Disco su piano
Sia dato un disco rigido di raggio R, spessore trascurabile e massa m uniformemente distribuita su tutto il suo volume... Il disco poggia su un piano orizzontale ed inizialmente è inclinato rispetto alla verticale di un angolo a, ha una velocità angolare W0 e il suo centro di massa ha una velocità v0... Il moto è un rotolamento puro ... Determinare l'equazione di moto del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento solidale al piano 
... Si consideri il contatto con il piano puntiforme e quindi l'attrito volvente e il momento delle forze di attrito calcolato rispetto ad esso nulli.
... Si consideri il contatto con il piano puntiforme e quindi l'attrito volvente e il momento delle forze di attrito calcolato rispetto ad esso nulli.
Risposte
Non c'ho capito nulla... Come fa a poggiare su un piano orizzontale ed essere inclinato rispetto alla verticale?
Ah si forse ho capito... come per esempio la ruota di una bicicletta in piega? vero?
Si più o meno come una moneta che fai rotolare su un tavolo facendola partire da inclinata ... L'angolo a è quello compreso tra la semiretta verticale uscente dal piano verso l'alto e la semiretta con origine nel punto di contatto prolungamento del diametro del disco ... Questo problema mi crea grossi problemi già a partire dalla parte cinematica, non sono nemmeno sicuro che sia risolvibile così come è messo
Ora devo scappare, comunque abbastanza semplice sarebbe il caso in cui il disco compia una precessione regolare...
Sono riuscito a tirar fuori qualcosa (forse giusto) ma non nel sistema solidale al piano...
Praticamente se la ruota rotola sempre senza strisciare allora ad ogni istante essa avrà un moto alla "cono di Poinsot" ossia ruoterà attorno al suo asse ed attorno ad un asse ortogonale al piano, passante per l'intersezione dell'asse proprio della ruota con il piano. Ecco un modestissimo disegno:
Sfruttando la condizione di puro rotolamento si può dire:
${(v_0=\omega_{1_i}R\text{ctg}\alpha),(v_0=\omega_0R):}=>\omega_{1_i}=\omega_0\tan\alpha$
Dove $\alpha$ è l'angolo iniziale ossia $\theta(0)=\alpha$.
Ho preso una terna ruotante a velocità angolare $\omega_1$, di versori direttori: $(\hat{n},\hat{t},\hat{k})$
Possiamo quindi scrivere le equazioni cardinali rispetto a questo sistema non inerziale. Chiamando $F$ la forza apparente centrifuga, $M$ il suo momento risultante ed $F_c$ la forza apparente di Coriolis, si ha proiettando sui versori:
${(N-mg=m\ddot{z}),(F_a-F=m\ddot{x}),(F_c=m\ddot{y}),(M-mgR\sin\theta=I_{\theta}\ddot{\theta}):}$
Adesso calcoliamoci le forze apparenti:
Per calcolare la forza d'inerzia ed il suo momento ho considerato la ruota come una sbarra di altezza $2R$ omogenea di massa $m$.
