Dinamica di solidi
Salve ragazzi, sto cercando di compiere questo esercizio di dinamica dei solidi:
Sono riuscito a calcolare tutti i punti in funzione solo della z di B come richiesto, ora però arrivato all'ultimo punto mi sorge un dubbio: nell'applicare la I ECD dovrei sommare tutte le forze (attive e vincolari) e porle uguali a $ Ma_G $ , ma quest'ultima è praticamente impossibile da calcolare, perchè il baricentro non si riesce a trovare, dato che la posizione delle ruote non si sa precisamente (manca la costante iniziale). Per risolvere il tutto posso applicare la IECD al sottosistema della sbarra unicamente (cioè porre tutte le forze agenti sulla sbarra uguale a $ m_1a_(g_1) $ )? Grazie a tutti
Sono riuscito a calcolare tutti i punti in funzione solo della z di B come richiesto, ora però arrivato all'ultimo punto mi sorge un dubbio: nell'applicare la I ECD dovrei sommare tutte le forze (attive e vincolari) e porle uguali a $ Ma_G $ , ma quest'ultima è praticamente impossibile da calcolare, perchè il baricentro non si riesce a trovare, dato che la posizione delle ruote non si sa precisamente (manca la costante iniziale). Per risolvere il tutto posso applicare la IECD al sottosistema della sbarra unicamente (cioè porre tutte le forze agenti sulla sbarra uguale a $ m_1a_(g_1) $ )? Grazie a tutti
Risposte
Si. La sbarra si muove per effetto della gravita e delle forze applicate dalle ruote nei punto di contatto con questa
Incidentalmente puoi anche trovare l'accelerazione del sistema ruote-sbarre, poiche la velocitá dei baricentri delle ruote dipende dalla velocitá del baricentro della sbarra
Incidentalmente puoi anche trovare l'accelerazione del sistema ruote-sbarre, poiche la velocitá dei baricentri delle ruote dipende dalla velocitá del baricentro della sbarra
"professorkappa":
Incidentalmente puoi anche trovare l'accelerazione del sistema ruote-sbarre, poiche la velocitá dei baricentri delle ruote dipende dalla velocitá del baricentro della sbarra
Sì, la velocità dei baricentri delle ruote mi trovo che è pari alla metà di quella del baricentro della sbarra. Però mi chiedo io: l'accelerazione totale (quella del sistema ruote-sbarre) qual è? Dovrebbe essere l'accelerazione del baricentro, solo che quest'ultimo è ignoto
Ma l'accelerazione del baricentro delmsistema si può calcolare: è indipendente dalla posizione iniziale delle ruote e dipende solo da uno dei parametri che usi per individuare il baricentro della sbarra (il più comodo è la distanza di Zb dal punto z0 misurata lungo l asse parallelo al piano)
"professorkappa":
Ma l'accelerazione del baricentro delmsistema si può calcolare: è indipendente dalla posizione iniziale delle ruote e dipende solo da uno dei parametri che usi per individuare il baricentro della sbarra (il più comodo è la distanza di Zb dal punto z0 misurata lungo l asse parallelo al piano)
Ciao scusami però veramente sono annebbiato: io ho utilizzato come coordinata lagrangiana la coordinata z di B (come di fatto chiedeva la traccia) e mi sono calcolato l'accelerazione di tale punto. Come faccio a capire qual è l'accelerazione del baricentro del sistema sapendo solo l'accelerazione di questo punto qui?
"vinman":
[quote="professorkappa"]Ma l'accelerazione del baricentro delmsistema si può calcolare: è indipendente dalla posizione iniziale delle ruote e dipende solo da uno dei parametri che usi per individuare il baricentro della sbarra (il più comodo è la distanza di Zb dal punto z0 misurata lungo l asse parallelo al piano)
Ciao scusami però veramente sono annebbiato: io ho utilizzato come coordinata lagrangiana la coordinata z di B (come di fatto chiedeva la traccia) e mi sono calcolato l'accelerazione di tale punto. Come faccio a capire qual è l'accelerazione del baricentro del sistema sapendo solo l'accelerazione di questo punto qui?[/quote]
Fai un attimo un cambio di coordinate e prendi come riferimento un asse x, con origine in $z_0$ e parallelo al piano inclinato.
