Disco rotante - Momento Angolare
Buongiorno, volevo chiedere qualche delucidazione concettuale in merito al calcolo di Momenti Angolari.
Ho un disco omogeneo di spessore d e raggio R, ruota senza attrito e senza contatto con il terreno, intorno ad un perno rigido orizzontale di spessore trascurabile passante per il suo centro di massa.
Il perno è imperniato a sua volta ad un asse verticale rigido e di spessore trascurabile, così che in centro del disco si trova a distanza L dall'asse. Il perno ruota senza attrito intorno a detto asse.
(Per schematizzare e rendere l'idea è come una macina che non tocca terra)
Il momento angolare del disco rispetto al suo centro di massa lo so calcolare.
Come calcolo il momento angolare del disco rispetto all'asse verticale di rotazione non essendo un asse di simmetria e quindi non essendo il momento angolare parallelo alla velocità di rotazione intorno all'asse verticale?
L'energia totale è l'energia rotazionale del disco attorno al suo asse + quella di rotazione del disco stesso attorno all'asse verticale?
Ho un disco omogeneo di spessore d e raggio R, ruota senza attrito e senza contatto con il terreno, intorno ad un perno rigido orizzontale di spessore trascurabile passante per il suo centro di massa.
Il perno è imperniato a sua volta ad un asse verticale rigido e di spessore trascurabile, così che in centro del disco si trova a distanza L dall'asse. Il perno ruota senza attrito intorno a detto asse.
(Per schematizzare e rendere l'idea è come una macina che non tocca terra)
Il momento angolare del disco rispetto al suo centro di massa lo so calcolare.
Come calcolo il momento angolare del disco rispetto all'asse verticale di rotazione non essendo un asse di simmetria e quindi non essendo il momento angolare parallelo alla velocità di rotazione intorno all'asse verticale?
L'energia totale è l'energia rotazionale del disco attorno al suo asse + quella di rotazione del disco stesso attorno all'asse verticale?
Risposte
Non so a che livello sei.
Per questo problema comunque il calcolo del momento angolare rispetto all'asse verticale attorno a cui ruota il centro del disco, si trova essere pari a $I_a omega_a$ con $I_a$ momento di inerzia del disco attorno all'asse in questione, pari a $1/4 m R^2+m L^2$, con $R$ raggio del disco e $L$ distanza del centro del disco dall'asse, ed $omega_a$ velocità angolare del centro del disco attorno all'asse. Intuitivamente infatti puoi capire che la rotazione del disco attorno al proprio asse dà contributo nullo al momento angolare attorno all'asse di rotazione del centro del disco, infatti avrai che i contribuiti in più e in meno a tale momento angolare di particelle materiali diametralmente opposte si compensano a vicenda, quindi è come se tutto il disco ai fini del calcolo di quel momento angolare non ruotasse su se stesso.
Facendo una trattazione un po' più avanzata con il tensore di inerzia e il vettore velocità angolare si perviene proprio a tale risultato intuitivo.
L'energia cinetica puoi calcolarla come l'energia cinetica dovuta alla rotazione del disco su se stesso ($1/2 I_d omega_d^2$, con $I_d$ momento di inerzia del disco attorno al suo asse cioè $1/2 m R^2$ e $omega_d$ velocità angolare del disco attorno al medesimo asse) più quella dovuta alla rotazione del disco attorno all'asse verticale, senza considerare la rotazione del disco su se stesso ,( cioè $1/2 I_a omega_a^2$). Anche a questo ci puoi arrivare con l'intuizione componendo le varie velocità, oppure facendo i calcoli col tensore di inerzia.
Per questo problema comunque il calcolo del momento angolare rispetto all'asse verticale attorno a cui ruota il centro del disco, si trova essere pari a $I_a omega_a$ con $I_a$ momento di inerzia del disco attorno all'asse in questione, pari a $1/4 m R^2+m L^2$, con $R$ raggio del disco e $L$ distanza del centro del disco dall'asse, ed $omega_a$ velocità angolare del centro del disco attorno all'asse. Intuitivamente infatti puoi capire che la rotazione del disco attorno al proprio asse dà contributo nullo al momento angolare attorno all'asse di rotazione del centro del disco, infatti avrai che i contribuiti in più e in meno a tale momento angolare di particelle materiali diametralmente opposte si compensano a vicenda, quindi è come se tutto il disco ai fini del calcolo di quel momento angolare non ruotasse su se stesso.
Facendo una trattazione un po' più avanzata con il tensore di inerzia e il vettore velocità angolare si perviene proprio a tale risultato intuitivo.
L'energia cinetica puoi calcolarla come l'energia cinetica dovuta alla rotazione del disco su se stesso ($1/2 I_d omega_d^2$, con $I_d$ momento di inerzia del disco attorno al suo asse cioè $1/2 m R^2$ e $omega_d$ velocità angolare del disco attorno al medesimo asse) più quella dovuta alla rotazione del disco attorno all'asse verticale, senza considerare la rotazione del disco su se stesso ,( cioè $1/2 I_a omega_a^2$). Anche a questo ci puoi arrivare con l'intuizione componendo le varie velocità, oppure facendo i calcoli col tensore di inerzia.
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