Disco, gradino, forza orizzontale necessaria
Un disco di massa m = 50 kg e raggio R = 0.5 m, deve superare uno scalino alto h = 0.12 m. Calcolare il minimo valore della forza orizzontale che occorre applicare nel centro del disco.
Poichè F è NON conservativa $ Delta E=L_(Fnonconservative) $
$ E_f=U_f=mgh $
$ E_i=0 $
Quindi $ Fint_(0)^(R) dr=mgh $
da cui $ F=(mgh)/R $
Il mio dubbio è sugli estremi di integrazione: ho messo la componente orizzontale dello spazio e non quella verticale in quanto mi chiede la forza orizzontale, ma lo spazio da percorrere attenendosi alla figura è un po' meno del Raggio della sfera in quanto "sporge" oltre il gradino essendo il gradino minore del raggio.
Voi che dite?
Poichè F è NON conservativa $ Delta E=L_(Fnonconservative) $
$ E_f=U_f=mgh $
$ E_i=0 $
Quindi $ Fint_(0)^(R) dr=mgh $
da cui $ F=(mgh)/R $
Il mio dubbio è sugli estremi di integrazione: ho messo la componente orizzontale dello spazio e non quella verticale in quanto mi chiede la forza orizzontale, ma lo spazio da percorrere attenendosi alla figura è un po' meno del Raggio della sfera in quanto "sporge" oltre il gradino essendo il gradino minore del raggio.
Voi che dite?
Risposte
Scusa, ma perche non fai una semplice equazione di momento intorno allo spigolo?
Il momento della forza e' $F(R-h)$. Il momento della forza peso e'.........?
Quando il mom. di F supera quella della forza peso, la ruota "sale lo scalino".
Vedrai che ti viene piu' semplice e che quel risultato che hai scritto non e' corretto.
Il momento della forza e' $F(R-h)$. Il momento della forza peso e'.........?
Quando il mom. di F supera quella della forza peso, la ruota "sale lo scalino".
Vedrai che ti viene piu' semplice e che quel risultato che hai scritto non e' corretto.
Tra l'altro, a rileggere bene il tuo ragionamento, che ti dice che la forza F non e' conservativa?
Penso che convenga uguagliare il lavoro della forza $F$ all'opposto di quello della forza peso
detto $C$ il centro del disco,all'inizio della rotazione ,l'angolo acuto $theta_0$ che $CP$ forma con il prolungamento della sommità del gradino è $theta_0=arcsen(R-h)/R$
in corrispondenza di un generico $theta$,quando il raggio $CR$ ruota di un angolo infinitesimo $d theta$ ,la forza $F$ compie un lavoro $dL=FRd theta sentheta$
Quindi,il lavoro totale di $F$ dovrebbe essere
$L= int_(theta_0)^(pi/2) FRsinthetad theta $
detto $C$ il centro del disco,all'inizio della rotazione ,l'angolo acuto $theta_0$ che $CP$ forma con il prolungamento della sommità del gradino è $theta_0=arcsen(R-h)/R$
in corrispondenza di un generico $theta$,quando il raggio $CR$ ruota di un angolo infinitesimo $d theta$ ,la forza $F$ compie un lavoro $dL=FRd theta sentheta$
Quindi,il lavoro totale di $F$ dovrebbe essere
$L= int_(theta_0)^(pi/2) FRsinthetad theta $
"professorkappa":
Il momento della forza e' $F(R-h)$. Il momento della forza peso e'.........?
Quando il mom. di F supera quella della forza peso, la ruota "sale lo scalino".
$ M_(peso)=mgh $ ?
Cerco di capire perchè ha utilizzato questo procedimento per poterlo fare mio,
lei ha utilizzato l'equazione di rotazione per i corpi rigidi, poichè per salire il disco compie una rotazione.