La coordinata lagrangiana sia la posizione di B della sbarra, che chiamiamo $x_B$.
Il CdM della sbarra in funzione della coordinata lagrangiana é banale:
$x_S=x_B+L/2$
Quelli delle 2 ruote 1 e 2 li chiamiamo $x_1$ e $x_2$.
Si tratta di esprimerli in funzione della coord. lagrang.
Per farlo, usiamo i vincoli cinematici: a uno spostamento della coord lagrangiana $dx_B$ corrisponde uno spostamento del punto di contatto ruota-sbarra pari a $2Rd theta$.
Eguagliando ed esprimendo in funzione di $x_B$, si ottiene subito che $d theta=dx_B/(2R)$
Il che significa che lo spostamento dei CdM delle 2 ruote, $Rd theta$, possono essere espressi in funzione di $x_B$:
$dx_1=dx_1=dx_B/2$
Il CdM del sistema é $x_G=(Mx_S+m_1x_1+m_2x_2)/(M+m_1+m_2)$
Derivi 2 volte per trovare $ddotx_G=(Mddotx_S+m_1ddotx_1+m_2ddotx_2)/(M+m_1+m_2)$
Sostituisci e trovi $ddotx_G=(Mddotx_B+m_1ddotx_B/2+m_2ddotx_B/2)/(M+m_1+m_2)$
Ovvero $ddotx_G=(2M+m_1+m_2)/(2(M+m_1+m_2))ddotx_B$
che l'acce. del CdM in funzione della coordinate lagrangiana.
Trovi la posizione del baricentro sull'asse y ortogonale a x, riproietti tutto su z e hai finito
"professorkappa":[/quote][/quote]
[quote="vinman"][quote="professorkappa"]
Trovi la posizione del baricentro sull'asse y ortogonale a x, riproietti tutto su z e hai finito
Ciao, tecnicamente dato che l'accelerazione è vettoriale posso trovarmi direttamente l'accelerazione su z trigonometricamente giusto?
Comunque ti ringrazio un mondo, sei super gentile e molto paziente. Grazie veramente tante
No, mi sono espresso male: intendo dire che l'accelerazione del cdm del sistema é un vettore parallelo al piano in ogni caso. Ma é espressa in funzione di $x_B$, che non é la coordinata lagrangiana imposta del problema, che ti richiede di usare l'altezza z del punto B rispetto al pavimento.
Il cambio é semplicemente dato notando che $z_B=z_0-x_Bsintheta$ e quindi il modulo l'accelerazione del cdm secondo la coord lagrangiana imposta é semplicemnte
$ddotx_G=(2M+m_1+m_2)/(2(M+m_1+m_2)sintheta)ddotz_B$
Le reazioni vincolari del piano inclinato sulle ruote non si possono calcolare. Puoi solo calcolare le loro componenti parallele al piano, ma quelle ortogonali sono indeterminate perche dipendono dalla posizione delle ruote sotto la sbarra, che non hai.
Una domanda pero mi sorge: come hai fatto a calcolare l'energia potenziale senza sapere la posizione delle ruote? Se trovi problemi a calcolare l'accelerazione, non dovresti avere piu problemi a determinale l'energia potenziale dei cdm delle ruote che sono incogniti?
Il cambio é semplicemente dato notando che $z_B=z_0-x_Bsintheta$ e quindi il modulo l'accelerazione del cdm secondo la coord lagrangiana imposta é semplicemnte
$ddotx_G=(2M+m_1+m_2)/(2(M+m_1+m_2)sintheta)ddotz_B$
Le reazioni vincolari del piano inclinato sulle ruote non si possono calcolare. Puoi solo calcolare le loro componenti parallele al piano, ma quelle ortogonali sono indeterminate perche dipendono dalla posizione delle ruote sotto la sbarra, che non hai.
Una domanda pero mi sorge: come hai fatto a calcolare l'energia potenziale senza sapere la posizione delle ruote? Se trovi problemi a calcolare l'accelerazione, non dovresti avere piu problemi a determinale l'energia potenziale dei cdm delle ruote che sono incogniti?
