Disco con massa agganciata su un piano liscio
Un disco cilindrico omogeneo di raggio r = 0.4m, massa M = 2kg e spessore trascurabile ai fini del problema, è appoggiato con la superficie laterale su una superficie orizzontale liscia.
Un corpo di massa m=M/4 approssimabile a un punto materiale, è fissato al disco in un punto C distante d = r/2 dal centro O del disco.
Il disco, inizialmente in quiete nella posizione di figura, con segmento OC formante con la verticale un angolo $\theta_0 = \pi /4rad$, viene lasciato libero di muoversi.
Sia $t=\tau$ l'istante in cui il punto c viene a trovarsi per la prima volta sulla verticale passante per O; in corrispondenza a tale istante si calcoli:
a) lo spostamento $\Delta$ del centro del disco;
b) il modulo V della velocità in O;
c) il modulo N della reazione sviluppata dal piano di appoggio.
d) Si determini il modulo V1 della velocità di O quando il segmento OC forma con la verticale un angolo $\theta_1 = \pi /6 rad$.
soluzioni:
I punti a,b,c non mi danno problemi.
Per risolvere d, La mia idea è di usare la conservazione dell' energia. Ho fatto un tentativo ma mi viene una soluzione sbagliata: probabilmente sbaglio a scrivere l' energia cinetica del sistema rispetto all' angolo $\theta$.
Ho anche provato a partire dalla soluzione e fare la formula inversa. In questo modo ho trovato una formula per l' energia cinetica che però non riesco a spiegare.
Risposte
Non ho capito se hai considerato la seguente relazione:
e se, oltre all'energia meccanica, hai conservato la quantità di moto lungo l'orizzontale.
$[vec(v_C)=vec(v_O)+vec(\omega)xx(C-O)] ^^ [v_O gt 0] ^^ [\omega gt 0] rarr$
$rarr vec(v_C)=v_Oveci-1/2\omegarcos\thetaveci-1/2\omegarsin\thetavecj$
e se, oltre all'energia meccanica, hai conservato la quantità di moto lungo l'orizzontale.
Ok provo a postare i miei conti spero si capiscano:
Sì in teoria uso quella formula per esprimere la velocità in C.
La conservazione della quantità di moto la uso per ricavare la velocità in O ( lo avevo già fatto per il punto b )
Per venire la soluzione del libro l' energia cinetica dovrebbe essere:
$K=
\frac{M}{2}(\frac{m}{m+M} d \cos(\theta))^2 \dot \theta ^2 +
\frac{m}{2}(\frac{M}{m+M}d)^2 \dot \theta ^2 +
\frac{Mr^2}{4}( \cos^2(\theta)+(\frac{M}{m+M})^2\sin^2(\theta))\dot \theta ^2
$
Che è molto simile alla mia ma non riesco proprio a capire il terzo termine da dove salta fuori?
Sì in teoria uso quella formula per esprimere la velocità in C.
La conservazione della quantità di moto la uso per ricavare la velocità in O ( lo avevo già fatto per il punto b )
Per venire la soluzione del libro l' energia cinetica dovrebbe essere:
$K=
\frac{M}{2}(\frac{m}{m+M} d \cos(\theta))^2 \dot \theta ^2 +
\frac{m}{2}(\frac{M}{m+M}d)^2 \dot \theta ^2 +
\frac{Mr^2}{4}( \cos^2(\theta)+(\frac{M}{m+M})^2\sin^2(\theta))\dot \theta ^2
$
Che è molto simile alla mia ma non riesco proprio a capire il terzo termine da dove salta fuori?
"polbos":
... spero si capiscano ...
Si capisce poco. Preferisco scrivere le due equazioni risolventi:
Conservazione dell'energia meccanica
$1/2mgr(cos\theta_1-cos\theta_0)=1/2m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)^2+1/8m\omega_1^2r^2sin^2\theta_1+1/2Mv_1^2+1/4M\omega_1^2r^2$
Conservazione della quantità di moto lungo l'orizzontale
$Mv_1-m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)=0$
La seconda equazione non dovrebbe avere il + in mezzo?
$Mv_1+m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)=0$
$Mv_1+m(v_1-1/2\omega_1rcos\theta_1)=0$
"polbos":
La seconda equazione ...
Hai senz'altro ragione, visto che io stesso ho supposto $[v_O=v_1 gt 0] ^^ [\omega=\omega_1 gt 0]$.
Ok perfetto.
Ho rifatto i calcoli partendo dalle tue equazioni e non viene il risultato del libro ma viene lo stesso che veniva a me, a questo punto penso che ci sia stato un errore di stampa.
