Dinamica di un sistema di masse
Salve ragazzi!
Come da titolo vi propongo il seguente problemino... Ho due masse m e M, con M>m, disposte in modo che m sia sopra a M. Tra M e il piano non esiste attrito, mentre tra m e M c'è. Inoltre m è messa proprio all'estremo destro del blocco M( poichè la superficie di M è più estesa di quella di m, oltre che in modulo anche di grandezza effettiva, immaginate un quadratone con sopra un quadratino poggiato in alto a destra). Tra la posizione di m e la fine del "piano M" c'è una distanza d. Al tempo zero è tutto in quiete. Su M viene applicata una forza F costante. dopo t* secondi, il corpo m cade. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico tra m e M!
Adesso avevo fatto uno schema di forze seguenti:
M) M(aM)= F-Fa(attrito dinamico)+FmM
m) m(am)=Fa+FMm
FmM=-FMm per il terzo principio della dinamica, quindi forze interne, non influiscono sul moto.
Adesso il mio dubbio sta qui. Un corpo CHE NON E' VINCOLATO ALLA MASSA M ( non è il nostro caso) teoricamente rimarrebbe fermo mentre il blocco M sotto scorre. Ma il nostro "vincolo" c'è, ed è l'attrito che lo mette effettivamente in moto. In particolare quello la FORZA che ha messo in moto la massa m ha una certa accellerazione che però non riesco a calcolare perchè non riesco ad identificare tale forza, ma ho solo accesso alle due accellerazioni, che sono diverse, poichè il corpo m e M non sono "incollati" l'un l'altro (attrito statico di m è minore della FORZA che ha messo in moto la mia m). Adesso come calcolo questo coefficiente di attrito? Avevo trovato l'accellerazione che mi fornisce questa FORZA per poi sostuire ad m), ma non funziona. Qualcuno sa illustrarmi l'ultimo passaggio e magari spiegarlo?
Grazie in anticipo =),
Francesco
Come da titolo vi propongo il seguente problemino... Ho due masse m e M, con M>m, disposte in modo che m sia sopra a M. Tra M e il piano non esiste attrito, mentre tra m e M c'è. Inoltre m è messa proprio all'estremo destro del blocco M( poichè la superficie di M è più estesa di quella di m, oltre che in modulo anche di grandezza effettiva, immaginate un quadratone con sopra un quadratino poggiato in alto a destra). Tra la posizione di m e la fine del "piano M" c'è una distanza d. Al tempo zero è tutto in quiete. Su M viene applicata una forza F costante. dopo t* secondi, il corpo m cade. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico tra m e M!
Adesso avevo fatto uno schema di forze seguenti:
M) M(aM)= F-Fa(attrito dinamico)+FmM
m) m(am)=Fa+FMm
FmM=-FMm per il terzo principio della dinamica, quindi forze interne, non influiscono sul moto.
Adesso il mio dubbio sta qui. Un corpo CHE NON E' VINCOLATO ALLA MASSA M ( non è il nostro caso) teoricamente rimarrebbe fermo mentre il blocco M sotto scorre. Ma il nostro "vincolo" c'è, ed è l'attrito che lo mette effettivamente in moto. In particolare quello la FORZA che ha messo in moto la massa m ha una certa accellerazione che però non riesco a calcolare perchè non riesco ad identificare tale forza, ma ho solo accesso alle due accellerazioni, che sono diverse, poichè il corpo m e M non sono "incollati" l'un l'altro (attrito statico di m è minore della FORZA che ha messo in moto la mia m). Adesso come calcolo questo coefficiente di attrito? Avevo trovato l'accellerazione che mi fornisce questa FORZA per poi sostuire ad m), ma non funziona. Qualcuno sa illustrarmi l'ultimo passaggio e magari spiegarlo?
Grazie in anticipo =),
Francesco
Risposte
Allora prima cosa da sottolineare è che tra la massa m e la massa M c'è moto relativo, quindi le accelerazioni di m e M sono diverse. Chiamiamo:
$ a_1 $ accelerazione della massa m (vista da un sistema di riferimento inerziale solidale al suolo)
$ a_2 $ accelerazione della massa M
Quindi l'accelerazione di m vista da un sistema solidale alla massa M sarà:
$ a_r = a_1 - a_2 $ .
Inoltre sappiamo anche l'istante in cui la massa m cade e la distanza d: $ a_r = - (2d)/(tilde(t)^2) $
Ora impostiamo le equazioni di Newton:
- per la massa m: $ ma_1 = mumg $
- per la massa M: $ Ma_2 = F - mumg $
Quindi
$ m(a_r + a_2) = mumg => ma_r + m(F - mumg)/M = mumg => mu = (Ma_r + F)/[g(M+m)] $
$ a_1 $ accelerazione della massa m (vista da un sistema di riferimento inerziale solidale al suolo)
$ a_2 $ accelerazione della massa M
Quindi l'accelerazione di m vista da un sistema solidale alla massa M sarà:
$ a_r = a_1 - a_2 $ .
Inoltre sappiamo anche l'istante in cui la massa m cade e la distanza d: $ a_r = - (2d)/(tilde(t)^2) $
Ora impostiamo le equazioni di Newton:
- per la massa m: $ ma_1 = mumg $
- per la massa M: $ Ma_2 = F - mumg $
Quindi
$ m(a_r + a_2) = mumg => ma_r + m(F - mumg)/M = mumg => mu = (Ma_r + F)/[g(M+m)] $
Quindi in sostanza mi stai dicendo che la posizione r(vettore) della mia massa m nella spazio è data dalla somma vettoriale del moto M grande più quella della massa m che sul sistema in moto M sta compiendo a sua volta un moto dato dall'attrito... le accellerazioni sarebbero quindi però: -ar= aM-am, quindi ar= am-aM ! ( considerando i segni del moto con asse positivo verso destra). Verifico sul libro e ti faccio sapere!
Esatto è quello che intendo.
Tutto ok! Concorde con il libro grazie di tutto =)
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