[Dinamica rotazionale] esercizio fondamentale
Ciao a tutti,
ho un problema di fisica elementare che non riesco a capire come risolvere.
Dato un cilindro di massa $m= 1,92 kg$ è libero di ruotare attorno al suo asse di simmetria, con le forze applicate come in figura di modulo pari a $F_1= 5,88 N ; F_2= 13 N ; F_3= 2,12 N$, angolo $theta= 30°$ ed i raggi sono $R_1= 4,93 cm ; R_2= 11,8 cm$.
Calcolare modulo, direzione e verso dell'accelerazione angolare.
Ho provato a sommare i momenti:
$F_1*R_2*sin90° - F_2*R_2*sin90° - F_3*R_1*sin90° = I_\text{cilindro} alpha$
Tuttavia se così fosse il dato fornitomi sull'angolo $theta$ sarebbe inutile ed infatti non mi trovo con la soluzione.
Potete dirmi cos'è che non mi è chiaro della somma di momenti ed indicarmi il modo corretto di svolgere questo tipo di esercizi?
Thank you in advance
ho un problema di fisica elementare che non riesco a capire come risolvere.
Dato un cilindro di massa $m= 1,92 kg$ è libero di ruotare attorno al suo asse di simmetria, con le forze applicate come in figura di modulo pari a $F_1= 5,88 N ; F_2= 13 N ; F_3= 2,12 N$, angolo $theta= 30°$ ed i raggi sono $R_1= 4,93 cm ; R_2= 11,8 cm$.
Calcolare modulo, direzione e verso dell'accelerazione angolare.
Ho provato a sommare i momenti:
$F_1*R_2*sin90° - F_2*R_2*sin90° - F_3*R_1*sin90° = I_\text{cilindro} alpha$
Tuttavia se così fosse il dato fornitomi sull'angolo $theta$ sarebbe inutile ed infatti non mi trovo con la soluzione.
Potete dirmi cos'è che non mi è chiaro della somma di momenti ed indicarmi il modo corretto di svolgere questo tipo di esercizi?
Thank you in advance
Risposte
Quei momenti mi sembrano tutti con lo stesso verso, prova a sommare tutti i moduli.
Su questo non sono d'accordo, assumendo positivo il verso di rotazione antiorario, $M_1= R_2*F_1*sin90°$ è positivo mentre gli altri due momenti sono negativi (immaginando un cilindro al quale si applichino le forze tramite cordicelle inestensibili le direzioni appaiono più chiare) e penso che in tutto ciò giochi un ruolo fondamentale l'angolo $theta$.
Scusa ma il momento è il risultato di un prodotto vettoriale quindi la sua direzione è perpendicolare al piano della base del cilindro e i versi sono uscenti no?
Secondo la "regola della mano destra", $F_1*R_2*sin90°$ ha verso uscente dal foglio, mentre gli altri due momenti hanno verso entrante, comunque il mio dubbio persiste circa il calcolo dei momenti e dell'accelerazione angolare, cioé non so come usare l'angolo $theta$...
Il calcolo dei momenti è corretto. Io sinceramente io avrei proceduto come te, ma non capisco dove sia l'errore. Posta il risultato!
il risultato è
$alpha= 7,63 \text{rad}^2/s$ ed il verso è uscente dal piano della pagina.
Comunque dubito fortemente del mio procedimento che non tiene conto di un dato così messo in evidenza come quello dell'angolo $theta$
$alpha= 7,63 \text{rad}^2/s$ ed il verso è uscente dal piano della pagina.
Comunque dubito fortemente del mio procedimento che non tiene conto di un dato così messo in evidenza come quello dell'angolo $theta$
up
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Infatti l'angolo dato è proprio inutile. Anzi è ingannevole. Ma non è che serva per qualche altro calcolo? Le forze, sono tutte perpendicolari ai raggi?
I momenti sono giusti come già ti è stato detto.