"professorkappa":
Una domanda pero mi sorge: come hai fatto a calcolare l'energia potenziale senza sapere la posizione delle ruote? Se trovi problemi a calcolare l'accelerazione, non dovresti avere piu problemi a determinale l'energia potenziale dei cdm delle ruote che sono incogniti?
Allora per calcolare l'energia potenziale ho ragionato in questo modo:
l'energia potenziale mi trovo che è:
$ U(z)=1/2*k*(A-B)^2 + m_1gz+m_rgz_2+m_rgz_3 + U(z=0) $
ora io ho posto che la costante arbitraria $ U(z=0) = 0 $
posto che $ z_2=1/2*z + c_1 $ e $ z_3=1/2*z + c_2 $ ( me li sono trovati praticamente integrando le velocità relative al baricentro di 1, di 2 e di 3) e che $ (A-B)^2 $ trigonometricamente mi trovo che è pari a $ 4(z_0-z)^2 $
allora significa che si può riscrivere tutto come:
$ U(z=0)=0=1/2*k*4*(z_0-0)^2 + m_1g*0+m_rg(1/2*0+c_1)+m_rg(1/2*0+c_2) + 0 $
Da ciò mi trovo che:
$ m_rgc_1+m_rgc_2=-2kz_0^2 $
Ora, ritornando alla formula principale e andando a moltiplicare le parentesi e sostituire ciò che ho appena trovato alla fine mi trovo che:
$ U(z)=2k(z^2-2zz_0)+gz(m_1+m_r) $
è giusto il mio ragionamento o ho sbagliato anche qui?
Eh, si che sbagli, purtroppo.
Innanzitutto, il testo vuole che tu usi la z si B come coordinata lagrangiana. Tu qui usi la z del cdm della sbarra.
Ma questo sarebbe il minimo.
L'errore concettuale é proprio quello di porre che la U sia nulla quando z=0, perche fai un ragionamento circolare.
Oltretutto qui hai un misto di energia potenziale gravitazionale e di energia potenziale elastica: se anche il CdM del sistema molla-ruote, per qualche fortunata circostanza, si trovasse a livello z=0 (cosa che NON puoi sapere per certo dai dati), la molla comunque é carica.
In altre parole, potresti scelgliere $U(z=0)=0$ se solo se, a un istante qualsiasi
(1) la posizione del CdM del sistema ruote-sbarra é a z=0
(2) la molla ha lunghezza a riposo in quell'istante.
e queste 2 condizioni devono essere verificate contemporaneamente.
Ti conviene, per risolvere, procedere come ho fatto io per il calcolo dell'accelerazione del centro di massa, ricordando che il lavoro infinitesimo delle forze conservative (la molla e i pesi in questo caso) é pari alla variazione di energia potenziale cambiata di segno,
Usando, per comodita di calcolo, la stessa coordinata lagrangiana che ho usato io, e ricordando che per uno spostamento infinitesimo $dx_B$ del punto B lungo l'asse, i centri delle ruote si spostano di $dx_B/2$ semplicemente ottieni
$dU=-Mgsinthetadx_B-m_rgsinthetadx_B/2-m_rgsinthetadx_B/2+kx_Bdx_B$
Integrando:
$U=-(M+m_r/2+m_r/2)gsinthetax_B+1/2kx_B^2+C$
E ricordando che $x_Bsintheta=Z_0-z_B$
$U=-(M+m_r/2+m_r/2)g(z_0-z_B)+1/2k(z_0-z_B)^2/sin^2theta+C$
Quella costante C ti resta li, non la puoi togliere.
Il punto 4 é banale, ti conviene muovarti nella stessa maniera che ti ho spiegato sopra.
Il punto 5 é stupido e ingannevole, prova a risolverlo e dicci perché.
A chi ha scritto questo testo gli darei un 20, ma dipenderebbe dall'umore di quella giornata.
Innanzitutto, il testo vuole che tu usi la z si B come coordinata lagrangiana. Tu qui usi la z del cdm della sbarra.
Ma questo sarebbe il minimo.
L'errore concettuale é proprio quello di porre che la U sia nulla quando z=0, perche fai un ragionamento circolare.
Oltretutto qui hai un misto di energia potenziale gravitazionale e di energia potenziale elastica: se anche il CdM del sistema molla-ruote, per qualche fortunata circostanza, si trovasse a livello z=0 (cosa che NON puoi sapere per certo dai dati), la molla comunque é carica.
