Disco di Faraday: dubbio su forze e momenti

[Fabjohnson]

Salve ragazzi! Vorrei risollevare un problema che era stato già posto in precedenza.
Mi ricollego al seguente post: viewtopic.php?f=19&t=171832
per chiedervi come mai il libro decide di eguagliare i momenti e non le forze.
Cioè, come mai la forza peso non è uguale a quella della forza prodotta dal campo magnetico usando la seconda legge di Laplace, quindi: mg=Bi*a?? Perché si deve ricorrere ai rispettivi momenti? So che il risultato sarebbe diverso, ma appunto perché è sbagliato usare le forze?
Vi ringrazio molto dell'attenzione!!!

[Shackle]

È implicito in ciò che ha spiegato RenzoDF : c'è un momento motore , che si ottiene integrando come detto, il quale deve uguagliare il momento resistente dato da $mga$ , affinché il disco ruoti con velocità angolare costante, senza accelerare, per sollevare $m$ .

[Fabjohnson]

Innanzitutto, ti ringrazio moltissimo della risposta rapida e della disponibilità! Allora, il fatto che il momento che oppone resistenza debba essere uguale al momento motore mi è chiaro: quello che non mi è chiaro è perché non si possa fare lo stesso discorso con le forze, cioè la forza data dal campo magnetico non si dovrebbe opporre alla forza peso alla stessa maniera? Probabilmente c'è un incomprensione anche a livello vettoriale, per cui posto una foto per avere verifica di aver rappresentato bene i vettori, anche perché ho un dubbio anche sul vettore del momento resistente:

[Fabjohnson]

Comunque credo di aver capito perché si opera con i momenti: se c'è di mezzo una rotazione dell'oggetto ed una rotazione che debba opporsi è chiaro che si ragioni con i momenti che causano la rotazione e non con le forze. Il dubbio mi era venuto perché sul libro vi è un esempio in cui ad un lato della bilancia vi è un peso e dall'altro lato una spira quadrata in cui circola corrente immersa in un campo magnetico ed era richiesto il calcolo del campo magnetico affinché si stabilisce un equilibrio sulla bilancia. In quel caso si considerava la forza sul lato orizzontale della spira, ma semplicemente perché non vi era in gioco nessuna rotazione, ma solo una compensazione della forza peso. È corretto il mio ragionamento? Anche perché, come si evince dal disegno del disco, le due forze non si opporrebbero se agiscono su quelle due linee. Mi resta ancora però il dubbio dei vettori dei momenti. Credo che quello del campo magnetico sia sbagliato, ma principalmente perché non ho capito come circola la corrente.

[Shackle]

Beh, intanto il momento di una forza , rispetto a un polo, è dato da :

$vecM = \vecr\times\vecF$

dove $vecr$ è il raggio vettore condotto dal polo al punto di applicazione della forza. Quindi, il vettore momento della forza peso va orientato nel verso opposto a quello da te assunto, viste le convenzioni riguardanti il prodotto vettoriale di due vettori : la famosa regola della mano destra , che io detesto!
Preferisco dire che, tracciando tutti i vettori da uno stesso punto, il primo vettore $vecr$ , visto dalla punta di $vecM$, deve ruotare in verso antiorario per sovrapporsi al secondo vettore $vecF$.

In secondo luogo, sei sicuro di aver tracciato bene il vettore che rappresenta il momento motore ? In quel modo, non si potranno mai fare equilibrio. Il vettore $vecM_m$ deve essere perpendicolare al piano del disco, ti pare ?