Grazie mille per il tuo aiuto.
Ho rifatto i calcoli partendo dalle tue equazioni e non viene il risultato del libro ma viene lo stesso che veniva a me, a questo punto penso che ci sia stato un errore di stampa.
Grazie mille per il tuo aiuto.
Salve, chiedo scusa, ma ho un dubbio.
L’attributo “liscio “ dato al piano mi lascia perplesso. Se il piano è liscio, la sua reazione può essere solo verticale verso l’alto, non ha componente orizzontale. Quindi non ci può essere spostamento laterale. Per me, il disco ruota sul posto, e si comporta come un pendolo composto, con punto di sospensione nel centro.
Quindi, dal testo va eliminato “liscio” . Il piano deve reagire anche con una forza orizzontale diretta verso destra, che non compie lavoro, quindi si conserva l’energia.
Spiegatemi se sbaglio.
L’attributo “liscio “ dato al piano mi lascia perplesso. Se il piano è liscio, la sua reazione può essere solo verticale verso l’alto, non ha componente orizzontale. Quindi non ci può essere spostamento laterale. Per me, il disco ruota sul posto, e si comporta come un pendolo composto, con punto di sospensione nel centro.
Quindi, dal testo va eliminato “liscio” . Il piano deve reagire anche con una forza orizzontale diretta verso destra, che non compie lavoro, quindi si conserva l’energia.
Spiegatemi se sbaglio.
Ciao Shackle. Lo spostamento orizzontale del disco dovrebbe essere dovuto alla reazione vincolare interna tra il punto materiale e il disco medesimo.
Anche io all' inizio ero caduto in quel errore: visto che ci sono solo forze verticali non può muoversi orizzontalmente.
In effetti il centro di massa non si sposta orizzontalmente il problema che il centro di massa non è il centro del disco.
In effetti il centro di massa non si sposta orizzontalmente il problema che il centro di massa non è il centro del disco.
"anonymous_0b37e9":
Ciao Shackle. Lo spostamento orizzontale del disco dovrebbe essere dovuto alla reazione vincolare interna tra il punto materiale e il disco medesimo.
Ciao S. @anonymous_0b37e9 . Questa non l'ho capita.
"polbos":
Anche io all' inizio ero caduto in quel errore: visto che ci sono solo forze verticali non può muoversi orizzontalmente.
In effetti il centro di massa non si sposta orizzontalmente, il problema che il centro di massa non è il centro del disco.
D'accordo , il CM , che chiamo $G$ per brevità , si trova in un punto facilmente determinabile, sul raggio passante per $C$. Nella posizione iniziale in figura, $G$ non è nel punto più basso rispetto al piano, quindi l'energia potenziale non è minima : $G$ deve abbassarsi, se vogliamo la posizione di equilibrio stabile (lascio perdere le oscillazioni) . E giustamente, siccome nella posizione iniziale di figura la quantità di moto del sistema in direzione orizzontale è nulla, tale deve rimanere durante il moto. Allora , $G$ si può spostare solo verso il basso, siete d'accordo?
Perciò , abbiamo tre vincoli che devono essere rispettati :
1)- Il centro $O$ del disco deve mantenere distanza costante $R$ dal piano : è l'unico punto del cerchio che conserva questa distanza . Perciò può spostarsi solo in orizzontale ;
2)- il baricentro $G$ , per quanto sopra detto , può spostarsi solo in verticale verso il basso ;
3)- la distanza $OG$ deve rimanere costante ;
mi sapete dire come si sposta questo disco ? Trasla , ruota , o meglio rototrasla ? Qual è , anzi quali sono , i centri di istantanea rotazione ? Non certo il punto di contatto col piano...Ho provato a fare dei disegnini , ma non mi tornano ...
Dovrebbe essere qualcosa del genere, le frecce rosse sono le velocità del punto di contatto e del baricentro G, il centro di istantanea rotazione è in P, la retta viola è la polare fissa, la circonferenza viola è la polare mobile
Ciao Shackle.
Intendevo dire che, per soddisfare il vincolo interno di cui sopra, il corpo puntiforme di massa non trascurabile e il disco devono interagire mediante una reazione vincolare interna avente una componente lungo la direzione orizzontale.
"polbos":
Un corpo puntiforme di massa m è fissato al disco in un punto C ...
Intendevo dire che, per soddisfare il vincolo interno di cui sopra, il corpo puntiforme di massa non trascurabile e il disco devono interagire mediante una reazione vincolare interna avente una componente lungo la direzione orizzontale.