Per imporre i momenti della forza e del peso uguali, ha dovuto utilizzare la conservazione del momento angolare $ L=cost.=0 $ . Lei ha applicato la conservazione del momento angolare poichè la forza è applicata all'asse di rotazione, giusto?
"quantunquemente":
Penso che convenga uguagliare il lavoro della forza $F$ all'opposto di quello della forza peso
detto $C$ il centro del disco,all'inizio della rotazione ,l'angolo acuto $theta_0$ che $CP$ forma con il prolungamento della sommità del gradino è $theta_0=arcsen(R-h)/R$
in corrispondenza di un generico $theta$,quando il raggio $CR$ ruota di un angolo infinitesimo $d theta$ ,la forza $F$ compie un lavoro $dL=FRd theta sentheta$
Quindi,il lavoro totale di $F$ dovrebbe essere
$L= int_(theta_0)^(pi/2) FRsinthetad theta $
Anche il suo procedimento è interessante (non meno di quello del professorkappa), uguagliare il lavoro della forza, con l'opposto del lavoro della forza peso, ma non riesco a capire come ha ricavato l'angolo TETA_zero
dammi del tu 
dal disegno puoi vedere che all'inizio della rotazione il raggio $CP$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha un cateto uguale a $R-h$
il $theta_0$ di cui parlo si oppone a questo cateto
vedo adesso che la seconda volta ho chiamato il raggio $CR$ (è $CP$)
$P$ è il punto di contatto
dal disegno puoi vedere che all'inizio della rotazione il raggio $CP$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha un cateto uguale a $R-h$
il $theta_0$ di cui parlo si oppone a questo cateto
vedo adesso che la seconda volta ho chiamato il raggio $CR$ (è $CP$)
$P$ è il punto di contatto
I due metodi portano a risultati diversi,
con il metododo del professorkappa la forza viene $ F=(mgh)/(R-h) $
mentre con il metodo di quantunquemente la forza viene $ F=(mgh)/(Rcos theta_0 )$
Errore mio?
con il metododo del professorkappa la forza viene $ F=(mgh)/(R-h) $
mentre con il metodo di quantunquemente la forza viene $ F=(mgh)/(Rcos theta_0 )$
Errore mio?
che poi esplicitato diventa
$F=(mgh)/sqrt(2hR-h^2)$
che dire,ai posteri l'ardua sentenza
$F=(mgh)/sqrt(2hR-h^2)$
che dire,ai posteri l'ardua sentenza
Vorrei sapere anche cosa ne pensa il professorkappa e se la mia interpretazione del suo ragionamento è giusto,
lo riporto di seguito
"Cerco di capire perchè ha utilizzato questo procedimento per poterlo fare mio,
lei ha utilizzato l'equazione di rotazione per i corpi rigidi, poichè per salire il disco compie una rotazione.
Per imporre i momenti della forza e del peso uguali, ha dovuto utilizzare la conservazione del momento angolare $L=cost.=0$ . Lei ha applicato la conservazione del momento angolare poichè la forza è applicata all'asse di rotazione, giusto?"
lo riporto di seguito
"Cerco di capire perchè ha utilizzato questo procedimento per poterlo fare mio,
lei ha utilizzato l'equazione di rotazione per i corpi rigidi, poichè per salire il disco compie una rotazione.
Per imporre i momenti della forza e del peso uguali, ha dovuto utilizzare la conservazione del momento angolare $L=cost.=0$ . Lei ha applicato la conservazione del momento angolare poichè la forza è applicata all'asse di rotazione, giusto?"
No, non e' giusto, perche il momento della forza peso non e' mgh.
E' mg moltiplicato per il braccio della forza.
Chiamato $\theta_0$ l'angolo che la congiungente tra il cerchio della ruota e lo spigolo del gradino fa con la verticale, l'equazione da impostare e'
$mgRsin\theta_0=FRcos\theta_0$
Il $theta_0$ e' facilmente calcolabile con cosiderazioni elementari geometriche, infatti risulta:
$Rcostheta_0+h=R$, d cui si ricava $costheta_0=(R-h)/R$ e quindi $sin\theta_0=1-[(R-h)/R]^2$, che vanno sostituite nella prima equazione, risolvendo la quale per $F$ ti da la risposta del problema.
