Dipendenza tra le molecole e la loro distanza

[giantmath]

sono di nuovo io

studiando le forze elastiche, mi sono imbattuto in questa formula:
$ f_r(r)=((df_r)/(dr))_(r0)(r-r_0)=-C(r-r_0) $

so che r è la distanza media tra le molecole, mentre r0 è il valore della distanza quando le molecole sono in equilibrio
ma non capisco da dove venga fuori la formula, come mai si faccia la derivata di quella funzione e come mai il risultato di tale derivata è negativa

[Faussone]

Senza un poco di contesto è difficile essere precisi.
Ad occhio credo che puoi vederlo come uno sviluppo di Taylor dell'andamento della forza in funzione della distanza attorno alla posizione $r_0$. Linearizzando si arriva a quella espressione. Il segno meno è una convenzione perché la forza è diretta in senso opposto al segno di $r-r_0$, in questo modo $C$ è sempre positivo.

[giantmath]

Hai ragione, praticamente è la spiegazione di come i materiali elastici in realtà riflettano il comportamento microscopico delle loro molecole.
Essendo uno sviluppo di Taylor, mi chiedo dove sia il primo termine dello sviluppo, ossia quello della funzione calcolato in $ r_0 $ . Forse perché esattamente in quel punto le molecole sono in equilibrio, quindi la risultante delle forze che agiscono su di queste è nulla.
Qui $ r_0 $ rappresenta la distanza di equilibrio tra le molecole, r invece è il valore della distanza media tra le molecole.

 tuttavia il libro dice che moltiplicando quella espressione per il numero N delle molecole che si trovano in una data sezione del filo, si ottiene la “tensione”
 penso che non intenda la tensione a cui siamo abitati, quella della carrucola ad esempio. potresti chiarirmi le idee? grazie!

[Faussone]

Se fai uno sviluppo in serie intorno a $r_0$, che è la posizione di equilibrio, è ovvio che lì la forza di attrazione o repulsione è nulla.

Sul discorso della tensione non so aiutarti, non so bene di cosa si stia parlando e non sapendo il contesto potrei interpretare male.