"anonymous_0b37e9":
Ciao Shackle.
[quote="polbos"]
Un corpo puntiforme di massa m è fissato al disco in un punto C ...
Intendevo dire che, per soddisfare il vincolo interno di cui sopra, il corpo puntiforme di massa non trascurabile e il disco devono interagire mediante una reazione vincolare interna avente una componente lungo la direzione orizzontale.[/quote]
Non c'è dubbio che tra massa e disco ci sia un interazione , ma è appunto interna , e il sistema costituito da disco+massa solidale è un corpo rigido . Una azione interna non può causare il moto di un corpo rigido . Alla fine , è sempre la gravità la forza esterna che fa abbassare $G$ .
Comunque , la figura di Vulplasir mi sembra corretta....ma non troppo . Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale ?
Per quanto mi riguarda, mi era sfuggito che il centro istantaneo di rotazione dovesse appartenere anche alla retta orizzontale passante per il centro di massa del sistema.
Perché sul sistema complessivo agiscono solo forze esterne dirette lungo la direzione verticale.
"Shackle":
Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale?
Perché sul sistema complessivo agiscono solo forze esterne dirette lungo la direzione verticale.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto mi riguarda, mi era sfuggito che il centro istantaneo di rotazione dovesse appartenere anche alla retta orizzontale passante per il centro di massa del sistema.
[quote="Shackle"]
Come fa $G$ a spostarsi solo in verticale?
Perché sul sistema complessivo agiscono solo forze esterne dirette lungo la direzione verticale.[/quote]
D'accordo su questo. Ma allora la cinematica non mi torna .
No, le polari sono sbagliate, la polare fissa dovrebbe essere una retta inclinata passante per P, inclinata dalla parte di G, per far si che G si muova solo in verticale...ma in questo modo O non si muoverebbe solo in orizzontale...eh forse la polare fissa è una curva un po' più complicata.
Ho ipotizzato una situazione uguale ma più semplice, per capire come si muove il sistema. Ecco la mia ipotesi.
Il disco ha massa $m$ e raggio $R$, la massa aggiunta vale ancora $m$ e il punto $C_0$ in cui è attaccata al disco è, inizialmente, all’estremo del raggio orizzontale $OC_0$ , a destra. In tal modo, il baricentro $G_0$ del sistema è a metà del raggio, e dista $R/2$ dal centro $O$.
Lasciato il sistema libero di muoversi, $G$ deve spostarsi in verticale, e $O$ deve spostarsi in orizzontale. Immagino ora la situazione “finale “ in cui il raggio é ruotato di $90$ gradi, quindi $C_0$ si trova ora in $C_1$ a contatto col piano liscio , e il baricentro si trova in $G_1$ : siccome per quanto detto il baricentro si deve spostare solo in verticale, per far sì che $G_1$ si trovi sotto $G_0$ il centro O del disco dev’essere traslato di $R/2$ a destra . Ci vorrebbe una figura , forse la farò piu tardi.
Queste sono due configurazioni estreme , naturalmente si possono immaginare situazioni intermedie, per esempio con angolo di rotazione di 45 gradi, e allora lo spostamento di O a destra è di $R/2(1-(sqrt2)/2)$ , sicchè il baricentro è spostato sempre in verticale .
La velocita angolare non è costante , penso si comporti come nel pendolo fisico; neanche la velocità con cui si sposta in orizzontale il centro $O$ è costante .
Non so se queste informazioni siano sufficienti per tracciare le polari del moto, ma non credo . Vulplasir ?
Il disco ha massa $m$ e raggio $R$, la massa aggiunta vale ancora $m$ e il punto $C_0$ in cui è attaccata al disco è, inizialmente, all’estremo del raggio orizzontale $OC_0$ , a destra. In tal modo, il baricentro $G_0$ del sistema è a metà del raggio, e dista $R/2$ dal centro $O$.
Lasciato il sistema libero di muoversi, $G$ deve spostarsi in verticale, e $O$ deve spostarsi in orizzontale. Immagino ora la situazione “finale “ in cui il raggio é ruotato di $90$ gradi, quindi $C_0$ si trova ora in $C_1$ a contatto col piano liscio , e il baricentro si trova in $G_1$ : siccome per quanto detto il baricentro si deve spostare solo in verticale, per far sì che $G_1$ si trovi sotto $G_0$ il centro O del disco dev’essere traslato di $R/2$ a destra . Ci vorrebbe una figura , forse la farò piu tardi.