In altre parole, potresti scelgliere $U(z=0)=0$ se solo se, a un istante qualsiasi
(1) la posizione del CdM del sistema ruote-sbarra é a z=0
(2) la molla ha lunghezza a riposo in quell'istante.
e queste 2 condizioni devono essere verificate contemporaneamente.
Ti conviene, per risolvere, procedere come ho fatto io per il calcolo dell'accelerazione del centro di massa, ricordando che il lavoro infinitesimo delle forze conservative (la molla e i pesi in questo caso) é pari alla variazione di energia potenziale cambiata di segno,
Usando, per comodita di calcolo, la stessa coordinata lagrangiana che ho usato io, e ricordando che per uno spostamento infinitesimo $dx_B$ del punto B lungo l'asse, i centri delle ruote si spostano di $dx_B/2$ semplicemente ottieni
$dU=-Mgsinthetadx_B-m_rgsinthetadx_B/2-m_rgsinthetadx_B/2+kx_Bdx_B$
Integrando:
$U=-(M+m_r/2+m_r/2)gsinthetax_B+1/2kx_B^2+C$
E ricordando che $x_Bsintheta=Z_0-z_B$
$U=-(M+m_r/2+m_r/2)g(z_0-z_B)+1/2k(z_0-z_B)^2/sin^2theta+C$
Quella costante C ti resta li, non la puoi togliere.
Il punto 4 é banale, ti conviene muovarti nella stessa maniera che ti ho spiegato sopra.
Il punto 5 é stupido e ingannevole, prova a risolverlo e dicci perché.
A chi ha scritto questo testo gli darei un 20, ma dipenderebbe dall'umore di quella giornata.
"professorkappa":
Eh, si che sbagli, purtroppo.
Il problema è che il nostro professore ci ha sempre detto di ragionare in questo modo (in realtà il professore ci dice sempre che nell'energia potenziale "quello che conta sono le variazioni", e, in alcune sue prove svolte, ogni qual volta calcola l'energia potenziale, sia la costante dell'energia potenziale, sia le costanti date dal calcolo delle varie componenti in funzione dell'unica coordinata lagrangiana, fa "rientrare" il tutto nella costante e poi la pone pari a 0, e io ho capito (per induzione) che il motivo sia questo qui, e ho riapplicato il ragionamento anche a questa sua vecchia traccia).
Io ora non so se posso pubblicare una traccia svolta da lui e pubblicata sulla sua pagina docenti, perchè non so dire se sia "legale" come cosa (immagino di sì, dato che queste tracce sono accessibili a chiunque andando sul suo sito, ma non voglio andare contro il regolamento), quindi al limite prendo un'altra traccia svolta da lui ma riscritta praticamente uguale da me nei calcoli:
Quella cosa lunga è una cosa scritta da me per induzione, però i calcoli sono gli stessi che fa il professore! (lui dice inoltre di porre $ y_0=0 $ (questo però lo fa arrivato al punto 5)).
Perciò ho ragionato in questo modo qui
Il punto 4 é banale, ti conviene muovarti nella stessa maniera che ti ho spiegato sopra.
Per il punto 4 io mi sono mosso così quando l'ho: ho considerato che l'energia cinetica T totale sia la somma delle energie cinetiche dei 3 sottosistemi:
$ T_1=1/2m_1v_1^2=1/2m_1*(-2dot(z)^2) $ (per la sbarra l'energia cinetica è solo quella data dalla velocità lineare)
$ T_2=1/2m_rv_2+1/2I_rw^2=1/2m_r(-dot(z))^2+1/2*mR^2/2*(-dot(z)/R)^2 $
$ T_3=1/2m_rv_3+1/2I_rw^2=T_2 $
E quindi l'energia cinetica totale mi trovo che è pari a:
$ T=dot(z)^2(2m_1+3/2m_r) $
Il punto 5 é stupido e ingannevole, prova a risolverlo e dicci perché.
Per quanto riguarda il punto 5 semplicemente ho utilizzato il TEC, quindi mi trovo che:
$ E=T_0+U_0 $
dove $ T_0 $ è pari a 0 dato che il corpo al tempo 0 è fermo. Quindi banalmente ho sostituito nella formula dell'energia cinetica che mi ero trovato $ z=z_0 $ e mi sono trovato numericamente quanto vale l'energia meccanica totale.