Quindi, essendo $r$ la distanza dell'elemento di massa infinitesima dall'asse di rotazione verticale:
$dF=dm\omega_1^2r=\lambda\omega_1^2(R/\sin\alpha-x\sin\theta)dx=>F=\lambda\omega_1^2\int_0^{2R}(R/\sin\alpha-x\sin\theta)dx=m\omega_1^2R(1/\sin\alpha-\sin\theta)$
$dM=dm\omega_1^2(Rx\cos\theta/\sin\alpha-x^2/2\sin(2\theta))=>M=\lambda\omega_1^2\int_0^{2R}(Rx\cos\theta/\sin\alpha-x^2/2\sin(2\theta))dx=m\omega_1^2R^2(\cos\theta/\sin\alpha-2/3\sin(2\theta))$
$F_c=2m\omega_1\wedgev_r=2\omega_1v_r(\hat(k)\wedge(-cos\theta\hat{n}-\sin\theta\hat{k}))=-2m\omega_1\dot{\theta}R\cos\theta\hat{t}$
Poi abbiamo che:
${(x=R\text{ctg}\theta),(y=\epsilonR),(z=R\cos\theta):}=>{(\dot{x}=-R\dot{theta}/{\sin^2\theta}),(\dot{y}=\omega_1R),(\dot{z}=-R\dot{\theta}\sin\theta):}=>{(\ddot{x}=-R(\ddot{\theta}/{\sin^2\theta}-2\dot{\theta}^2\cos\theta/{\sin^3\theta})),(\ddot{y}=\dot{\omega}_1R),(\ddot{z}=-R(\sin\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^2\cos\theta)):}$
Subito dall'espressione della forza di Coriolis si può ottenere $\omega_1(\theta)$:
$-2\omega_1\dot{\theta}R\cos\theta=\ddot{y}=R\dot{\omega_1}=>\omega_1=\omega_{1_i}e^{2(cos\theta-1)}=>\omega=\tan\alpha/\tan\theta\omega_0e^{2(cos\theta-1)}$
Inoltre dato che le forze attive sono solo conservative l'energia meccanica si conserva:
$mgR\cos\alpha+1/2mv_0^2+1/2I\omega_0^2+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega_0^2\tan^2\alpha=1/2m\dot{z}^2+1/2m\dot{x}^2+1/2m\dot{y}^2+1/2I\omega^2+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega^2\tan^2\theta+1/2I_{\theta}\dot{theta}^2+mgR\cos\theta$
Avendo preso $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse proprio ed $I_{\theta}$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di versore $\hat{t}$.
Quindi:
$2gR(\cos\alpha-\cos\theta)+v_0^2+1/2R^2\omega_0^2+R^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega_0^2\tan^2\alpha=R^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta+\tan^2\alpha\omega_0^2e^{4(cos\theta-1)}+R^2\dot{\theta}^2/{\sin^4\theta}+1/2R^2(\tan\alpha/\tan\theta)^2\omega_0^2e^{4(cos\theta-1)}+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega^2\tan^2\theta+5/4R^2\dot{\theta}^2$
Poi ricavando $\dot{\theta}$ da quest'ultima e sostituendolo all'interno delle espressioni delle accelerazioni insieme a $\ddot{\theta}$ ricavato dalla seconda cardinale, ottieni l'espressione dell'accelerazione in funzione di solo $theta$ e poi sostituento ancora nelle equazioni cardinali puoi trovare la forza normale, ecc...
Cmq questo è un problema molto complesso e per questo probabilmente posso aver sbagliato qualcosa, anzi è molto facile...
Praticamente se la ruota rotola sempre senza strisciare allora ad ogni istante essa avrà un moto alla "cono di Poinsot" ossia ruoterà attorno al suo asse ed attorno ad un asse ortogonale al piano, passante per l'intersezione dell'asse proprio della ruota con il piano. Ecco un modestissimo disegno:
Sfruttando la condizione di puro rotolamento si può dire:
${(v_0=\omega_{1_i}R\text{ctg}\alpha),(v_0=\omega_0R):}=>\omega_{1_i}=\omega_0\tan\alpha$
Dove $\alpha$ è l'angolo iniziale ossia $\theta(0)=\alpha$.
Ho preso una terna ruotante a velocità angolare $\omega_1$, di versori direttori: $(\hat{n},\hat{t},\hat{k})$
Possiamo quindi scrivere le equazioni cardinali rispetto a questo sistema non inerziale. Chiamando $F$ la forza apparente centrifuga, $M$ il suo momento risultante ed $F_c$ la forza apparente di Coriolis, si ha proiettando sui versori:
${(N-mg=m\ddot{z}),(F_a-F=m\ddot{x}),(F_c=m\ddot{y}),(M-mgR\sin\theta=I_{\theta}\ddot{\theta}):}$
Adesso calcoliamoci le forze apparenti:
Per calcolare la forza d'inerzia ed il suo momento ho considerato la ruota come una sbarra di altezza $2R$ omogenea di massa $m$.