Queste sono due configurazioni estreme , naturalmente si possono immaginare situazioni intermedie, per esempio con angolo di rotazione di 45 gradi, e allora lo spostamento di O a destra è di $R/2(1-(sqrt2)/2)$ , sicchè il baricentro è spostato sempre in verticale .
La velocita angolare non è costante , penso si comporti come nel pendolo fisico; neanche la velocità con cui si sposta in orizzontale il centro $O$ è costante .
Non so se queste informazioni siano sufficienti per tracciare le polari del moto, ma non credo . Vulplasir ?
Orientando l'asse verticale verso il basso, le equazioni del moto sono le seguenti (se non ho commesso errori di calcolo):
Poiché il sistema ha due gradi di libertà, determinare la base e la rulletta mi pare un'impresa proibitiva, se non numericamente.
$[(2(M+m),mrcos\theta),(2mcos\theta,(2M+m)r)][(ddotx),(ddot\theta)]=[(mrdot\theta^2sin\theta),(-2mgsin\theta)]$
Poiché il sistema ha due gradi di libertà, determinare la base e la rulletta mi pare un'impresa proibitiva, se non numericamente.
Mi riferisco al mio ultimo post , e allego la figura . Ho indicato con Pos1 la posizione iniziale di partenza , con la massa aggiunta $m$ uguale alla massa del disco , in $C_0$ ,e baricentro del sistema in $G_0$ a metà del raggio ; e con Pos2 la posizione finale con la massa $m$ in $C_1$ , e baricentro in $G_1$ .
Il sistema passa da Pos1 a pos2 con una rotazione e una traslazione : la velocita angolare non è costante , e non è costante la velocità di traslazione . Nella terza figura ho sovrapposto le prime due , in modo tale da avere $G_1$ in posizione verticale sotto $G_0$ originale . Per ottenere ciò , il centro $O$ del disco si deve spostare verso destra di $R/2$ .
La velocità angolare media , nella rotazione di $1/4$ di circonferenza, è più grande della velocità angolare che si avrebbe in un moto di puro rotolamento con velocità constante; qui c'è slittamento (senza resistenza di attrito, visto che il piano è liscio) . Infatti , lo spostamento $PC_1$ è uguale a $R/2$, mentre nella rotazione di 1/4 di circonferenza senza slittamento la lunghezza del segmento sul piano, tra i due punti estremi, è pari a : $\pi/2R $ .
Se uno vuole , può fare altri disegni per posizioni intermedie di rotazioni . Per esempio, per una rotazione di $\pi/4 $ , le condizioni cinematiche dette ci dicono che il centro del cerchio si deve spostare in orizzontale di : $ R - Rcos(\pi/4) = R (1-(sqrt2)/2) $ , affinché $G$ rimanga sempre sulla verticale per $G_0$ .
@anonymous_0b37e9 , sarei curioso di sapere come sei arrivato a quelle equazioni . Sono troppo pigro , e forse incapace , per ricavarmele da solo!
E sono d'accordo con te , determinare le polari del moto non deve essere semplice
Il sistema passa da Pos1 a pos2 con una rotazione e una traslazione : la velocita angolare non è costante , e non è costante la velocità di traslazione . Nella terza figura ho sovrapposto le prime due , in modo tale da avere $G_1$ in posizione verticale sotto $G_0$ originale . Per ottenere ciò , il centro $O$ del disco si deve spostare verso destra di $R/2$ .
La velocità angolare media , nella rotazione di $1/4$ di circonferenza, è più grande della velocità angolare che si avrebbe in un moto di puro rotolamento con velocità constante; qui c'è slittamento (senza resistenza di attrito, visto che il piano è liscio) . Infatti , lo spostamento $PC_1$ è uguale a $R/2$, mentre nella rotazione di 1/4 di circonferenza senza slittamento la lunghezza del segmento sul piano, tra i due punti estremi, è pari a : $\pi/2R $ .
Se uno vuole , può fare altri disegni per posizioni intermedie di rotazioni . Per esempio, per una rotazione di $\pi/4 $ , le condizioni cinematiche dette ci dicono che il centro del cerchio si deve spostare in orizzontale di : $ R - Rcos(\pi/4) = R (1-(sqrt2)/2) $ , affinché $G$ rimanga sempre sulla verticale per $G_0$ .
@anonymous_0b37e9 , sarei curioso di sapere come sei arrivato a quelle equazioni . Sono troppo pigro , e forse incapace , per ricavarmele da solo!
E sono d'accordo con te , determinare le polari del moto non deve essere semplice
"Shackle":
Sono troppo pigro ...
Propendo per la prima ipotesi. Ad ogni modo, mediante la forza bruta della meccanica razionale.
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