Dipolo oscillante vicino ad un piano conduttore
Salve,
chiedo un aiuto per capire se ho risolto correttamente il seguente esercizio.
chiedo un aiuto per capire se ho risolto correttamente il seguente esercizio.
Risposte
Premesso che se continui a scrivere in quel modo [nota]Cosa usi? MSWord?[/nota], non posso ne quotare ne riutilizzare (e magari correggere) le tue equazioni senza doverle riscrivere, ti rispondo osservando che non capisco come tu possa evitare di usare il metodo dell'immagine, andando semplicemente a "sommare" il campo prodotto dal dipolo in P con quello (che dici) prodotto dal piano conduttore, visto che sarà tutto il piano a contribuire al campo in P; la situazione è analoga a quella più semplice del campo elettrostatico in un punto in presenza di una carica elettrica e di un piano conduttore, che di sicuro avrai affrontato nei tuoi studi.
Direi che il metodo delle "immagini" in questi casi sia l'unico applicabile nella ricerca di una soluzione simbolica, e con l'uso del dipolo immagine, tutto risulterà più semplice in quanto ci liberiamo di quel piano e sovrapponiamo i due campi parziali dei soli due dipoli.
BTW Occhio a quella relazione per il campo elettrico, che mi sembra errata.
Direi che il metodo delle "immagini" in questi casi sia l'unico applicabile nella ricerca di una soluzione simbolica, e con l'uso del dipolo immagine, tutto risulterà più semplice in quanto ci liberiamo di quel piano e sovrapponiamo i due campi parziali dei soli due dipoli.
BTW Occhio a quella relazione per il campo elettrico, che mi sembra errata.
Innanzitutto mi scuso se ho usato l'immagine del foglio word che uso insieme a Equation Editor.
Allora..provo a riscrivere le equazioni, perchè la mia richiesta di aiuto era proprio se è possibile usare un metodo alternativo a quello delle immagini e mi sembrava corretto sommare il campo prodotto direttamente su P dal dipolo con quello prodotto dal piano. Allora a questo punto la domanda è quant'è il campo elettrico prodotto da un piano conduttore investito dal campo di un dipolo oscillante?
Il campo prodotto diretamente dal dipolo stante la geometria del problema risulterà diretto nel verso negativo dell'asse x:
$E_(dir)=-(p_0\omega^2sin\omegat)/(4\pi\epsilonc^2)(sin(kr-\omegat))/r$ (1)
Sappiamo dalla teoria che un piano conduttore investito da un'onda elettromagnetica avente campo elettrico $E_i$ riflette l'onda che risulterà polarizzata e con un campo pari a quello incidente solo invertito, cioè $E_r=-E_i$
ed io ho ragionato supponendo che l'onda del dipolo che arriva sul piano sia quello dovuto dalla (1) dove ora $r=h_1$
Giustamente mi fai osservare che occorrerebbe considerare non solo l'onda che arriva in O ma in tutti gli infiniti punti del piano...a questo punto direi che questo approccio è irrisolvibile.
campo del piano in P ???
Allora..provo a riscrivere le equazioni, perchè la mia richiesta di aiuto era proprio se è possibile usare un metodo alternativo a quello delle immagini e mi sembrava corretto sommare il campo prodotto direttamente su P dal dipolo con quello prodotto dal piano. Allora a questo punto la domanda è quant'è il campo elettrico prodotto da un piano conduttore investito dal campo di un dipolo oscillante?
Il campo prodotto diretamente dal dipolo stante la geometria del problema risulterà diretto nel verso negativo dell'asse x:
$E_(dir)=-(p_0\omega^2sin\omegat)/(4\pi\epsilonc^2)(sin(kr-\omegat))/r$ (1)
Sappiamo dalla teoria che un piano conduttore investito da un'onda elettromagnetica avente campo elettrico $E_i$ riflette l'onda che risulterà polarizzata e con un campo pari a quello incidente solo invertito, cioè $E_r=-E_i$
ed io ho ragionato supponendo che l'onda del dipolo che arriva sul piano sia quello dovuto dalla (1) dove ora $r=h_1$
Giustamente mi fai osservare che occorrerebbe considerare non solo l'onda che arriva in O ma in tutti gli infiniti punti del piano...a questo punto direi che questo approccio è irrisolvibile.
campo del piano in P ???
"zorrok":
... Allora a questo punto la domanda è quant'è il campo elettrico prodotto da un piano conduttore investito dal campo di un dipolo oscillante?
Se questa era la tua richiesta allora ti rispondo che sarà anche ottenibile via integrazione dei contributi elementari, ma di certo lascio volentieri la risposta ad altri.