A chi ha scritto questo testo gli darei un 20, ma dipenderebbe dall'umore di quella giornata.
Ahahahahah purtroppo sono proprio le tracce del mio professore, e fra poco più di 10 giorni devo andare a sostenere una prova dall'esatta forma anche io!
"professorkappa":
In altre parole, potresti scelgliere $U(z=0)=0$ se solo se, a un istante qualsiasi
(1) la posizione del CdM del sistema ruote-sbarra é a z=0
(2) la molla ha lunghezza a riposo in quell'istante.
Ciao, stavo pensando a questa cosa:
se imponessi l'origine del sistema di riferimento in $ z_0 $ , non sarebbero verificate entrambe le condizioni?
[size=150]L'energia cinetica é corretta (é difficile seguire perche fai giá i calcoli e tieni conto del fatto che le ruote sono di massa identica e l'angolo del piano e´30). Ma mi sembra che vada bene.
Il punto 5: innanzitutto il testo é espresso male ("molla a lunghezza zero" non ha significato: la molla ha lughezza 0 quando entrambi gli estremi sono in $z_0$, il professore intende che la molla, all'istante 0, e a riposo, scarica, credo). Ma questo importa ben poco.
In generale l'energia totale di un sistema all'istante 0 e´sempre e solamente la sua energia cinetica.
Se il corpo, all'istante 0, parte da fermo, allora l'en. totale $E_0=0$, perche, trovata la funione energia potenziale (gravitazionale + elastica) tu puoi sempre annullarla, arbitrariamente, nel punto di partenza, giocando sul calcolo della costante.
Quindi, banalmente, siccome il testo ti dice che all'istante 0 il corpo é fermo, l'energia totale é nulla.
Puó essere controintuitivo ragionare cosi, ma se pensi che l'energia totale é funzione anche dall'energia potenziale, che é determinata a meno di una costante arbitraria, allora vuol dire che anche l'energia totale é determinata a meno di una costante arbitraria, il che significa che la puoi sempre azzerare. L'unico termine non arbitrario in un sistema di riferimento fisso é l'energia cinetica. Ergo, l'energia totale, se ti conviene a non far calcoli, esprimerla come solo energia cinetica dell'istante iniziale.
***************************
Ti risolvo il secondo esercizio passo passo, tenendo conto che anche questo esercizio é fatto con i piedi, dal momento che ti chiede tutto in funzione di una coordinata lagrangiana y del Centro di massa (e non il baricentro, che é un concetto geometrico, altra imprecisione) che peró non ti dice quale sia.
Allora, per via dell'imprecisione del testo, faccio io delle assunzioni.
(1) y é la coordinata lagrangiana del cdm della ruota, misurato verso il basso lungo l'asse inclinato, a partire dal punto $h_0$
(2) la molla ha lunghezza a riposo nulla
L'angolo dato dal problema lo chiamo $theta$ (nell esercizio $theta=pi/6$) e ti lascio tutto indicato in modo da non farti fare fatica a seguire lo svolgimento.
Le rotazioni della ruota sono indicate dall'angolo $psi$ preso positivo quando ruota in senso antiorario (come imposto dal testo).
(1) Gradi di libertá: un corpo nel piano ha 3 gradi di liberta. Il moto di puro rotolamento toglie due gradi di liberta. Ergo gradi di libertá del sistema: 1
Punto 2: per il punto 2 normalmente é piu facile calcolare la variazione dell'energia potenziale (in questo ha ragione il professore) come l'opposto del lavoro fatto dalle forze esterne, tutto in funzione della coordinata lagrangiana $dy$.
Per uno spostamento positivo $dy$
La forza peso fa lavoro positivo $mgsinthetady$
La molla fa lavoro negativo $-kydy$
Quindi
$dU=-mgsinthetady+kydy$ [1]
L'energia potenziale é dunque $U=-mgsinthetay+1/2ky^2+C$ con C determinare arbitrariamente.
Calcolo ora la C prendendo come valore proprio l' $y_0$ che viene richiesto nel punto (5).
