Disco omogeneo: calcolare velocità e tempo

[bad.alex]

Un disco omogeneo di massa M e raggio r porta fissata a bordo una pallina di dimensioni trascurabili e massa m. Il sistema può ruotare senza attrito intorno all'asse del disco disposto orizzontalmente e viene sciato libero,da fermo, quando il raggio del disco passante per la pallina forma un angolo $alpha = 10°$ con la verticale e la pallina è disposa in posiione bassa. con che velocità la pallina attraversa per la prima volta la verticale e dopoquanto tempo dal momento in cui ildisco è stato lasciato libero?

Non riesco a trovare la soluzione, non saprei quali formule applicare. Chiedo venia ( e soluzione ), ma è urgente.


grazie, alex

[MaMo2]

"silvestro":
...
Essa ,dato che la pallina parte da ferma,si integra facilmente rispetto ad $omega$:
$(1/2Mr^2+mr^2)omega=(mgrsin alpha)t$

Questo passaggio è sbagliato in quanto il momento della forza peso non è costante ma dipende dal tempo.
Io lo considererei un pendolo fisico anche se l'angolo $alpha$ non è piccolissimo.

[bad.alex]

"silvestro":Ho interpretato quel "fissata a bordo" come "fissata sul bordo".Se è così allora il problema ,a mio modesto
giudizio,si può risolvere col sistema :
${((1/2Mr^2+mr^2)(d omega)/(dt)=mgrsin alpha),(1/2(1/2Mr^2)omega^2+1/2mv^2=mgr(1-cos alpha)),(omega=v/r):}$
La seconda equazione esprime la conservazione dell'energia meccanica dalla posizione in cui la pallina è ferma a quella
in cui essa passa per la verticale.Da essa,tenuto conto della terza equazione,è possibile ricavare la velocità finale v
della pallina e quindi la omega finale della sfera: $omega=v/r$.La prima equazione è quella ordinaria dei corpi rigidi girevoli attorno ad un asse.
Essa ,dato che la pallina parte da fermo,si integra facilmente rispetto ad $omega$:
$(1/2Mr^2+mr^2)omega=(mgrsin alpha)t$
e da qui ,avendo già calcolato la $omega$ finale della sferetta,si può ricavare il tempo impiegato da essa per passare sulla verticale.
Saluti

vi ringrazio per l'aiuto. alex