Senza andare a scomodare nient'altro che i momenti agenti sul corpo.
E' mg moltiplicato per il braccio della forza.
Chiamato $\theta_0$ l'angolo che la congiungente tra il cerchio della ruota e lo spigolo del gradino fa con la verticale, l'equazione da impostare e'
$mgRsin\theta_0=FRcos\theta_0$
Il $theta_0$ e' facilmente calcolabile con cosiderazioni elementari geometriche, infatti risulta:
$Rcostheta_0+h=R$, d cui si ricava $costheta_0=(R-h)/R$ e quindi $sin\theta_0=1-[(R-h)/R]^2$, che vanno sostituite nella prima equazione, risolvendo la quale per $F$ ti da la risposta del problema.
Senza andare a scomodare nient'altro che i momenti agenti sul corpo.
non mi torna
abbiamo un oggetto fermo e due forze con momenti opposti
per quale motivo l'oggetto dovrebbe cominciare a ruotare ?
e ammesso e non concesso che cominci a ruotare,come è possibile che basti considerare solo i valori dei momenti iniziali e non durante tutta la rotazione?
e per finire,vogliamo considerare il fatto che alla fine la velocità angolare deve ritornare ad essere zero?
abbiamo un oggetto fermo e due forze con momenti opposti
per quale motivo l'oggetto dovrebbe cominciare a ruotare ?
e ammesso e non concesso che cominci a ruotare,come è possibile che basti considerare solo i valori dei momenti iniziali e non durante tutta la rotazione?
e per finire,vogliamo considerare il fatto che alla fine la velocità angolare deve ritornare ad essere zero?
Infatti non ruota fino a che il momento di F non raggiunge il valore di $mg(sintheta_0/costheta_0)$.
Da quel momento si muove. E' tutto quello che chiede l'esercizio: la F minima per metterlo in movimento.
Se poi si vuole andare oltre, si puo' studiare cosa succede dopo che si mette in moto, ma non mi pare fosse lo scopo dell'esercizio.
Da quel momento si muove. E' tutto quello che chiede l'esercizio: la F minima per metterlo in movimento.
Se poi si vuole andare oltre, si puo' studiare cosa succede dopo che si mette in moto, ma non mi pare fosse lo scopo dell'esercizio.
Ah,ecco forse l'equivoco
il testo dice "superare il gradino" : parlando poi di forza minima,io lo interpreto come "arrivare sulla base del gradino con velocità nulla"
il testo dice "superare il gradino" : parlando poi di forza minima,io lo interpreto come "arrivare sulla base del gradino con velocità nulla"
Non puo' arrivare con velocita' nulla alla base del gradino.
Una volta che applichi la forza minima (che assumiamo costante), il corpo accelera, perche il braccio di F aumenta, quello di P diminuisce. Quindi arriva sullo scalino con una velocita' non nulla.
Per farlo arrivare con velocita' nulla, a un certo momento dovresti diminuire la F, ma sei del gatto...
Una volta che applichi la forza minima (che assumiamo costante), il corpo accelera, perche il braccio di F aumenta, quello di P diminuisce. Quindi arriva sullo scalino con una velocita' non nulla.
Per farlo arrivare con velocita' nulla, a un certo momento dovresti diminuire la F, ma sei del gatto...
mi sa che hai ragione 
il calcolo del lavoro che ho fatto si basa su assunto sbagliato : quello di applicare una forza che non è in grado di metterlo in moto
il calcolo del lavoro che ho fatto si basa su assunto sbagliato : quello di applicare una forza che non è in grado di metterlo in moto
Insomma : detto P il punto di contatto tra disco e gradino, e detto H il piede della perpendicolare condotta da P al raggio $R$ verticale, il segmento PH è il braccio del peso $mg$, e vale :
$PH = sqrt(h(2R-h)) $
PErcio deve essere : $F(R-h)>=mg sqrt(h(2R-h)) $ , da cui : $ F >= mg sqrt(h(2R-h))/(R-h)$ .
