Dinamica di un punto su un piano inclinato non fissato a terra
Ho recentemente trovato un tipo di esercizi di cui non riesco a venire a capo, vi propongo 2 esempi.
Un punto materiale di massa m=0.138kg si muove lungo su un piano privo di attrito con v=15.4m/s ed incontra un cuneo di massa M=0.63kg, angolo $\theta=0.48 rad$ non fissato a terra (quindi anch'esso libero di muoversi sul piano senza attrito) calcolare la velocità del cuneo quando il punto raggiunge l'altezza massima e l'altezza massima raggiunta dal punto.
Il mio ragionamento è stato:
la quantità di moto si conserva perché le uniche 2 forze agenti sono in equilibrio (peso e reazione) di conseguenza quando il punto raggiunge l'altezza massima ed è quindi fermo
\[mv=(m+M)v_1\]
\[v_1=2.76m/s\]
per quanto riguarda l'altezza eguaglio l'energia cinetica del punto alla potenziale della pallina + la cinetica del sistema
\[\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}(m+M)v_1^2+mgh\]
\[h=9.74cm\]
L'esercizio proviene da un compitino passato ed ho il dubbio che le risposte possibili per l'altezza siano sbagliate poiché nella correzione il professore ha segnato la risposta corretta a tutti i punti (la velocità ad esempio è corretta) mentre ha lasciato bianche le varie risposte possibili per l'altezza.
Ho applicato lo stesso ragionamento ad un altri esercizi praticamente uguali e a volte funziona a volte no.
Anche in questo altro esercizio purtroppo non funziona (ho ovviamente applicato le dovute differenze dal metodo di prima).
Un punto materiale di massa m=0.710 kg è vincolato a scivolare senza attrito all’interno di un recipiente di massa M=2.40kg anch'esso libero di muoversi senza attrito. Facendo coincidere il punto
più basso della conca del recipiente con l’origine delle coordinate (vedi
figura), il profilo della conca è un’ellisse descritta dall’equazione:
\[(x/2)^2+(y-R)^2=R^2\]
Un corpo di massa m'=0.880kg si muove sulla superficie orizzontale su cui è appoggiato il
recipiente con velocità u=7.90m/s e urta il recipiente. Assumendo che l’urto sia completamente anelastico, calcolare l’altezza massima y raggiunta dal punto materiale all’interno della conca.
Un punto materiale di massa m=0.138kg si muove lungo su un piano privo di attrito con v=15.4m/s ed incontra un cuneo di massa M=0.63kg, angolo $\theta=0.48 rad$ non fissato a terra (quindi anch'esso libero di muoversi sul piano senza attrito) calcolare la velocità del cuneo quando il punto raggiunge l'altezza massima e l'altezza massima raggiunta dal punto.
Il mio ragionamento è stato:
la quantità di moto si conserva perché le uniche 2 forze agenti sono in equilibrio (peso e reazione) di conseguenza quando il punto raggiunge l'altezza massima ed è quindi fermo
\[mv=(m+M)v_1\]
\[v_1=2.76m/s\]
per quanto riguarda l'altezza eguaglio l'energia cinetica del punto alla potenziale della pallina + la cinetica del sistema
\[\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}(m+M)v_1^2+mgh\]
\[h=9.74cm\]
L'esercizio proviene da un compitino passato ed ho il dubbio che le risposte possibili per l'altezza siano sbagliate poiché nella correzione il professore ha segnato la risposta corretta a tutti i punti (la velocità ad esempio è corretta) mentre ha lasciato bianche le varie risposte possibili per l'altezza.
Ho applicato lo stesso ragionamento ad un altri esercizi praticamente uguali e a volte funziona a volte no.
Anche in questo altro esercizio purtroppo non funziona (ho ovviamente applicato le dovute differenze dal metodo di prima).
Un punto materiale di massa m=0.710 kg è vincolato a scivolare senza attrito all’interno di un recipiente di massa M=2.40kg anch'esso libero di muoversi senza attrito. Facendo coincidere il punto
più basso della conca del recipiente con l’origine delle coordinate (vedi
figura), il profilo della conca è un’ellisse descritta dall’equazione:
\[(x/2)^2+(y-R)^2=R^2\]
Un corpo di massa m'=0.880kg si muove sulla superficie orizzontale su cui è appoggiato il
recipiente con velocità u=7.90m/s e urta il recipiente. Assumendo che l’urto sia completamente anelastico, calcolare l’altezza massima y raggiunta dal punto materiale all’interno della conca.
Risposte
Nel caso della tazza ragionerei così:
- nell'urto considero la conservazione della QM solo fra $m'$ e $M$, e ricavo la velocità iniziale di $m'+M$.
$m'$ rimane (inizialmente) ferma.
- mi metto del SdR del CM di $m'+M$ e $m$. Il sistema ha una energia cinetica data da $m'+M$ e $m$, che hanno velocità note
- in questo sistema $m$ si arrampica sul bordo sinistro della tazza, con una certa velocità iniziale
- il punto più alto si ha quando $m$ è ferma; qui tutta l'energia cinetica iniziale è diventata energia cinetica di $m'+M+m$ con velocità $v_(CM)$ (quindi zero) e energia potenziale di $m$.
In definitiva, l'energia potenziale di $m$ è uguale all'energia cinetica delle due parti $m'+M$ e $m$ calcolata nel SdR del CM
- nell'urto considero la conservazione della QM solo fra $m'$ e $M$, e ricavo la velocità iniziale di $m'+M$.
$m'$ rimane (inizialmente) ferma.
- mi metto del SdR del CM di $m'+M$ e $m$. Il sistema ha una energia cinetica data da $m'+M$ e $m$, che hanno velocità note
- in questo sistema $m$ si arrampica sul bordo sinistro della tazza, con una certa velocità iniziale
- il punto più alto si ha quando $m$ è ferma; qui tutta l'energia cinetica iniziale è diventata energia cinetica di $m'+M+m$ con velocità $v_(CM)$ (quindi zero) e energia potenziale di $m$.
In definitiva, l'energia potenziale di $m$ è uguale all'energia cinetica delle due parti $m'+M$ e $m$ calcolata nel SdR del CM
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