"zorrok":
... Il campo prodotto diretamente dal dipolo stante la geometria del problema risulterà diretto nel verso negativo dell'asse x:
$E_(dir)=-(p_0\omega^2sin\omegat)/(4\pi\epsilonc^2)(sin(kr-\omegat))/r$ (1)
Come ti dicevo la tua relazione non mi sembra corretta; io, per un generica colatitudine $\theta$, scriverei
$E_(\theta)=(p_0\omega^2sin\theta)/(4\pi\epsilonc^2)(sin(kr-\omegat))/r$
e quindi, per un punto P sul piano yz, la componente lungo x
$E_(dir)=-(p_0\omega^2)/(4\pi\epsilonc^2)(sin(kr-\omegat))/r$
"zorrok":
... Sappiamo dalla teoria che un piano conduttore investito da un'onda elettromagnetica avente campo elettrico $E_i$ riflette l'onda che risulterà polarizzata e con un campo pari a quello incidente solo invertito,... mi fai osservare che occorrerebbe considerare non solo l'onda che arriva in O ma in tutti gli infiniti punti del piano...a questo punto direi che questo approccio è irrisolvibile.
Forse non in assoluto irrisolvibile, ma di certo non facilmente percorribile.
"zorrok":
... campo del piano in P ???
Il campo prodotto dall'intero piano in P, così come in ogni "punto lontano" del semispazio $z > 0$, è lo stesso di quello prodotto da un dipolo oscillante immagine $\vec p_i=-\vec p$ centrato in posizione $Q=(0,0,-h_1) $; andando a sommare vettorialmente i "campi lontani" di questi due dipoli oscillanti, avrai il campo elettrico cercato.
Si per un refuso ho indicato $sin\omegat$ al posto di $sin\theta$
Perchè specifichi "punto lontano"? in un punto vicino cosa cambia? la condizione iniziale del prob. è $a > >h_1 e h_2$
Perchè specifichi "punto lontano"? in un punto vicino cosa cambia? la condizione iniziale del prob. è $a > >h_1 e h_2$
"zorrok":
perchè specifichi "punto lontano"?
Semplicemente per ricordare che in quel caso è possibile usare per il campo la relazione (approssimata) valida quando \(r \gg \lambda\), ovvero quella di "campo lontano", ricavabile dalle relazioni generali al verificarsi della suddetta relazione d'ordine fra distanza del punto dalla sorgente (il dipolo) e la lunghezza d'onda.
"zorrok":
... in un punto vicino cosa cambia?
Tutto, ovvero cambia che non potremo più usare quella relazione di "campo lontano", ma dovremo invece usare una relazione (sempre approssimata) di "campo vicino"; di certo ti avranno spiegato la differenza fra le due approssimazioni, che vanno a semplificare le più complesse relazioni generali.
"zorrok":
... la condizione iniziale del prob. è $a > >h_1 e h_2$
Come ti dicevo non è quella [nota]Che invece permetterà di esprimere il campo complessivo del problema in una forma più sintetica.[/nota] relazione d'ordine che va a permettere la semplificazione della relazione per la componente $E_\theta$ (e $E_r$), ma è invece la \(r \approx a \gg \lambda \) che ci permetterà di farlo.
Grazie di tutte le "dritte".
Allora considerando il "dipolo immagine" posizionato in $(0,0,-h_1)$ avrei che il campo in P è la somma di quello prodotto direttamente dal dipolo più il campo del "dipolo immagine" ($sin\theta=1$ in quanto nel piano equatoriale $\theta=90°$)
$E_x=((p_0\omega^2)/(4\pi\epsilon_0c^2))(sin(\omega(t- r_1/c))/r_1-sin(\omega(t-r_2/c))/r_2)$
con $r_1=(a^2+(h_2-h_1)^2)^(1/2)\approxa(1+(h_2-h_1)^2/(2a^2))$
e $r_2=(a^2+(h_2+h_1)^2)^(1/2)\approxa(1+(h_2+h_1)^2/(2a^2))$
sostituendo questi valori e con qualche passaggio si arriva alla soluzione
$E_x=(p_0\omega^2h_1h_2)/(2\pi\epsilon_0c^3a^2)cos\omega(t-a/c)$
Allora considerando il "dipolo immagine" posizionato in $(0,0,-h_1)$ avrei che il campo in P è la somma di quello prodotto direttamente dal dipolo più il campo del "dipolo immagine" ($sin\theta=1$ in quanto nel piano equatoriale $\theta=90°$)
$E_x=((p_0\omega^2)/(4\pi\epsilon_0c^2))(sin(\omega(t- r_1/c))/r_1-sin(\omega(t-r_2/c))/r_2)$
con $r_1=(a^2+(h_2-h_1)^2)^(1/2)\approxa(1+(h_2-h_1)^2/(2a^2))$
e $r_2=(a^2+(h_2+h_1)^2)^(1/2)\approxa(1+(h_2+h_1)^2/(2a^2))$
sostituendo questi valori e con qualche passaggio si arriva alla soluzione
$E_x=(p_0\omega^2h_1h_2)/(2\pi\epsilon_0c^3a^2)cos\omega(t-a/c)$
"zorrok":
... sostituendo questi valori e con qualche passaggio ...
..., grazie alle formule di addizione (o alle f. di prostaferesi) e a McLaurin,
$\sin(\frac{\omega h_1h_2}{ac})\approx \frac{\omega h_1h_2}{ac}$
approssimando i coefficienti moltiplicativi $\frac{1}{r_1} \approx 1/r_2\approx 1/a$, porta a
$E_x\approx(p_0\omega^3h_1h_2)/(2\pi\epsilon_0c^3a^2) \cos\omega(t-a/c)$
.
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