L'esercizio non parla di "disco che rotola verso il gradino" , e di quale deve essere la velocità angolare minima che deve avere al momento dell'urto affinché possa "salire il gradino" .
Questo sarebbe stato un esercizio molto più interessante, e vi dirò che mi sono messo a risolverlo. Poi ho lasciato stare perché non è richiesto.
$PH = sqrt(h(2R-h)) $
PErcio deve essere : $F(R-h)>=mg sqrt(h(2R-h)) $ , da cui : $ F >= mg sqrt(h(2R-h))/(R-h)$ .
L'esercizio non parla di "disco che rotola verso il gradino" , e di quale deve essere la velocità angolare minima che deve avere al momento dell'urto affinché possa "salire il gradino" .
Questo sarebbe stato un esercizio molto più interessante, e vi dirò che mi sono messo a risolverlo. Poi ho lasciato stare perché non è richiesto.
Io volevo risolvere l'esercizio proposto da quantunquemente:
Trovata la forza minimaper mettere in moto il corpo, e sapendo che a un certo istante tale forza diminuisce linearmente col tempo con legge nota, determinare a quale istante cio deve avvenire affinche' il corpo arrivi sul gradino con velocita' nulla (in quel punto, il centro C e' sulla verticale dello spigolo).
Ma in questi giorni sono in giro, senza carta e penna.
Trovata la forza minimaper mettere in moto il corpo, e sapendo che a un certo istante tale forza diminuisce linearmente col tempo con legge nota, determinare a quale istante cio deve avvenire affinche' il corpo arrivi sul gradino con velocita' nulla (in quel punto, il centro C e' sulla verticale dello spigolo).
Ma in questi giorni sono in giro, senza carta e penna.
Mi scuso se farò un intervento leggermente OT, ma trovo interessante il problema posto da navigatore:
In particolare si deve notare che affinché il disco salga sul gradino in maniera "liscia", l'urto contro lo spigolo deve avvenire con modalità del tutto anelastica ma senza strisciamento, cioè la superficie del disco deve rimanere in contatto col gradino senza scivolare e senza rimbalzare.
Occorre quindi distinguere tra velocità angolare un istante prima dell'urto e un istante dopo l'urto, e per quanto detto le velocità angolari devono essere differenti, in quanto negli urti anelastici c'è perdita di energia.
Dato per scontato che nota la velocità angolare subito dopo l'urto è facile calcolarne il valore minimo affinché il disco salga il gradino (basta eguagliare energia cinetica con la differenza di energia potenziale), vorrei soffermarmi al calcolo della velocità angolare in istante prima dell'urto in funzione della velocità angolare richiesta subito dopo l'urto.
A tale scopo notiamo che al momento dell'urto l'impulso che la punta del gradino comunica al disco è incognito. Allora se utilizziamo la costanza del momento angolare calcolato proprio rispetto al polo costituito dalla punta del gradino, questo momento angolare si conserva.
Chiamo senza apice le grandezze velocità angolare e momento angolare subito dopo l'urto, menttre chiamo con apice le stesse grandezze subito prima dell'urto. Inoltre immagino che il disco prima dell'urto viaggi con puro rotolamento.
Allora posso eguagliare i momenti angolari prima e dopo l'urto:
$$\eqalign{
& {L_0} = I{{\dot \theta }_0} = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr
& {{L'}_0} = \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) \cr
& {{L'}_0} = {L_0} \cr
& \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr} $$
Da cui ricavo la relazione tra le velocità angolari prima e dopo l'urto:
$${{\dot \theta '}_0} = \frac{{{{\dot \theta }_0}}}
{{1 - \frac{{2h}}
{{3R}}}}$$
Edit: ho corretto il risultato precedente, che era sbagliato a causa di un banale errore di calcolo
"navigatore":
L'esercizio non parla di "disco che rotola verso il gradino" , e di quale deve essere la velocità angolare minima che deve avere al momento dell'urto affinché possa "salire il gradino" .
