assi.

[angelox9]

Quindi dovrei fare una cosa simile:

$ vecd_{x}(t) = vecd_{0x}+vecv_{0y}t+1/2veca_{x}t^2 = 8 * 3 + 1/2 * 1.5*9 = 24+ 6.75 = 30.75 m $

$ vecd_{y}(t) = vecd_{0y}+vecv_{0y}t+1/2veca_{y}t^2 = 15* 3 + 1/2 * -4*9 = 45-18 = 27 m $

Questo passaggio è scritto formalmente in modo corretto?

Poi come dovrei proseguire?

[Shackle]

Si, ora le due equazioni sono scritte formalmente quasi bene: le frecce sopra le componenti non ci vanno, sono scalari . Il calcolo della distanza $d$ lo hai già fatto, con la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti : $ d = 41m$

[angelox9]

Quindi dovrei fare una cosa simile:

$ vecd_{x}(t) = vecd_{0x}+vecv_{0y}t+1/2veca_{x}t^2 $

$ vecd_{y}(t) = vecd_{0y}+vecv_{0y}t+1/2veca_{y}t^2 $

$ a = | d_{x}(3) | = 8 * 3 + 1/2 * 1.5*9 = 24+ 6.75 = 30.75 m $

$ b = | d_{y}(3) |= 15* 3 + 1/2 * -4*9 = 45-18 = 27 m $

$ d = sqrt( a^2+b^2) = sqrt(30.75^2+27^2) = sqrt(946+729) = sqrt(1675) = 41 m $

Questo passaggi sono scritti in modo formalmente corretti?

[Shackle]

Ti ho detto semplicemente di togliere le frecce da sopra le componenti, perchè sono degli scalari, non dei vettori:

$ d_{x}(t) = d_{0x}+v_{0x}t+1/2a_{x}t^2 = ......$

$ d_{y}(t) = d_{0y}+v_{0y}t+1/2a_{y}t^2 =...... $

insomma : $vecv_0 = (v_(0x), v_(0y) )$ , e analogamente per l’accelerazione.

MA poi : da dove viene fuori quel $815*3$ ? Sarà forse $15*3 = 45 $ ?

E usa le parentesi per scrivere : $ 1/2*(-4)*9 = -18 $

[six1]

$ vecd_{x}(t) = vecd_{0x}+vecv_{0y}t......$
E' bruttino da vedere

[Shackle]

"six":$ vecd_{x}(t) = vecd_{0x}+vecv_{0y}t...... $
E' bruttino da vedere

No, è proprio sbagliato, per due motivi :

1) quando parliamo di componenti di vettori su un certo asse (ad es l’asse x ) , le componenti non sono vettori , lo ripeto per l’ennesima volta.

2) se ci stiamo riferendo a $d_x(t)$ , i pedici devono essere tutti $x$ , il pedice $y$ del secondo termine è sbagliato.

Infatti le equazioni scalari giuste sono quelle che ho già scritto :

$ d_{x}(t) = d_{0x}+v_{0x}t+1/2a_{x}t^2 = ......$

$ d_{y}(t) = d_{0y}+v_{0y}t+1/2a_{y}t^2 =...... $

Con ciò, chiudo su questo argomento.