[Fabjohnson]

Sì, hai perfettamente ragione sul momento della forza peso, dovrebbe avere senso opposto per via della regola della mano destra, che anch'io molto spesso trascuro, ma la mia preoccupazione principale era quella di creare ortogonalità con gli altri due vettori, anche se ovviamente anche il verso è importantissimo! Il problema principale rimane però appunto l'ortogonalità del momento meccanico dato dal campo magnetico: il fatto che debba essere ortogonale alla forza magnetica credo sia scontato, il problema è capire se debba avere la direzione della corrente o del campo magnetico. Da come dici tu, il vettore dovrebbe essere parallelo a quello del campo magnetico, ma funziona così? Perdonami, ma quando devo operare in tre dimensioni, ma posso farlo su un foglio di carta, finisco sempre col non capire dove debbano andare i vettori, perché si sovrappongono le linee e non si capisce più niente. Infatti cerco sempre di figurarmi l'esercizio in tre dimensioni, anche se spesso sbaglio comunque, come adesso. Probabilmente mi sono rifatto alla seguente immagine del libro in cui è mostrata una spira che ruota sottoposta ad un campo magnetico ed in cui il momento ha la stessa direzione della corrente sui segmenti laterali ed è perpendicolare al campo magnetico. In questo caso dovrebbe essere il contrario? Potresti dirmi il perché eventualmente? Grazie infinite ancora!!

[Fabjohnson]

Anche perché, aggiungo, in un esercizio simile (in cui il campo magnetico ha però verso opposto, ma non credo abbia molta importanza), la forza è diretta come l'ho diretta io e lo stesso dicasi per il momento, che è sì ha verso opposto, ma comunque la retta d'azione è quella e dunque mi appare strano il tutto.

[Fabjohnson]

AH NO, CHE STUPIDO CHE SONO!!! Quel vettore verticale rappresenta il raggio, mentre la crocetta verde (che si vede a malapena però) sopra, è il momento, risolto!!!

[Shackle]

"Fabjohnson":AH NO, CHE STUPIDO CHE SONO!!! Quel vettore verticale rappresenta il raggio, mentre la crocetta verde (che si vede a malapena però) sopra, è il momento, risolto!!!

Infatti ! Lo hai capito da solo , mi hai evitato di scrivere un romanzo su vettori , correnti, forze, momenti, eccetera! E se ritorni al disco di Barlow originale , quello del post del 2017 , con un po' di ragionamento ti rendi conto che la situazione è analoga . Però lì il vettore $vecB$ è diretto da te verso il foglio ( si vedono le tre crocette) , quindi il vettore momento motore $vecM_m$ è diretto dal foglio verso di te , e il vettore momento resistente $vecM_p$ della forza peso è diretto da te verso il foglio .

[Fabjohnson]

Sì, infatti! L'ho ridisegnato correttamente con tutti i vettori prima che tu mi rispondessi ed ho tenuto conto della direzione opposta dei due momenti rispetto all'ultimo esempio postato. Poi vabbé, c'era anche un secondo quesito, che mi chiedeva di calcolare la velocità angolare, ma ci sono arrivato subito sottraendo alla fem totale quel quantitativo ottenuto dalla corrente moltiplicata per la resistenza, che è servito a mantenere stabile il sistema equilibrando il momento della forza peso. Dunque solo una parte della fem iniziale muove il disco e, usando Lorentz, ho messo in relazione fem da una parte e velocità angolare dall'altra. Devo quindi ricordarmi che quando entrano in gioco le rotazioni da compensare si ragiona con i momenti e non con le sole forze, almeno in casi simili. Mi confermi??

[Shackle]

Devo quindi ricordarmi che quando entrano in gioco le rotazioni da compensare si ragiona con i momenti e non con le sole forze, almeno in casi simili. Mi confermi??

Beh, "rotazioni da compensare" non è proprio il modo di dire più corretto, se ho capito il concetto che vuoi esprimere. Diciamo che, quando si vuole modificare la velocità angolare di un corpo che ruota, quindi accelerare (anche da zero) o rallentare un moto rotatorio , ci vuole un momento di forze esterne. È la seconda equazione cardinale della dinamica che lo richiede.
Naturalmente bisogna studiare i vari casi con attenzione.