Questo sarebbe stato un esercizio molto più interessante, e vi dirò che mi sono messo a risolverlo. Poi ho lasciato stare perché non è richiesto.
In particolare si deve notare che affinché il disco salga sul gradino in maniera "liscia", l'urto contro lo spigolo deve avvenire con modalità del tutto anelastica ma senza strisciamento, cioè la superficie del disco deve rimanere in contatto col gradino senza scivolare e senza rimbalzare.
Occorre quindi distinguere tra velocità angolare un istante prima dell'urto e un istante dopo l'urto, e per quanto detto le velocità angolari devono essere differenti, in quanto negli urti anelastici c'è perdita di energia.
Dato per scontato che nota la velocità angolare subito dopo l'urto è facile calcolarne il valore minimo affinché il disco salga il gradino (basta eguagliare energia cinetica con la differenza di energia potenziale), vorrei soffermarmi al calcolo della velocità angolare in istante prima dell'urto in funzione della velocità angolare richiesta subito dopo l'urto.
A tale scopo notiamo che al momento dell'urto l'impulso che la punta del gradino comunica al disco è incognito. Allora se utilizziamo la costanza del momento angolare calcolato proprio rispetto al polo costituito dalla punta del gradino, questo momento angolare si conserva.
Chiamo senza apice le grandezze velocità angolare e momento angolare subito dopo l'urto, menttre chiamo con apice le stesse grandezze subito prima dell'urto. Inoltre immagino che il disco prima dell'urto viaggi con puro rotolamento.
Allora posso eguagliare i momenti angolari prima e dopo l'urto:
$$\eqalign{
& {L_0} = I{{\dot \theta }_0} = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr
& {{L'}_0} = \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) \cr
& {{L'}_0} = {L_0} \cr
& \frac{1}
{2}m{R^2}{{\dot \theta '}_0} + mR{{\dot \theta '}_0}\left( {R - h} \right) = \frac{3}
{2}m{R^2}{{\dot \theta }_0} \cr} $$
Da cui ricavo la relazione tra le velocità angolari prima e dopo l'urto:
$${{\dot \theta '}_0} = \frac{{{{\dot \theta }_0}}}
{{1 - \frac{{2h}}
{{3R}}}}$$
Edit: ho corretto il risultato precedente, che era sbagliato a causa di un banale errore di calcolo
Ma se usi lo spigolo del gradino come polo, il mom della quantita di moto prima dell'urto e'
$Mv_0(R-h)+MR^2/2\dottheta_0$ da mettere tutta in funzione di $\dot\theta_0$ o di $v_0$ con la relazione $v_0=\dot\thetaR$
Quell che scrivi tu usa come polo il punto di contatto disco -terreno, o sbaglio?
$Mv_0(R-h)+MR^2/2\dottheta_0$ da mettere tutta in funzione di $\dot\theta_0$ o di $v_0$ con la relazione $v_0=\dot\thetaR$
Quell che scrivi tu usa come polo il punto di contatto disco -terreno, o sbaglio?
"professorkappa":
Ma se usi lo spigolo del gradino come polo, il mom della quantita di moto prima dell'urto e'
$Mv_0(R-h)+MR^2/2\dottheta_0$ da mettere tutta in funzione di $\dot\theta_0$ o di $v_0$ con la relazione $v_0=\dot\thetaR$
Ma è quello che ho scritto io! con la differenza che io ho scritto grandezze con apice, che hanno il significato "prima dell'urto"
Penso che tu non abbia letto bene, vedi la seconda delle mie formule.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo