Disco che rotola con una massa fissata al suo raggio
Salve,
del seguente problemino ho risolto il punto a) ma non trovo la strada per gli altri......
del seguente problemino ho risolto il punto a) ma non trovo la strada per gli altri......
Risposte
Ciao Zorrok . Il tu esercizio è simile, anche se non uguale, a questo , in cui il disco porta una massa concentrata in un punto della circonferenza, che inizialmente è alla sommità del disco.
Nel tuo caso, che puoi facilmente adattare, la massa è su un raggio che inizialmente forma un certo angolo. Cambia quello che c'è da cambiare, e hai fatto.
Nel tuo caso, che puoi facilmente adattare, la massa è su un raggio che inizialmente forma un certo angolo. Cambia quello che c'è da cambiare, e hai fatto.
Navi, l'esercizio indicato da te era un sistema a un grado di liberta (c'era attrito).
Qui non c'e' attrito, e' leggermente piu' complicato, perche hai 2 gradi di liberta, credo.
Qui non c'e' attrito, e' leggermente piu' complicato, perche hai 2 gradi di liberta, credo.
Come ha detto professorkappa, il problema indicato da navigatore è diverso da questo.
@zorrock
La posizione del centro di massa del sistema in orizzontale non può spostarsi, non agendo forze orizzontali, da tale considerazione risolvi per il primo punto (come credo hai fatto); per il secondo e ultimo punto puoi applicare la conservazione dell'energia meccanica (sempre tenendo conto che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema è sempre nulla), per il terzo punto basta che scrivi l'equazione di Newton e tieni conto che quando la massa si trova nel punto più basso, l'accelerazione tangenziale è nulla.
@zorrock
La posizione del centro di massa del sistema in orizzontale non può spostarsi, non agendo forze orizzontali, da tale considerazione risolvi per il primo punto (come credo hai fatto); per il secondo e ultimo punto puoi applicare la conservazione dell'energia meccanica (sempre tenendo conto che la velocità orizzontale del centro di massa del sistema è sempre nulla), per il terzo punto basta che scrivi l'equazione di Newton e tieni conto che quando la massa si trova nel punto più basso, l'accelerazione tangenziale è nulla.
Già. Rileggendo il testo, dice che il disco è appoggiato su un piano orizzontale liscio. Grazie per averlo notato.
Siete dei falchi …..
Come non detto.
Siete dei falchi …..
Come non detto.
Il punto b) così come l'ho sviluppato non coincide con la soluzione data dal testo, forse ho sbagliato a scrivere
la conservazione dell'energia....
mentre il punto c) da la risposta corretta:
la conservazione dell'energia....
mentre il punto c) da la risposta corretta:
Per il secondo punto io scriverei:
$(m+M)g d_{cm}(1-cos theta )=1/2 I_T omega^2$
con $d_{cm}=\frac{md}{m+M}$ e $I_T=1/2MR^2+Md_{cm}^2+m(d-d_{cm})^2$
La velocità del centro del disco poi sarà $omega d_{cm}$.
PS: invece di scrivere le formule allegando immagini su immagini perché non impari a usare le formule a disposizione nel forum? E' molto più semplice e elegante, e anche più comodo per quotare e risponderti.
$(m+M)g d_{cm}(1-cos theta )=1/2 I_T omega^2$
con $d_{cm}=\frac{md}{m+M}$ e $I_T=1/2MR^2+Md_{cm}^2+m(d-d_{cm})^2$
La velocità del centro del disco poi sarà $omega d_{cm}$.
PS: invece di scrivere le formule allegando immagini su immagini perché non impari a usare le formule a disposizione nel forum? E' molto più semplice e elegante, e anche più comodo per quotare e risponderti.
Non mi va tanto di fare i calcoli per vedere se hai ragione tu o il libro, ma io scriverei due semplici equazioni.