Impongo che per $y_0$ si annulli la $U$. Trovi banalmente che l'energia potenziale diventa
$U=-mgsintheta(y-y_0)+1/2k(y^2-y_0^2)$ (***)
(3) Le posizioni di equilibrio.
Visto che abbiamo calcolato il dU nella [1], non occorre ricorrere all'equilibrio delle forze, basta imporre che $(dU)/(dy)=0$ per avere:
$(dU)/(dy)=-mgsintheta+ky=0$ da cui facilmente $y_e=(mgsintheta)/k$.
Per vedere se $(dU)/(dy)$ é punto di minimo (equilibrio stabile), deriviamo ancora e otteniamo
$(d^2U)/(dy^2)=k$ che é soluzione sempre positiva, per cui $y_e$ é posizione di equilibrio stabile.
(4) Energia cinetica
Questo é un corpo che ruota istantaneamente attorno al punto di contatto. In quel punto il momento di inerzia vale $I_c=mR^2+mR^2=2mR^2$
L'en. cin. é $T=1/2I_cdotpsi^2$ e ricordando che $dy=-Rdpsi$ si ottiene
$T=1/2I_c((doty)/R)^2=1/2*2mdoty^2=mdoty^2$ (sono 40J, usando il valore numerico)
(5)
L'energia totale é $E_0=T_(y0)+U_(y0)$
La ruota parte con una velocita $doty_0=-2m/s$ nel punto $y_0$, ovvero con un en. cinetica $T_(y0)=mdoty_0^2$
L'energia potenziale é data dalla (***):
$U=-mgsintheta(y-y_0)+1/2k(y^2-y_0^2)$, che, come vedi facilmente, si annulla in $y_0$ (e grazie! Lo avevamo imposto noi, no?).
Allora l'energia totale é, senza tanti calcoli, $E_0=mdoty_0^2=40J$ - vale sempre, come ti ho spiegato sopra.
(6) Altra richiesta imprecisa. Per quali condizioni iniziali? Parte da fermo da $h_0$ oppure nelle condizioni descritte nel punto (5)? Boh! Assumiamo il secondo caso, che é leggermente piú complicato e indichiamo i punti massima estensione si trovino nei punti $y_f$
In questi punti l'energia totale del sistema é sempre 40J, ma l'energia cinetica é nulla, ovvero applicando la CDE:
$40J=-mgsintheta(y_f-y_0)+1/2k(y_f^2-y_0^2)$
Questa equazione va risolta, é una semplice eq. di secondo grado che ti dá i 2 valori di $y_f$.
(7) la velocitá massima si raggiunge quando l'energia potenziale é nulla, e quindi proprio nel punto di partenza, dove dove si annulla l'energia potenziale e quindi
$mdoty^2=40J$ da cui i valori di $doty$.
(8) L'equazione del moto si puó ottenere in 2 modi
(a) siccome l'energia cinetica é solo funzione della velocitá e non della posizione del corpo, banalmente dalla CDE
$(dT)/(dt)+(dU)/(dt)=0$ il che significa
$2mdoty*ddoty-mgsinthetadoty+kydoty=0$ che semplificando il $doty$ diventa
$2mddoty-mgsintheta+ky=0$
(b) Usando un'equazione di momento rispetto al punto di contatto
$kyR-mgsinthetaR=I_cddot psi=-2mRddoty$ che dividendo per R é identica a quella trovata in (a)
La soluzione del sistema é del tipo
$y(t)=Acos(omegat+phi)+mg/omega^2sintheta$
Con le condizioni iniziali $doty=doty_0$ e $y=y_0$ per trovare $A$ e $phi$.
(9) Questo punto é banale ed é l'applicazione di tutti i risultati sopra, per cui lo lascio fare a te.
In tutto questo non si capisce cosa abbia messo a fare l'asse h, che non serve a nulla.[/size]
Il punto 5: innanzitutto il testo é espresso male ("molla a lunghezza zero" non ha significato: la molla ha lughezza 0 quando entrambi gli estremi sono in $z_0$, il professore intende che la molla, all'istante 0, e a riposo, scarica, credo). Ma questo importa ben poco.
In generale l'energia totale di un sistema all'istante 0 e´sempre e solamente la sua energia cinetica.
