Disco che ruota su un piano, difficoltà verso dell' attrito.

[antol1995]

ciao a tutti mi aiutate a trovare l errore?
Un rocchetto è formato da due dischi esterni di massa $M$ e raggio $R=7cm$ e da un disco interno di massa $m=2M$ e raggio $r

I cardinale in O lungo asse x
$ Ma=T+F $
II cardinale in O
$ Ioalpha =-Tr+FR $
calcolo il momento di inerzia
$ Io=MR^2+Mr^2 $
condizione di rotolamento puro
$ alpha R=a $
da cui
$ (F+T)/M=((-Tr+FR)R/(Mr^2+MR^2)) $
da cui
$ Fr^2=T(-r^2-rR-R^2) $
e la forza di attrito è uguale a zero se
$ -r^2-rR-R^2=0 $
equazione impossibile in quanto il delta viene negativo, mentre il risultato dovrebbe essere
$ r=R(2-3^(1/2)) $
I miei dubbi principali sono :
1) il verso dell attrito che penso sia rivolto verso destra (altrimenti il disco ruoterebbe senza però spostare il suo centro di massa)
2) se quando applico la condizione di rotolamento puro devo eventualmente scrivere
$ -alpha R=a $

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto , la massa totale è $4M$ . Quindi il momento di inerzia rispetto all'asse centrale perpendicolare al foglio vale :

$I_0 = M(R^2+r^2) $

LA condizione di rotolamento puro puoi scriverla : $a = \alphaR \rightarrow \alpha = a/R$

Non si conosce a priori , in una situazione del genere, la direzione della forza di attrito. Tu l'hai ipotizzata diretta verso destra, come la $T$ : bene. Tieni presente che la forza $T$ applicata a distanza $r$ dall'asse di simmetria centrale equivale a una forza applicata all'asse stesso più un momento orario .
Una forza applicata all'asse verso destra comporta una forza di attrito diretta verso sinistra, quindi contro il moto, mentre quella dovuta al momento orario comporta una forza di attrito diretta verso destra, cioè a favore del moto.

Comunque , con l'assunzione da te fatta , le equazioni cardinali della dinamica si scrivono :

$4Ma = T + F $
$I_0\alpha = Tr - FR$

sostituendo le espressioni date per $\alpha $ e per $I_0$ , e facendo tutti i passaggi (che non riporto, comunque ricavo $a$ dalla seconda e sostituisco nella prima) io trovo ad un certo punto che la forza di attrito vale :

$F = (4TrR -T(r^2+R^2))/(5R^2 + r^2) $

che deve essere nulla, per cui deve essere nullo il numeratore. Ottengo :

$r^2 - 4rR + R^2 = 0 $

che ha due radici , di cui si assume questa : $ r = (4-2sqrt3)/2 *R = (2-sqrt3)*R $ .

[antol1995]

grazie mille per la risposta.
C è però un' ultima cosa che non capisco riguardo l' applicazione della seconda cardinale ( che io avevo applicato con segno opposto).
Una volta fissato un sistema di riferimento io ero abituato a porre con segno positivo le forze che fanno ruotare il sistema come se la velocità angolare $ omega $ fosse diretta lungo l asse z (con gli assi x, y z che formano una terna destrorsa) e con segno negativo quelle che fanno ruotare il sistema come se $ omega $ fosse diretta lungo -z.
questo procedimento è corretto e può essere sempre applicato oppure ci sono altri metodi per stabilire il segno?

[antol1995]

in questo caso per esempio: l asta è imperniata in A ed è noto l angolo iniziale $ vartheta $

è corretto applicare il metodo precedente ottenendo
$ Ioalpha =(AC)Pcosvartheta -(AB)Fsinvartheta $
oppure applicando la II cardinale bisogna dare segno positivo a quelle forze che fanno aumentare l' angolo $ vartheta $ e segno negativo a quelle che lo fanno diminuire??? ottenendo
$ Ioalpha =-(AC)Pcosvartheta +(AB)Fsinvartheta $

grazie mille in anticipo

[Sk_Anonymous]

"antol1995":grazie mille per la risposta.
C è però un' ultima cosa che non capisco riguardo l' applicazione della seconda cardinale ( che io avevo applicato con segno opposto).
Una volta fissato un sistema di riferimento io ero abituato a porre con segno positivo le forze che fanno ruotare il sistema come se la velocità angolare $ omega $ fosse diretta lungo l asse z (con gli assi x, y z che formano una terna destrorsa) e con segno negativo quelle che fanno ruotare il sistema come se $ omega $ fosse diretta lungo -z.
questo procedimento è corretto e può essere sempre applicato oppure ci sono altri metodi per stabilire il segno?

A volte essere precisi, bisogna :
1) stabilire la terna destrorsa $veci, vecj,veck$ , per esempio con $x$ orizzontale verso destra, $y$ verso l'alto, e quindi $z$ uscente dal foglio verso di te.
2) scrivere la condizione di rotolamento puro come relazione vettoriale : prendiamo per esempio un disco in moto di rotolamento nel verso positivo di $x$ , cioè verso destra, sotto l'azione di una forza applicata all'asse.
Siccome un punto $P$ di un corpo rigido ha velocità :

$vecv_P = vecv_(CM) + vec\omegatimesvecr$

la condizione di rotolamento puro richiede che la velocità del punto di contatto, che è sull'asse di istantanea rotazione, sia nulla , quindi $vecv_P = 0 $ . Perciò la condizione di rotolamento puro del disco sull'asse $x$ si scrive :

$vecv_(CM) = - vec\omega times vec R $

essendo $vec\omega$ diretto nel verso negativo di $z$ ( entra nel foglio) .

3) scrivere la prima cardinale in forma vettoriale : $mveca_(CM) = mvecg + vecF_R + vecF$

dove $vecF_R $ è la reazione del piano , che ha una componente normale $vecN$ e una componente tangenziale uguale alla forza di attrito $vecf$

4) scrivere anche la seconda cardinale come equazione vettoriale : $Ivec\alpha = vecRtimesvecf$ , dove il polo è nel CM.

E poi devi proiettare le equazioni sugli assi, stando attento ai versi dei vettori e dei momenti.

Spesso ho citato questa dispensa :

http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf

in cui nel par. 7.8 sono discussi i vari casi.

In questo thread trovi una discussione sulla argomento.

Se cerchi "rotolamento puro" nel forum, ne trovi altri.

Nell'esempio che fai, che non ho ben capito, devi comunque rispettare i versi delle forze e dei momenti, e tenerne conto quando vai a proiettare sugli assi.