Quindi, essendo $r$ la distanza dell'elemento di massa infinitesima dall'asse di rotazione verticale:
$dF=dm\omega_1^2r=\lambda\omega_1^2(R/\sin\alpha-x\sin\theta)dx=>F=\lambda\omega_1^2\int_0^{2R}(R/\sin\alpha-x\sin\theta)dx=m\omega_1^2R(1/\sin\alpha-\sin\theta)$
$dM=dm\omega_1^2(Rx\cos\theta/\sin\alpha-x^2/2\sin(2\theta))=>M=\lambda\omega_1^2\int_0^{2R}(Rx\cos\theta/\sin\alpha-x^2/2\sin(2\theta))dx=m\omega_1^2R^2(\cos\theta/\sin\alpha-2/3\sin(2\theta))$
$F_c=2m\omega_1\wedgev_r=2\omega_1v_r(\hat(k)\wedge(-cos\theta\hat{n}-\sin\theta\hat{k}))=-2m\omega_1\dot{\theta}R\cos\theta\hat{t}$
Poi abbiamo che:
${(x=R\text{ctg}\theta),(y=\epsilonR),(z=R\cos\theta):}=>{(\dot{x}=-R\dot{theta}/{\sin^2\theta}),(\dot{y}=\omega_1R),(\dot{z}=-R\dot{\theta}\sin\theta):}=>{(\ddot{x}=-R(\ddot{\theta}/{\sin^2\theta}-2\dot{\theta}^2\cos\theta/{\sin^3\theta})),(\ddot{y}=\dot{\omega}_1R),(\ddot{z}=-R(\sin\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^2\cos\theta)):}$
Subito dall'espressione della forza di Coriolis si può ottenere $\omega_1(\theta)$:
$-2\omega_1\dot{\theta}R\cos\theta=\ddot{y}=R\dot{\omega_1}=>\omega_1=\omega_{1_i}e^{2(cos\theta-1)}=>\omega=\tan\alpha/\tan\theta\omega_0e^{2(cos\theta-1)}$
Inoltre dato che le forze attive sono solo conservative l'energia meccanica si conserva:
$mgR\cos\alpha+1/2mv_0^2+1/2I\omega_0^2+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega_0^2\tan^2\alpha=1/2m\dot{z}^2+1/2m\dot{x}^2+1/2m\dot{y}^2+1/2I\omega^2+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega^2\tan^2\theta+1/2I_{\theta}\dot{theta}^2+mgR\cos\theta$
Avendo preso $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse proprio ed $I_{\theta}$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di versore $\hat{t}$.
Quindi:
$2gR(\cos\alpha-\cos\theta)+v_0^2+1/2R^2\omega_0^2+R^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega_0^2\tan^2\alpha=R^2\dot{\theta}^2\sin^2\theta+\tan^2\alpha\omega_0^2e^{4(cos\theta-1)}+R^2\dot{\theta}^2/{\sin^4\theta}+1/2R^2(\tan\alpha/\tan\theta)^2\omega_0^2e^{4(cos\theta-1)}+1/2mR^2(1/\sin\alpha-\sin\theta)^2\omega^2\tan^2\theta+5/4R^2\dot{\theta}^2$
Poi ricavando $\dot{\theta}$ da quest'ultima e sostituendolo all'interno delle espressioni delle accelerazioni insieme a $\ddot{\theta}$ ricavato dalla seconda cardinale, ottieni l'espressione dell'accelerazione in funzione di solo $theta$ e poi sostituento ancora nelle equazioni cardinali puoi trovare la forza normale, ecc...
Cmq questo è un problema molto complesso e per questo probabilmente posso aver sbagliato qualcosa, anzi è molto facile...
Ci ho provato, magari potrebbe esser lo spunto per qualcosa di migliore... 