C'è quindi un momento risultante $M_e$ di forze esterne, che causa variazione del momento angolare del disco :
$M_e = I*\alpha$
E l'accelerazione vettoriale "entra'" nel foglio, non "esce". Guarda i valori delle forze! Cioè la rotazione con accelerazione angolare è oraria.
A volte i libri sbagliano, sai.
I momenti sono giusti come già ti è stato detto.
C'è quindi un momento risultante $M_e$ di forze esterne, che causa variazione del momento angolare del disco :
$M_e = I*\alpha$
E l'accelerazione vettoriale "entra'" nel foglio, non "esce". Guarda i valori delle forze! Cioè la rotazione con accelerazione angolare è oraria.
A volte i libri sbagliano, sai.
Il testo integrale del problema è esattamente quello che ho scritto nel primo commento e corrisponde all'esercizio 33 del capitolo 9 della 5 edizione di Fisica 1 Resnick, Halliday, Krane.
Non credo si possa parlare di forze applicate per una certa unità di tempo, credo si parli di forze impulsive. Le forze sono esattamente come le ho disegnate.
Ho 2 pensieri che mi passano per la mente:
1) l'angolo $theta$ serve per poter sommare tra loro le forze $F_1$ e $F_2$. Infatti dando uno sguardo alla risposta che indica espressamente il verso positivo dell'accelerazione angolare $alpha$ è possibile dedurre che $F_2$ sia ridotta da un qualche coefficiente (ad es. $sin theta$ o $cos theta$ o una composizione) dato che a parità di distanza dal centro $F_2 > F_1$
2) Il disegno è un po' malridotto, ed anche se nella traccia non viene detto, mi viene a considerare il cilindro come cavo, cioè composto dai due raggi $R_1$ e $R_2$, il che cambierebbe il modulo di $alpha$ ma non la direzione, il che non ci aiuta a risolvere il mistero dell'angolo $theta$
Non credo si possa parlare di forze applicate per una certa unità di tempo, credo si parli di forze impulsive. Le forze sono esattamente come le ho disegnate.
Ho 2 pensieri che mi passano per la mente:
1) l'angolo $theta$ serve per poter sommare tra loro le forze $F_1$ e $F_2$. Infatti dando uno sguardo alla risposta che indica espressamente il verso positivo dell'accelerazione angolare $alpha$ è possibile dedurre che $F_2$ sia ridotta da un qualche coefficiente (ad es. $sin theta$ o $cos theta$ o una composizione) dato che a parità di distanza dal centro $F_2 > F_1$
2) Il disegno è un po' malridotto, ed anche se nella traccia non viene detto, mi viene a considerare il cilindro come cavo, cioè composto dai due raggi $R_1$ e $R_2$, il che cambierebbe il modulo di $alpha$ ma non la direzione, il che non ci aiuta a risolvere il mistero dell'angolo $theta$
Ti credo, che il testo sia quello integrale del libro.
Ma non occorre sommare vettorialmente le forze. Quindi l'angolo $\theta$ non serve a niente, ripeto.
Devi invece sommare vettorialmente i "momenti" delle forze. Ci sono due momenti che tendono a imprimere entrambi la rotazione oraria, e un momento che tende a imprimere la rotazione antioraria.
Se adotti la convenzione che di solito si segue , e cioè che il vettore momento $vecM = vecr\timesvecF$ è orientato come il prodotto vettoriale di $vecr$ e $vecF$ presi in quest'ordine (che sai sicuramente,credo), i due vettori momento corrispondenti al senso orario sono rivolti dal foglio "all'indietro" , il vettore momento che corrisponde al senso antiorario è rivolto dal foglio verso di te. I primi due, sommati, hanno modulo senz'altro maggiore del modulo del terzo.
In conclusione, il momento risultante vettoriale è rivolto dal foglio all'indietro.
E naturalmente così è pure rivolto il vettore accelerazione angolare. Il disco accelera angolarmente in senso orario.
