Dinamico del corpo rigido
Ho un cuneo di massa M, avente sezione traversa di un triangolo rettangolo, con ipotenusa lunga L ed inclinata di 30° rispetto all'orizzontale, scorre senza attrito su di un piano orizzontale su cui poggia per una delle sue facce ad angolo retto. Sulla faccia inclinata del cuneo scorre un vagoncino di massa m. Si calcoli quanto tempo impiega il vagoncino, partendo dalla sommità con velocità nulla ad arrivare al piano orizzontale e di quanto nel frattempo si sposta il cuneo.
Il cuneo posso immaginarlo come un piano inclinato in cui ragiono imponendo la conservazione dell'energia meccanica (piano liscio senza attrito). Nel punto alla sommità (partendo da fermo quindi velocità nulla) ho solo energia potenziale quindi
E=mgh
dove h=Lsin30°
mentre nel punto in basso (parlo sempre del vagoncino che scorre sul cuneo) al cuneo ho solo energia cinetica
E=1/2mv^2
eguaglio le due equazioni e ottengo la velocità con cui raggiunge il suolo
poi impongo le due equazioni del moto (posizione e velocità considerando l'asse x parallelo all'ipotenusa del piano inclinato)
x(t) = v(0) t - ½ g t^2 sin (30)
v(t) = v(0) - g t sin (30)
mi ricavo il tempo t = v(0) / [g sin (30)]
giusto il ragionamento? Ma per lo spostamento del cuneo stesso come ragiono?
Il cuneo posso immaginarlo come un piano inclinato in cui ragiono imponendo la conservazione dell'energia meccanica (piano liscio senza attrito). Nel punto alla sommità (partendo da fermo quindi velocità nulla) ho solo energia potenziale quindi
E=mgh
dove h=Lsin30°
mentre nel punto in basso (parlo sempre del vagoncino che scorre sul cuneo) al cuneo ho solo energia cinetica
E=1/2mv^2
eguaglio le due equazioni e ottengo la velocità con cui raggiunge il suolo
poi impongo le due equazioni del moto (posizione e velocità considerando l'asse x parallelo all'ipotenusa del piano inclinato)
x(t) = v(0) t - ½ g t^2 sin (30)
v(t) = v(0) - g t sin (30)
mi ricavo il tempo t = v(0) / [g sin (30)]
giusto il ragionamento? Ma per lo spostamento del cuneo stesso come ragiono?
Risposte
Il sistema si può considerare isolato, in quanto non c'è attrito tra cuneo e piano, quindi la reazione del piano non influisce sul moto del cuneo e tanto meno su quella di $m$ .
Voglio mostrarti l'esercizio, che ho trovato in un mio libro inglese di meccanica newtoniana, dove è descritto chiaramente quello che succede , e viene determinata la velocità finale del cuneo rispetto al piano :
http://imgur.com/a/LM3OW
[ ho caricato con imgur , perchè il sistema di default per caricare immagini, offerto da tinypic, sembra che non funzioni, lo segnalerò ai tecnici]
Prima di tutto, studia attentamente queste tre paginette, poi se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure.
Tieni presente che quello che hai scritto tu va bene per il moto relativo di $m$ sul piano inclinato. Infatti, siccome non c'è attrito tra $m$ e il piano inclinato, si può scrivere il principio di conservazione dell'energia per la massa $m$ , e quindi determinare la velocità $vecv$ finale di $m$ , relativa al piano inclinato del cuneo, che è parallela al piano inclinato stesso. Tieni però presente che la velocità iniziale è zero : $v_0 = 0$, e $v = g*sen\alpha*t$
Mentre $m$ scende con moto relativo accelerato , il cuneo si sposta dalla parte opposta sul piano orizzontale, con moto anch'esso accelerato. Quindi il sistema di riferimento del cuneo , su cui scorre il carrello, è un sistema accelerato, non inerziale. Il carrello perciò è soggetto, oltre alle forze applicate $vecP = mvecg $ e reazione normale $vecN$ , ad una forza di trascinamento $-mveca$ , parallela al piano orizzontale.
Ci risentiamo.
Voglio mostrarti l'esercizio, che ho trovato in un mio libro inglese di meccanica newtoniana, dove è descritto chiaramente quello che succede , e viene determinata la velocità finale del cuneo rispetto al piano :
http://imgur.com/a/LM3OW
[ ho caricato con imgur , perchè il sistema di default per caricare immagini, offerto da tinypic, sembra che non funzioni, lo segnalerò ai tecnici]
Prima di tutto, studia attentamente queste tre paginette, poi se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure.
Tieni presente che quello che hai scritto tu va bene per il moto relativo di $m$ sul piano inclinato. Infatti, siccome non c'è attrito tra $m$ e il piano inclinato, si può scrivere il principio di conservazione dell'energia per la massa $m$ , e quindi determinare la velocità $vecv$ finale di $m$ , relativa al piano inclinato del cuneo, che è parallela al piano inclinato stesso. Tieni però presente che la velocità iniziale è zero : $v_0 = 0$, e $v = g*sen\alpha*t$
Mentre $m$ scende con moto relativo accelerato , il cuneo si sposta dalla parte opposta sul piano orizzontale, con moto anch'esso accelerato. Quindi il sistema di riferimento del cuneo , su cui scorre il carrello, è un sistema accelerato, non inerziale. Il carrello perciò è soggetto, oltre alle forze applicate $vecP = mvecg $ e reazione normale $vecN$ , ad una forza di trascinamento $-mveca$ , parallela al piano orizzontale.
Ci risentiamo.
Omissis
Certamente il cuneo poggia sul piano , non può appoggiare sul nulla. Ma la reazione del piano , non essendoci attrito tra piano e cuneo, è sempre verticale, e non ha alcuna influenza sulla quantità del moto del sistema nella direzione orizzontale, che pertanto si conserva . Inizialmente essa è nulla , perciò rimane nulla. Lo scivolamento del carrello sul piano inclinato non può modificare la quantità di moto totale, ma modifica le q.d.m dei singoli oggetti.
Di questo io sto parlando.
Di questo io sto parlando.
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