Usando la notazione di Faussone ($d_{cm}$) e' la distanza dal centro della circonferenza del baricentro del sistema:
(1) Conservazione dell' Energia
$ 1/2(m+M)\dot{y_g}^2+1/2I_g\dot\theta^2=(M+m)d_{cm}gcos\theta $
E poi sapendo che $ y_g=-d_{cm}cos\theta $ trovo che $ \doty_g=\dot\theta*d_{cm}sin\theta $
Sostituisci eliminando il $\dot\theta$e risolvi per $\doty_g$, tenendo conto che $I_g$ te lho ha gia' dato Fauss.
la V e' $\dot{y_g}+\omega*d_{cm}$
Usando la notazione di Faussone ($d_{cm}$) e' la distanza dal centro della circonferenza del baricentro del sistema:
(1) Conservazione dell' Energia
$ 1/2(m+M)\dot{y_g}^2+1/2I_g\dot\theta^2=(M+m)d_{cm}gcos\theta $
E poi sapendo che $ y_g=-d_{cm}cos\theta $ trovo che $ \doty_g=\dot\theta*d_{cm}sin\theta $
Sostituisci eliminando il $\dot\theta$e risolvi per $\doty_g$, tenendo conto che $I_g$ te lho ha gia' dato Fauss.
la V e' $\dot{y_g}+\omega*d_{cm}$
Nota, ultima formula da mettersi in notazine vettoriale, ma ora devo uscire e non ho tempo per aggiustarla
L'equazione che ho scritto io va bene per il punto b) per il quale la velocità del centro di massa verticale nel punto più basso è nulla ($dot y_g=0$), quello che ha scritto professorkappa è più generale.
Credo però che ci sia una piccola svista nell'equazione di professorkappa: a secondo membro della prima equazione deve essere $(1-cos (Delta theta))$ invece di $cos theta$, con $Delta theta$ differenza tra l'angolo formato dalla congiungente tra massa e centro del disco con la verticale all'inizio e alla fine.
Credo però che ci sia una piccola svista nell'equazione di professorkappa: a secondo membro della prima equazione deve essere $(1-cos (Delta theta))$ invece di $cos theta$, con $Delta theta$ differenza tra l'angolo formato dalla congiungente tra massa e centro del disco con la verticale all'inizio e alla fine.
"Faussone":
L'equazione che ho scritto io va bene per il punto b) per il quale la velocità del centro di massa verticale nel punto più basso è nulla ($dot y_g=0$), quello che ha scritto professorkappa è più generale.
Credo però che ci sia una piccola svista nell'equazione di professorkappa: a secondo membro della prima equazione deve essere $(1-cos (Delta theta))$ invece di $cos theta$, con $Delta theta$ differenza tra l'angolo formato dalla congiungente tra massa e centro del disco con la verticale all'inizio e alla fine.
Corretto. Avevo preso come livello 0 l'asse passante per il baricentro in modo che fosse $E_p+E_k=0$ ma quando ho trasportato a secondo membro ho dimenticato $mgd_{cm}$ - e anche il segno. Un tempo li facevo a mente, ma il motore arranca un po' ultimamente. Devo dire pero' che da quando partecipo qui un sacco di ruggine l'ho tolta, anche se qualche svarione arriva ancora.
Ecco la soluzione del punto a) e b)
Non so cosa non ti torni.
Se uso l'equazione che ho scritto io in forma generale (non quella corretta da Fauss, che lui ha saltato il passaggio per arrivare direttamente alla soluzione),
[$E = 1/2(m+M)\dot{y_g}^2+1/2I_g\dot\theta^2-(M+m)d_{cm}g(cos\theta)$], che rappresenta l'energia meccanica del sistema in funzione di $\doty_g$ e $\dot\theta$
Tenendo conto che $y_g=-d_{cm}cos\theta$, troviamo per derivazione che $\doty_g=d_{cm}sin\theta*\dot\theta$
All'inizio, $\dot\theta=0$, il che significa che $\doty_g=0$. Inoltre, $\theta=\theta_0$,
Quindi: $E_0=-(M+m)d_{cm}g(cos\theta_0)$
Quando il punto passa per la verticale, $\theta=0$ e quindi $\doty_g=0$.