Che poi il cilindro sia cavo, se ne tiene conto nel calcolo del momento di inerzia.
Ma non occorre sommare vettorialmente le forze. Quindi l'angolo $\theta$ non serve a niente, ripeto.
Devi invece sommare vettorialmente i "momenti" delle forze. Ci sono due momenti che tendono a imprimere entrambi la rotazione oraria, e un momento che tende a imprimere la rotazione antioraria.
Se adotti la convenzione che di solito si segue , e cioè che il vettore momento $vecM = vecr\timesvecF$ è orientato come il prodotto vettoriale di $vecr$ e $vecF$ presi in quest'ordine (che sai sicuramente,credo), i due vettori momento corrispondenti al senso orario sono rivolti dal foglio "all'indietro" , il vettore momento che corrisponde al senso antiorario è rivolto dal foglio verso di te. I primi due, sommati, hanno modulo senz'altro maggiore del modulo del terzo.
In conclusione, il momento risultante vettoriale è rivolto dal foglio all'indietro.
E naturalmente così è pure rivolto il vettore accelerazione angolare. Il disco accelera angolarmente in senso orario.
Che poi il cilindro sia cavo, se ne tiene conto nel calcolo del momento di inerzia.
Sono completamente d'accordo con te, tuttavia mi rammarica sapere che il risultato è
$alpha= 7,63 \text{rad}^2/s$ ed il verso è uscente dal piano della pagina.
In mancanza di altri suggerimenti o soluzioni lascerò perdere questo problema, mi sa che è meglio così.
$alpha= 7,63 \text{rad}^2/s$ ed il verso è uscente dal piano della pagina.
In mancanza di altri suggerimenti o soluzioni lascerò perdere questo problema, mi sa che è meglio così.
C'è un errore nei dati: $F_2=4.13 \ N$ e non $13 \ N$ come hai scritto.
Ecco l'attenta Chiaraotta, che ha svelato il motivo del differente risultato!
E scommetto pure che il cilindro non è cavo.
E scommetto pure che il cilindro non è cavo.
Ecco qual era il problema
God bless you chiaraotta
P.S.: eseguendo i calcoli mi trovo il risultato esatto ma moltiplicato per $10^-2$, cioé $0,0763 N$ anziché $7,63 N$ dov'è che sbaglio? Per caso nella conversione da centimetri a metri per i raggi $R_1$ ed $R_2$?
God bless you chiaraotta
P.S.: eseguendo i calcoli mi trovo il risultato esatto ma moltiplicato per $10^-2$, cioé $0,0763 N$ anziché $7,63 N$ dov'è che sbaglio? Per caso nella conversione da centimetri a metri per i raggi $R_1$ ed $R_2$?
Il cilindro è pieno e quindi $I=1/2*m*(R_2)^2$.
$alpha=(F_1·R_2 - F_2·R_2 - F_3·R_1)/(1/2·m·(R_2)^2)=$
$((5.88·11.8 - 4.13·11.8 - 2.12·4.93)·10^(-2))/(1/2·1.92·(11.8·10^(-2))^2)~=7.63 \ rad*s^-2$.
$alpha=(F_1·R_2 - F_2·R_2 - F_3·R_1)/(1/2·m·(R_2)^2)=$
$((5.88·11.8 - 4.13·11.8 - 2.12·4.93)·10^(-2))/(1/2·1.92·(11.8·10^(-2))^2)~=7.63 \ rad*s^-2$.
Grazie ... ora posso riposare in pace.
...E vissero tutti felici e contenti.
Riposa in pace Slidybb, ti sia compagno nel sonno il ricordo di un testo illeggibile, di una verità in cui non hai creduto, e di un arcano alfine svelato. Amen.
Riposa in pace Slidybb, ti sia compagno nel sonno il ricordo di un testo illeggibile, di una verità in cui non hai creduto, e di un arcano alfine svelato. Amen.
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