Se il corpo, all'istante 0, parte da fermo, allora l'en. totale $E_0=0$, perche, trovata la funione energia potenziale (gravitazionale + elastica) tu puoi sempre annullarla, arbitrariamente, nel punto di partenza, giocando sul calcolo della costante.
Quindi, banalmente, siccome il testo ti dice che all'istante 0 il corpo é fermo, l'energia totale é nulla.
Puó essere controintuitivo ragionare cosi, ma se pensi che l'energia totale é funzione anche dall'energia potenziale, che é determinata a meno di una costante arbitraria, allora vuol dire che anche l'energia totale é determinata a meno di una costante arbitraria, il che significa che la puoi sempre azzerare. L'unico termine non arbitrario in un sistema di riferimento fisso é l'energia cinetica. Ergo, l'energia totale, se ti conviene a non far calcoli, esprimerla come solo energia cinetica dell'istante iniziale.
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Ti risolvo il secondo esercizio passo passo, tenendo conto che anche questo esercizio é fatto con i piedi, dal momento che ti chiede tutto in funzione di una coordinata lagrangiana y del Centro di massa (e non il baricentro, che é un concetto geometrico, altra imprecisione) che peró non ti dice quale sia.
Allora, per via dell'imprecisione del testo, faccio io delle assunzioni.
(1) y é la coordinata lagrangiana del cdm della ruota, misurato verso il basso lungo l'asse inclinato, a partire dal punto $h_0$
(2) la molla ha lunghezza a riposo nulla
L'angolo dato dal problema lo chiamo $theta$ (nell esercizio $theta=pi/6$) e ti lascio tutto indicato in modo da non farti fare fatica a seguire lo svolgimento.
Le rotazioni della ruota sono indicate dall'angolo $psi$ preso positivo quando ruota in senso antiorario (come imposto dal testo).
(1) Gradi di libertá: un corpo nel piano ha 3 gradi di liberta. Il moto di puro rotolamento toglie due gradi di liberta. Ergo gradi di libertá del sistema: 1
Punto 2: per il punto 2 normalmente é piu facile calcolare la variazione dell'energia potenziale (in questo ha ragione il professore) come l'opposto del lavoro fatto dalle forze esterne, tutto in funzione della coordinata lagrangiana $dy$.
Per uno spostamento positivo $dy$
La forza peso fa lavoro positivo $mgsinthetady$
La molla fa lavoro negativo $-kydy$
Quindi
$dU=-mgsinthetady+kydy$ [1]
L'energia potenziale é dunque $U=-mgsinthetay+1/2ky^2+C$ con C determinare arbitrariamente.
Calcolo ora la C prendendo come valore proprio l' $y_0$ che viene richiesto nel punto (5).
Impongo che per $y_0$ si annulli la $U$. Trovi banalmente che l'energia potenziale diventa
$U=-mgsintheta(y-y_0)+1/2k(y^2-y_0^2)$ (***)
(3) Le posizioni di equilibrio.
Visto che abbiamo calcolato il dU nella [1], non occorre ricorrere all'equilibrio delle forze, basta imporre che $(dU)/(dy)=0$ per avere:
$(dU)/(dy)=-mgsintheta+ky=0$ da cui facilmente $y_e=(mgsintheta)/k$.
Per vedere se $(dU)/(dy)$ é punto di minimo (equilibrio stabile), deriviamo ancora e otteniamo
$(d^2U)/(dy^2)=k$ che é soluzione sempre positiva, per cui $y_e$ é posizione di equilibrio stabile.
(4) Energia cinetica
Questo é un corpo che ruota istantaneamente attorno al punto di contatto. In quel punto il momento di inerzia vale $I_c=mR^2+mR^2=2mR^2$
L'en. cin. é $T=1/2I_cdotpsi^2$ e ricordando che $dy=-Rdpsi$ si ottiene
$T=1/2I_c((doty)/R)^2=1/2*2mdoty^2=mdoty^2$ (sono 40J, usando il valore numerico)
(5)
L'energia totale é $E_0=T_(y0)+U_(y0)$
La ruota parte con una velocita $doty_0=-2m/s$ nel punto $y_0$, ovvero con un en. cinetica $T_(y0)=mdoty_0^2$
L'energia potenziale é data dalla (***):
$U=-mgsintheta(y-y_0)+1/2k(y^2-y_0^2)$, che, come vedi facilmente, si annulla in $y_0$ (e grazie! Lo avevamo imposto noi, no?).