La velocita' angolare sara $\dot\theta=\theta_1$ (incognita) il che porta a scrivere:
$E_1= 1/2I_g\dot\theta_1^2-(M+m)d_{cm}g$
Eguagliando $E_1=E_0$
$1/2I_g\dot\theta_1^2-(M+m)d_{cm}g =- (M+m)d_{cm}g(cos\theta_0)$
Da cui ricavi $\dot\theta_1^2= {2(M+m)d_{cm}g(1-cos\theta_0)}/{I_g}$. Mi pare che fino a qui sia identico al Rosati, per favore, ricontrolla.
per trovare la velocita di $V_c$, si tiene conto che in generale $\vec{V_c}=\vec{V_g}+\dot\theta\vec{k}\times\vec{GC}$
Ma abbiamo visto che quando la massa passa per la verticale $V_g=0$, perche sono nulle entrambe le componenti $\dotx_g,\doty_g$ e quindi:
$V_c^2=\dot\theta_1^2*(GC)^2=\dot\theta_1^2*d_{cm}^2$
$I_g$ e' ovviamente quello del Rosati, di Faussone e del sottoscritto. Mi pare che il risultato torni dunque con quello del Rosati. O no?
Se uso l'equazione che ho scritto io in forma generale (non quella corretta da Fauss, che lui ha saltato il passaggio per arrivare direttamente alla soluzione),
[$E = 1/2(m+M)\dot{y_g}^2+1/2I_g\dot\theta^2-(M+m)d_{cm}g(cos\theta)$], che rappresenta l'energia meccanica del sistema in funzione di $\doty_g$ e $\dot\theta$
Tenendo conto che $y_g=-d_{cm}cos\theta$, troviamo per derivazione che $\doty_g=d_{cm}sin\theta*\dot\theta$
All'inizio, $\dot\theta=0$, il che significa che $\doty_g=0$. Inoltre, $\theta=\theta_0$,
Quindi: $E_0=-(M+m)d_{cm}g(cos\theta_0)$
Quando il punto passa per la verticale, $\theta=0$ e quindi $\doty_g=0$.
La velocita' angolare sara $\dot\theta=\theta_1$ (incognita) il che porta a scrivere:
$E_1= 1/2I_g\dot\theta_1^2-(M+m)d_{cm}g$
Eguagliando $E_1=E_0$
$1/2I_g\dot\theta_1^2-(M+m)d_{cm}g =- (M+m)d_{cm}g(cos\theta_0)$
Da cui ricavi $\dot\theta_1^2= {2(M+m)d_{cm}g(1-cos\theta_0)}/{I_g}$. Mi pare che fino a qui sia identico al Rosati, per favore, ricontrolla.
per trovare la velocita di $V_c$, si tiene conto che in generale $\vec{V_c}=\vec{V_g}+\dot\theta\vec{k}\times\vec{GC}$
Ma abbiamo visto che quando la massa passa per la verticale $V_g=0$, perche sono nulle entrambe le componenti $\dotx_g,\doty_g$ e quindi:
$V_c^2=\dot\theta_1^2*(GC)^2=\dot\theta_1^2*d_{cm}^2$
$I_g$ e' ovviamente quello del Rosati, di Faussone e del sottoscritto. Mi pare che il risultato torni dunque con quello del Rosati. O no?
E' tutto OK avevo solo messo "in bella" i punti a) e b); il c) l'ho messo più sopra, rimane il punto d)
ovvero calcolare la velocità per un angolo generico teta
partendo dalla relazione da te suggerita ho così svolto i calcoli ma non coincide con la soluzione del testo..
ovvero calcolare la velocità per un angolo generico teta
partendo dalla relazione da te suggerita ho così svolto i calcoli ma non coincide con la soluzione del testo..
Di nuovo, guardando solo i risultati final, se sostituisci quel $sin^2$ con $1-cos^2$?
non riesco a cavare un ragno dal buco....una cassa di birra a chi svela l'arcano.
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