Si già hai trovato qualcosa , io praticamente mi sono bloccato all'inizio ... W0 che avevo indicato come velocità angolare iniziale può essere un vettore orientato in un modo qualsiasi nello spazio non è solo la componente perpendicolare al disco... alla velocità angolare ti manca oltre a quelle che hai indicato con W0 e W1, componeti perpendicolari al disco e al piano, anche la componente che giace sul piano , quella il cui modulo è a' per capirsi, dovuta alla variazione di inclinazione del disco...nell'utilizzo della seconda equazione cardinale credo che hai il problema della scelta del centro di riduzione: se scegli il punto di contatto tra disco e piano infatti devi considerare che la sua velocità potrebbe non essere parallela a quella del centro di massa (M(C)= K'(C) - vc x m vg , dove vc e vg sono le velocità del punto di contatto e del centro di massa e x è il prodotto vettoriale)... comq mi hai dato uno spunto vedo di tirarci fuori qualcosa anche io, anche se ho seri dubbi
... W0 che avevo indicato come velocità angolare iniziale può essere un vettore orientato in un modo qualsiasi nello spazio non è solo la componente perpendicolare al disco... alla velocità angolare ti manca oltre a quelle che hai indicato con W0 e W1, componeti perpendicolari al disco e al piano, anche la componente che giace sul piano , quella il cui modulo è a' per capirsi, dovuta alla variazione di inclinazione del disco...nell'utilizzo della seconda equazione cardinale credo che hai il problema della scelta del centro di riduzione: se scegli il punto di contatto tra disco e piano infatti devi considerare che la sua velocità potrebbe non essere parallela a quella del centro di massa (M(C)= K'(C) - vc x m vg , dove vc e vg sono le velocità del punto di contatto e del centro di massa e x è il prodotto vettoriale)... comq mi hai dato uno spunto vedo di tirarci fuori qualcosa anche io, anche se ho seri dubbi
La velocità angolare che si ha in conseguenza della caduta del disco, ossia quella parallela al piano l'ho indicata con $dot{theta}$, cmq io ho ipotizzato, solo che me ne sono scordato, che la forza di attrito sia tale da garantire un puro rotolamento fino a quando il disco non è perfettamente orizzontale, quindi credo che sia lecito fare come ho fatto con la 2 cardinale. Ciao
Scusa non avevo letto bene , ho usato lettere differenti per gli angoli e mi sono intrrecciato ...Non ho capito la prima condizione di puro rotolamento ${(v_0=\omega_{1_i}R\text{ctg}\alpha),(v_0=\omega_0R):}=>\omega_{1_i}=\omega_0\tan\alpha$
sei sicuro del verso della freccia ? la seconda v0=W0R mi torna anche a me ... in poche parole , perchè l'asse istantaneo di moto dovrebbe giacere sul piano ?
Se sostituisci le equazioni cardinali con il risultato ottenuto con il teorema delle forze vive non dovrebbe venire fuori una identità ?
...Non ho capito la prima condizione di puro rotolamento ${(v_0=\omega_{1_i}R\text{ctg}\alpha),(v_0=\omega_0R):}=>\omega_{1_i}=\omega_0\tan\alpha$ sei sicuro del verso della freccia ? la seconda v0=W0R mi torna anche a me ... in poche parole , perchè l'asse istantaneo di moto dovrebbe giacere sul piano ?
Se sostituisci le equazioni cardinali con il risultato ottenuto con il teorema delle forze vive non dovrebbe venire fuori una identità ?
Si il verso della freccia è quello, non lo confondere con la componente verticale della velocità di rotazione propria, che io ho chiamato $\omega_1$. Se poi il corpo rotola senza strisciare, puo esser considerato ad ogni istante come un cono di vertice O che rotola sopra ad un cono, degenere in questo caso, il piano. Questi coni si chiamano coni di Poinsot e stannoa lla base dello studio del fenomeno delle precessioni, di solito infatti in questi casi si passerebbe alle coordiante di eulero, ma ho preferito lasciar perdere.
P.S: non ho usato il Th delle forze vive, ma solo la conservazione dell'energia, il che è ben diverso.
P.S: non ho usato il Th delle forze vive, ma solo la conservazione dell'energia, il che è ben diverso.
Per quanto riguarda quello che non ti torna ti posso dire che la velocità del cdm nel moto di rotolamento attorno all'asse proprio dà $v_0=w_0R$.
Dobbiamo poi ricordarci che con la stessa velocità il cdm percorre una circonferenza di raggio $R\ctg\alpha$ con velocità angolare $\omega_{1_i}$. Ecco trovata l'uguaglianza.
Dobbiamo poi ricordarci che con la stessa velocità il cdm percorre una circonferenza di raggio $R\ctg\alpha$ con velocità angolare $\omega_{1_i}$. Ecco trovata l'uguaglianza.
