Dipolo tra due fili rettilinei infiniti
Ciao a tutti, ho un problema a gestire il dipolo in questo esercizio (che ha due quesiti al suo interno).
Due fili di grande lunghezza $l$ complanari e paralleli sono posti a distanza $2d$. Sui fili
sono disposte due densità di carica elettrica lineari uniformi di valori rispettivamente $+λ$ e $−λ$. I fili hanno uno spessore finito, ma trascurabile rispetto a d. Un dipolo elettrico $vecp$, di momento di
dipolo $p = 1.54 nC· m $ e di massa $m = 1.72 × 10−9 kg$, è posto sulla linea di mezzeria tra i due fili ed è
orientato lungo la direzione ortogonale ai due fili nel verso che va dal filo con carica elettrica negativa al filo
con carica elettrica positiva. Calcolare la forza che agisce sul dipolo.
In seguito si trasla rigidamente il dipolo, senza ruotarlo, lungo la direzione ortogonale ai due fili di un tratto $a$ (si noti $a << d$) e lo si lascia libero di muoversi. Dopo avere verificato che il dipolo compie un moto di oscillazione, si calcoli il periodo della oscillazione.
Per il primo quesito, approssimando la distanza tra le due cariche del dipolo come trascurabile rispetto a d, ottengo che la forza è nulla, ma non sono certa che lo svolgimento sia corretto:
$F_(q+) = lambda*q/(2piepsilon_0) (1/(d+a)+1/(d-a))$
$F_(q-) = -F_(q+)$
Per il secondo, non capisco se devo usare la stessa approssimazione (distanza tra le cariche del dipolo trascurabile rispetto a d) e soprattutto, non avendo né distanza né carica come dati del problema, come fare a far venire fuori nei conti il momento di dipolo. Grazie :)
Due fili di grande lunghezza $l$ complanari e paralleli sono posti a distanza $2d$. Sui fili
sono disposte due densità di carica elettrica lineari uniformi di valori rispettivamente $+λ$ e $−λ$. I fili hanno uno spessore finito, ma trascurabile rispetto a d. Un dipolo elettrico $vecp$, di momento di
dipolo $p = 1.54 nC· m $ e di massa $m = 1.72 × 10−9 kg$, è posto sulla linea di mezzeria tra i due fili ed è
orientato lungo la direzione ortogonale ai due fili nel verso che va dal filo con carica elettrica negativa al filo
con carica elettrica positiva. Calcolare la forza che agisce sul dipolo.
In seguito si trasla rigidamente il dipolo, senza ruotarlo, lungo la direzione ortogonale ai due fili di un tratto $a$ (si noti $a << d$) e lo si lascia libero di muoversi. Dopo avere verificato che il dipolo compie un moto di oscillazione, si calcoli il periodo della oscillazione.
Per il primo quesito, approssimando la distanza tra le due cariche del dipolo come trascurabile rispetto a d, ottengo che la forza è nulla, ma non sono certa che lo svolgimento sia corretto:
$F_(q+) = lambda*q/(2piepsilon_0) (1/(d+a)+1/(d-a))$
$F_(q-) = -F_(q+)$
Per il secondo, non capisco se devo usare la stessa approssimazione (distanza tra le cariche del dipolo trascurabile rispetto a d) e soprattutto, non avendo né distanza né carica come dati del problema, come fare a far venire fuori nei conti il momento di dipolo. Grazie :)
Risposte
praticamente, con le assunzioni del problema i dettagli del dipolo (la carica e la loro distanza individualmente) sono irrilevanti - queste sono importanti solo quando studi il campo generato dal dipolo ad una distanza dell'ordine della separazione tra le cariche.
A partire dalle forze esterne che agiscono sulle cariche si può dimostrare facilmente - o comunque trovare sul tuo testo, trattandosi di teoria di base - tramite una espansione di Taylor, che l'energia del dipolo immerso in un campo esterno è:
\[
U = - \vec{p}\cdot\vec{E}
\]
dove p è il vettore momento di dipolo (con verso che va da carica negativa a carica positiva) e E il campo esterno in cui è immerso, valutato nella posizione in cui si trova il dipolo - puoi immaginare che sia a metà tra le due cariche.
In questo caso il campo esterno è quello generato dai due fili, e calcolando (-) gradiente dell'energia potenziale puoi trovare la forza che agisce sul CDM del dipolo.
A partire dalle forze esterne che agiscono sulle cariche si può dimostrare facilmente - o comunque trovare sul tuo testo, trattandosi di teoria di base - tramite una espansione di Taylor, che l'energia del dipolo immerso in un campo esterno è:
\[
U = - \vec{p}\cdot\vec{E}
\]
dove p è il vettore momento di dipolo (con verso che va da carica negativa a carica positiva) e E il campo esterno in cui è immerso, valutato nella posizione in cui si trova il dipolo - puoi immaginare che sia a metà tra le due cariche.
In questo caso il campo esterno è quello generato dai due fili, e calcolando (-) gradiente dell'energia potenziale puoi trovare la forza che agisce sul CDM del dipolo.
è posto sulla linea di mezzeria tra i due fili ed è
orientato lungo la direzione ortogonale ai due fili nel verso che va dal filo con carica elettrica negativa al filo
con carica elettrica positiva.
Innanzitutto bisognerebbe capire come e' disposto esattamente questo dipolo. A me non sembra chiaro.
ottengo che la forza è nulla, ma non sono certa che lo svolgimento sia corretto
Secondo me e' la risposta corretta.
Grazie mille a entrambi!
In effetti anche io ero incerta se per direzione ortogonale si intende quella entrante nel piano che inizialmente contiene i due fili e il dipolo oppure la direzione perpendicolare ai due fili, sempre sullo stesso piano. Visto che il primo problema si fa sul piano, forse anche per il secondo farei la stessa considerazione, contando che in questo modo si può usare l’espressione della forza calcolata nel primo quesito (con qualche modifica per far sì che descriva un moto oscillatorio).
"Quinzio":
Innanzitutto bisognerebbe capire come e' disposto esattamente questo dipolo. A me non sembra chiaro.
In effetti anche io ero incerta se per direzione ortogonale si intende quella entrante nel piano che inizialmente contiene i due fili e il dipolo oppure la direzione perpendicolare ai due fili, sempre sullo stesso piano. Visto che il primo problema si fa sul piano, forse anche per il secondo farei la stessa considerazione, contando che in questo modo si può usare l’espressione della forza calcolata nel primo quesito (con qualche modifica per far sì che descriva un moto oscillatorio).
Per piccoli spostamenti rispetto alla posizione di equilibrio:
si tratta di un'energia potenziale elastica:
$[-d lt x lt d] ^^ [x/d rarr 0]$
si tratta di un'energia potenziale elastica:
$U=(p\lambdad)/(\pi\epsilon_0)1/(d^2-x^2)=(p\lambda)/(\pi\epsilon_0d)1/(1-x^2/d^2)=(p\lambda)/(\pi\epsilon_0d)+(p\lambda)/(\pi\epsilon_0d^3)x^2+...$
Grazie Noodles! Questa formula posso ricavarla da queste oppure anche questo primo passaggio è sbagliato?
"spina3003":
$F_(q+) = lambda*q/(2piepsilon_0) (1/(d+a)+1/(d-a))$
$F_(q-) = -F_(q+)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo