Distanza media e velocità afelio & perielio.

vrek
Ciao,
l'esercizio sul quale ho difficoltà è questo...

La massa di Saturno è di $ 5,69*10^28 Kg $. Un corpo celeste che ruota attorno a Saturno possiede un periodo valutato a circa $ 97 $ anni. Il suo punto di massimo avvicinamento è di $ 3,6*10^10 m $.
Qual'è la sua distanza media da Saturno?
Che velocità possiede al perielio ed all' afelio della sua orbita?

Per la prima domanda avrei pensato all'energia tot in un campo gravitazionale:

$ E=K+U=[(m*v^2)/2]-[(G*m0*m)/r] $

ed alla conservazione dell'energia $ Ki-Ui=Kf-Uf $

ma mi manca la velocità,

ho pensato alla terza legge di Keplero ma anche li mi manca qualcosa.

Alle due velocità richieste non ho proprio pensato...

I risultati sarebbero

$ d=9,653*10^11 m $

$ vp=14,85 Km /s, va=0,273 Km /s $

Grazie mille

Risposte
Sk_Anonymous
Il primo punto è la terza legge di Keplero pulita pulita. Il secondo beh, sappiamo calcolare la velocità di fuga di quel pianeta ?

vrek
Non mi è chiaro, perdonami

Sk_Anonymous
Cosa dice la terza legge di Keplero? Come calcoleresti la velocità per la quale il corpo sfugga all'attrazione del pianeta?

vrek
$ (r^3)/(T^2)=(G*M)/[4*(3,14^2)] $

Se ricavo la radice cubica di r, mantenendo l'unità di misura della massa di Saturno in Kg poichè G è espressa in $ [N*(m^2)]/Kg^2, e trasformando i 97 anni in giorni, viene fuori 15*(10^6) m mentre il risultato indicato dall'esercizio è 9,653*(10^11)

Sk_Anonymous
Ricontrolla i conti a me torna. Per la velocità di fuga invece?

vrek
Non avevo fatto il quadrato del T

A me continua a non venire, mi torna $ 494,6*(10^6) $

Sk_Anonymous
$r=(6.6*10^(-11)*5.7*10^28/(4\pi^2)*(97*365*24*60*60)^2)^(1/3)=9.6*10^11 m$

vrek
Le unità di misura, maledizione...si OK cosi torna, avevo trasformato gli anni in giorni e mi ero fermato là.

Posso ora calcolare la Vp applicando la formula:

$ Vp=[(2*G*M)/r]^(1/2) $

E viene 14,525 Km/s, dovrebbe essere il risultato esatto (14,85 Km/s quello indicato nell'esercizio)

Ora conosco la M del corpo, distanza e velocità relative al perelio: dovrei trovare una relazione che lega questi dati alla Va

Per la conservazione, $ Vp*rp=Va*ra $, mi manca ra

L'eccentricità mi sa che nn mi serve, al momento sono inchiodato qui

Sk_Anonymous
Perdonami avevo scritto una castroneria. Ad ogni modo, dovresti usare la distanza appena calcolata raddoppiata, te ne accorgi geometricamente.

vrek
Figurati, qui chi scrive castronerie sono io...è che la distanza appena calcolata potrei utilizzarla se avessi i dati per calcolarmi dei valori dell'ellisse, il semiasse (e quindi l'asse) orizzontale nello specifico, la linea degli apsidi, ma mi pare che non ho nulla.

Sk_Anonymous
Ce l'hai. Il semiasse maggiore è la distanza trovata prima. Hai anche la distanza di perielio. Volendo puoi ricavarti il semiasse minore con pitagora. Dicevo che andava raddoppiata nel calcolo perché ci sono quasi due ordini di grandezza di differenza nella differenza per ricavare la distanza fuoco-centro che quindi ti viene quasi uguale. Capito che voglio dire? Fatti un disegno e ti aiuti, sennò provo a fartelo io ma non sono un gran disegnatore

vrek
Innanzitutto ti ringrazio moltissimo x il tuo tempo...

Non mi è chiaro il perchè la distanza trovata prima, ovvero la distanza media del corpo celeste da Saturno, sia il semiasse dell'ellisse: comunque raddoppiandolo, sottraendo poi la rp nota ed inserendolo nella formula della conservazione $ Va=(Vp*rp)/(ra) $, è come dici tu: il risultato viene, 0,275 Km al sec (risultato esercizio 0,273)

vrek
...forse lo è x definizione, stavo rileggendo alcune cose sull'ellisse...

Sk_Anonymous
Eh sì, il semiasse maggiore è proprio la distanza media. Si dovrebbe poter dimostrare molto facilmente in coordinate angolari se non ricordo male. Comunque sì, è una proprietà dell'ellisse. Tra l'altro spesso nell'enunciare la terza legge si parla proprio di "cubo del semiasse maggiore". Strano non ti sia mai capitato di sentirlo. Ad ogni modo direi che il problema è ormai risolto :)

vrek
Grazie infinite, con questo esercizio ho capito diverse cosette...inizio Termologia a breve.

Grazie ancora

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