Discussione alla Weiestrass ed Energia
Un punto materiale di massa $m$ è mobile sull'asse $x$ soggetto all'azione di una forza di potenziale $U(x)=x-3/2ln(x^2+2)$.
1) Tracciare il grafico della funzione energia potenziale $V(x)$
2) Quali sono i valori ammissibili per l'energia totale $E$?
3) Effettuare lo studio qualitativo del moto (discussione alla Weiestrass) disegnando le curve del moto nel piano delle fasi $(x,v)$ in corrispondenza ai diversi valori di $E$. Evidenziare il comportamento di tali curve nel limite per $x->+infty$, qualora questo limite sia effettuabile in relazione al dato iniziale.
4) Determina le diverse tipologie di moto in corrispondenza al dato inziale $(x_0,v_0)$ con $x_0=1$ e $v_0>0$.
1) Grafico di $V(x)=3/2ln(x^2+2)-x$:
2) $E>=i nf_{x inRR}V(x)=-infty$ per cui l'intervallo è $epsilon=RR$
3)
I) $E_1=x_1}$, se $x_0>=x_1$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_1$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=lim_(x->+infty)pmsqrt(2/m(E_1-V(x)))=pm infty$.
II) $E_2=m_0$ e $D_{E_2}={x=1,x>=x_2}$, se $x_0=1$ allora $V(1)=E_2$ per cui $v_0=0$ e $x(t)=1$ $AAt>=t_0$ poichè $1$ è configurazione di equilibrio.
Se $x_0>=x_2$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_2$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
III)$m_0=x_5}$, se $x_3<=x_0<=x_4$ moto periodico fra i due punti di inversione $x_3$ e $x_4$.
Se $x_0>=x_5$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_5$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
IV) $E_4=M$ e $D_{E_4}={x<=x_6}$, se $x_0=2$ allora $V(2)=E_4$ per cui $v_0=0$ e $x(t)=2$ $AAt>=t_0$ poichè $2$ è configurazione di equilibrio.
Se $x_6<=x_0<2$ moto asintotico verso $2$ con inversione in $x_6$ se $v_0<0$.
Se $x_0>2$, se $v_0>0$ moto aperiodico verso $+infty$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$, se $v_0<0$ moto asintotico verso $2$.
V) $E_5>M$ e $D_{E_4}={x<=x_7}$, se $x_0>=x_7$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_7$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
Moto nel piano delle fasi:
4) Se $m_0
Se $E>M$ il punto materiale compie un moto aperiodico verso $+infty$.
Il caso $E=m_0$ non è contemplato poichè $v_0>0$ (invece dovrebbe valere $v_0=0$) e il caso $E
1) Tracciare il grafico della funzione energia potenziale $V(x)$
2) Quali sono i valori ammissibili per l'energia totale $E$?
3) Effettuare lo studio qualitativo del moto (discussione alla Weiestrass) disegnando le curve del moto nel piano delle fasi $(x,v)$ in corrispondenza ai diversi valori di $E$. Evidenziare il comportamento di tali curve nel limite per $x->+infty$, qualora questo limite sia effettuabile in relazione al dato iniziale.
4) Determina le diverse tipologie di moto in corrispondenza al dato inziale $(x_0,v_0)$ con $x_0=1$ e $v_0>0$.
1) Grafico di $V(x)=3/2ln(x^2+2)-x$:
2) $E>=i nf_{x inRR}V(x)=-infty$ per cui l'intervallo è $epsilon=RR$
3)
I) $E_1
II) $E_2=m_0$ e $D_{E_2}={x=1,x>=x_2}$, se $x_0=1$ allora $V(1)=E_2$ per cui $v_0=0$ e $x(t)=1$ $AAt>=t_0$ poichè $1$ è configurazione di equilibrio.
Se $x_0>=x_2$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_2$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
III)$m_0
Se $x_0>=x_5$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_5$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
IV) $E_4=M$ e $D_{E_4}={x<=x_6}$, se $x_0=2$ allora $V(2)=E_4$ per cui $v_0=0$ e $x(t)=2$ $AAt>=t_0$ poichè $2$ è configurazione di equilibrio.
Se $x_6<=x_0<2$ moto asintotico verso $2$ con inversione in $x_6$ se $v_0<0$.
Se $x_0>2$, se $v_0>0$ moto aperiodico verso $+infty$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$, se $v_0<0$ moto asintotico verso $2$.
V) $E_5>M$ e $D_{E_4}={x<=x_7}$, se $x_0>=x_7$ moto aperiodico verso $+infty$ con inversione in $x_7$ se $v_0<0$, $lim_(x->+infty)V(x)=pm infty$.
Moto nel piano delle fasi:
4) Se $m_0
Se $E>M$ il punto materiale compie un moto aperiodico verso $+infty$.
Il caso $E=m_0$ non è contemplato poichè $v_0>0$ (invece dovrebbe valere $v_0=0$) e il caso $E
Risposte
Mi sembra OK.
Solo qualche appunto formale
- eviterei di confondere quando fai il limite l'energia potenziale e la velocità (chiamala diversamente ad es. y(x))
- x=2 è da specificare che è punto di equilibrio instabile
Solo qualche appunto formale
- eviterei di confondere quando fai il limite l'energia potenziale e la velocità (chiamala diversamente ad es. y(x))
- x=2 è da specificare che è punto di equilibrio instabile
"ingres":
Mi sembra OK.
Solo qualche appunto formale
- eviterei di confondere quando fai il limite l'energia potenziale e la velocità (chiamala diversamente ad es. y(x))
- x=2 è da specificare che è punto di equilibrio instabile
Ho chiamato l'energia potenziale $V(x)$ mentre di solito la velocità la scrivo come $v(x)$ però grazie del consiglio! Per quanto riguarda $x=2$ che sia punto di equilibrio instabile, come mai devo specificarlo? Negli esercizi che ho sempre fatto non c'era da specificare la stabilità (ovviamente se non richiesto) e una condizione che tu credi opportuno fare oppure per dire qualcosa in più? Grazie
Va bene anche v(x) ma non V(x) perchè se rileggi
di primo acchito si rimane sconcertati
Il fatto che x=1 sia di equilibrio stabile (min di V(x)) e x=2 di equilibrio stabile (max di V(x)) è un di più che serve meglio a caratterizzare il sistema.
"andreadel1988":
$ lim_(x->+infty)V(x)=lim_(x->+infty)pmsqrt(2/m(E_1-V(x)))=pm infty $.
di primo acchito si rimane sconcertati
Il fatto che x=1 sia di equilibrio stabile (min di V(x)) e x=2 di equilibrio stabile (max di V(x)) è un di più che serve meglio a caratterizzare il sistema.
Ok, grazie mille!
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