Dipendenza o indipendenza delle equazioni di Maxwell
Buon pomeriggio a tutti!
a lezione mi era stato spiegato che le quattro equazioni di Maxwell possono essere ridotte a due (quella di Faraday e quella di Maxwell-Ampère) perché da queste possono essere ricavate le due leggi di Gauss. Ad esempio, se consideriamo la legge di Faraday
$ \nabla \times \ul{e} (\ul{r},t) = - \frac{\partial}{\partial t} \ul{b} (\ul{r},t) $
e calcoliamo la divergenza ad ambo i membri otteniamo
$ \frac{\partial}{\partial t} [\nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t)] = 0 $
che vuol dire che la divergenza di $ \ul{b} $ è costante nel tempo. Se assumiamo che $ \ul{b} $ sia nullo per $ t < \hat{t} $, abbiamo che $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ per $ t < \hat{t} $. Anche se $ \ul{b} $ dovesse cambiare dopo $
\hat{t} $, siccome da prima sappiamo che la divergenza di $ \ul{b} $ è costante nel tempo, avremo che $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ continua a valere anche dopo $ \hat{t} $, e quindi l'equazione di Gauss $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ vale per qualsiasi $ t $. Facendo una piccola ricerca su Google, però ho visto dei testi anche relativamente recenti che sembrano dire che questo ragionamento non è corretto e che in realtà le equazioni di Maxwell sono tutte indipendenti, però usano degli argomenti che al momento sono ancora troppo avanzati per me. Siccome la cosa è interessante, qualcuno potrebbe fornirmi qualche indicazione su come risolvere questa contraddizione?
a lezione mi era stato spiegato che le quattro equazioni di Maxwell possono essere ridotte a due (quella di Faraday e quella di Maxwell-Ampère) perché da queste possono essere ricavate le due leggi di Gauss. Ad esempio, se consideriamo la legge di Faraday
$ \nabla \times \ul{e} (\ul{r},t) = - \frac{\partial}{\partial t} \ul{b} (\ul{r},t) $
e calcoliamo la divergenza ad ambo i membri otteniamo
$ \frac{\partial}{\partial t} [\nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t)] = 0 $
che vuol dire che la divergenza di $ \ul{b} $ è costante nel tempo. Se assumiamo che $ \ul{b} $ sia nullo per $ t < \hat{t} $, abbiamo che $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ per $ t < \hat{t} $. Anche se $ \ul{b} $ dovesse cambiare dopo $
\hat{t} $, siccome da prima sappiamo che la divergenza di $ \ul{b} $ è costante nel tempo, avremo che $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ continua a valere anche dopo $ \hat{t} $, e quindi l'equazione di Gauss $ \nabla \cdot \ul{b} (\ul{r},t) = 0 $ vale per qualsiasi $ t $. Facendo una piccola ricerca su Google, però ho visto dei testi anche relativamente recenti che sembrano dire che questo ragionamento non è corretto e che in realtà le equazioni di Maxwell sono tutte indipendenti, però usano degli argomenti che al momento sono ancora troppo avanzati per me. Siccome la cosa è interessante, qualcuno potrebbe fornirmi qualche indicazione su come risolvere questa contraddizione?
Risposte
La questione mi risulta ancora parecchio controversa
Qui un professore messicano riporta la classica dimostrazione che le equazioni indipendenti sono solo 2 in un paper del 2019
https://www.researchgate.net/publicatio ... e_only_two
e qui 2 professori greci sempre nel 2019 (revisionato 2023) affermano il contrario.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1901/1901.08058.pdf
e lo stesso dicasi per quest'altro docente US nel 2006.
https://test.jpier.org/PIER/pier.php?citedby=06061302
Le obiezioni alla dimostrazione sono essenzialmente
1) per la $nabla*B = 0$ è proprio il porre la costante di integrazione nulla per qualche istante nel tempo (e questo può essere) ma anche che questo valga per tutte le regioni dello spazio (e qui ovviamente non è detto).
2) per la $nabla*D=rho$ invece il fatto che nella dimostrazione che tale equazione è ridondante si usa la continuità della carica, che è ottenibile dalle equazioni di Maxwell tra cui la legge di Gauss. Per cui si tratta di un gatto che si morde la coda.
Se trovo altro vedo di postarlo.
Qui un professore messicano riporta la classica dimostrazione che le equazioni indipendenti sono solo 2 in un paper del 2019
https://www.researchgate.net/publicatio ... e_only_two
e qui 2 professori greci sempre nel 2019 (revisionato 2023) affermano il contrario.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1901/1901.08058.pdf
e lo stesso dicasi per quest'altro docente US nel 2006.
https://test.jpier.org/PIER/pier.php?citedby=06061302
Le obiezioni alla dimostrazione sono essenzialmente
1) per la $nabla*B = 0$ è proprio il porre la costante di integrazione nulla per qualche istante nel tempo (e questo può essere) ma anche che questo valga per tutte le regioni dello spazio (e qui ovviamente non è detto).
2) per la $nabla*D=rho$ invece il fatto che nella dimostrazione che tale equazione è ridondante si usa la continuità della carica, che è ottenibile dalle equazioni di Maxwell tra cui la legge di Gauss. Per cui si tratta di un gatto che si morde la coda.
Se trovo altro vedo di postarlo.
Grazie!!! Anch'io avevo avuto l'impressione che la questione fosse un po' controversa, ma pensavo fosse solo una mia percezione sbagliata, dovuta al fatto che non ho conoscenze avanzate dell'argomento
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