Il cono di poinsot dengenera in un piano in questo caso, non ne sono convinto , non potrebbero rimanere due coni? ovvero perchè l'asse istantaneo di moto giace sul piano e non è inclinato rispetto ad esso ? Il teorema della conservazione dell'energia meccanica comq è un caso particolare del teorema delle foze vive 
beh l'unica superficie che rimane sempre tangente in un punto alla ruota ed ha ivi moto di rotatorio senza strisciamento è il piano su cui poggia la ruota stessa, quindi per forza di cose, il secondo cono è il piano stesso... A me risulta che il teorema delle forze vive affermi che il lavoro compiuto dalle forze agenti su un corpo è uguale alla differenza di energia cinetica. Quindi non mi sembra un principio di conservazione. Vabbè ma non è qui l'importante...
Si forse è come dici l'unica superficie è per cui non si ha strisciamento è il piano ma non riesco a dimostrarlo ... affinche non si abbia lo strisciamento è sufficiente dire che il punto di contatto appartiene all'asse istantaneo di moto
... affinche non si abbia lo strisciamento è sufficiente dire che il punto di contatto appartiene all'asse istantaneo di moto
Trovate altre due polari diverse dai coni che soddisfano la condizione di rotolamento puro(chi sa quante altre ce ne sono) : immagina un cilindro a base ellittica(polare mobile) che rotola su un piano(polare fissa) senza strisciare ... puoi trovare una sezione non perpendicolare all'asse del cilindro che abbia forma circolare (il disco) ... quindi anche il disco rotola senza strisciare sul piano , si inclina alternatamente da una parte e dall'altra mentre il punto di contatto fa una traiettoria a "serpentina"... A volte capita anche di far fare ad una moneta un moto simile , non so come ma a volte l'ho fatto ... Da piccolo un qualcosa di simile mi capitò anche con la bici , il risultato fu che mi schiantai a terra 
... Da piccolo un qualcosa di simile mi capitò anche con la bici , il risultato fu che mi schiantai a terra
Già è vero, succede sempre quando alle basse velocità lasci il manubrio, la ruota davanti segue una traiettoria a serpentina proprio come dici tu. Però non so perchè ma mi è subito venuto naturale immaginare l'altra traiettoria. Cmq credo che queste cose le studieremo approfonditamente più in là, mi sembrano fenomeni complessi per quelli che come me sono del primo anno... 
Magari a meccanica razionale già ci diranno qualcosa. O magari più in là...
Magari a meccanica razionale già ci diranno qualcosa. O magari più in là...
Ah però aspetta quello che dici te avviene solo se la velocità del centro di massa non è tangente al piano della ruota.
Per essere al primo anno e non aver ancora studiato meccanica razionale ne sai abbastanza , quando l'ho fatto io il primo non ci capivo una mazza ... Te la cavi bene a quanto pare , io ormai sono un fallito, non ti dico quanto sono indietro con gli esami 
... Comq per quanto riguarda il problema: per alcuni valori di velocità e velocità angolare iniziale(velocità angolare con componente perpendicolare al piano orizzontale nulla), credo che vada bene considerare le polari del moto come due coni di poinsot come hai fatto , con un cono che degenera nel piano, per altri valori invece il sistema va considerato più come una trottola (se a è piccolo,v0 è piccola e la componente maggiore della velocità angolare è quella perpendicolare al piano orizzontale)... Non ho idea su come si faccia a trovare una soluzione generale da cui dedurre questi due casi particolari
... Te la cavi bene a quanto pare , io ormai sono un fallito, non ti dico quanto sono indietro con gli esami ... Comq per quanto riguarda il problema: per alcuni valori di velocità e velocità angolare iniziale(velocità angolare con componente perpendicolare al piano orizzontale nulla), credo che vada bene considerare le polari del moto come due coni di poinsot come hai fatto , con un cono che degenera nel piano, per altri valori invece il sistema va considerato più come una trottola (se a è piccolo,v0 è piccola e la componente maggiore della velocità angolare è quella perpendicolare al piano orizzontale)... Non ho idea su come si faccia a trovare una soluzione generale da cui dedurre questi due casi particolari
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