Allora l'energia totale é, senza tanti calcoli, $E_0=mdoty_0^2=40J$ - vale sempre, come ti ho spiegato sopra.
(6) Altra richiesta imprecisa. Per quali condizioni iniziali? Parte da fermo da $h_0$ oppure nelle condizioni descritte nel punto (5)? Boh! Assumiamo il secondo caso, che é leggermente piú complicato e indichiamo i punti massima estensione si trovino nei punti $y_f$
In questi punti l'energia totale del sistema é sempre 40J, ma l'energia cinetica é nulla, ovvero applicando la CDE:
$40J=-mgsintheta(y_f-y_0)+1/2k(y_f^2-y_0^2)$
Questa equazione va risolta, é una semplice eq. di secondo grado che ti dá i 2 valori di $y_f$.
(7) la velocitá massima si raggiunge quando l'energia potenziale é nulla, e quindi proprio nel punto di partenza, dove dove si annulla l'energia potenziale e quindi
$mdoty^2=40J$ da cui i valori di $doty$.
(8) L'equazione del moto si puó ottenere in 2 modi
(a) siccome l'energia cinetica é solo funzione della velocitá e non della posizione del corpo, banalmente dalla CDE
$(dT)/(dt)+(dU)/(dt)=0$ il che significa
$2mdoty*ddoty-mgsinthetadoty+kydoty=0$ che semplificando il $doty$ diventa
$2mddoty-mgsintheta+ky=0$
(b) Usando un'equazione di momento rispetto al punto di contatto
$kyR-mgsinthetaR=I_cddot psi=-2mRddoty$ che dividendo per R é identica a quella trovata in (a)
La soluzione del sistema é del tipo
$y(t)=Acos(omegat+phi)+mg/omega^2sintheta$
Con le condizioni iniziali $doty=doty_0$ e $y=y_0$ per trovare $A$ e $phi$.
(9) Questo punto é banale ed é l'applicazione di tutti i risultati sopra, per cui lo lascio fare a te.
In tutto questo non si capisce cosa abbia messo a fare l'asse h, che non serve a nulla.[/size]
"vinman":
[quote="professorkappa"]
In altre parole, potresti scelgliere $U(z=0)=0$ se solo se, a un istante qualsiasi
(1) la posizione del CdM del sistema ruote-sbarra é a z=0
(2) la molla ha lunghezza a riposo in quell'istante.
Ciao, stavo pensando a questa cosa:
se imponessi l'origine del sistema di riferimento in $ z_0 $ , non sarebbero verificate entrambe le condizioni?[/quote]
No, anche li mi sono espresso male. Troppi errorini a cui tenere conto in questo esercizio. Ho provato a chiarire le cose risolvendo l'altro esercizio, forse con quello é un po chiaro cosa intendo
Ciao, scusami se ti disturbo ancora perchè stai facendo un lavoro incredibile per me, davvero non so come sdebitarmi!
Non ho capito giusto un paio di punti riguardo all'esercizio 2 (per il primo esercizio vedo più tardi)
Qui hai utilizzato Huygens-Steiner giusto? Perchè mi trovo che il momento di inerzia del disco (credo che con ruota il professore intenda disco, no?) lungo l'asse di rotazione passante per il cdm e ortogonale al piano che la contiene è $ (mR^2)/2 $ m , quindi con Huygens-Steiner mi trovo essere in totale $ mR^(2)3/2 $
E qua:
Io ho fatto in egual modo però mi trovo con i segni invertiti, cioè mi trovo (però con l'energia cinetica che mi ero trovato io)
$ 3/2m_1ddot(y)= -ky+m_1gsinvartheta $
Poi da qui ho risolto l'equazione differenziale con il problema di Cauchy e mi sono trovato la soluzione.
Per quanto riguarda l'ultimo punto ho semplicemente utilizzato la IECD lungo z:
$ N-m_1gcosvartheta =0 $
Da cui ricavo la reazione normale, e la IECD lungo y:
$ -F_(molla)-A_s+m_1gsinvartheta =m1ddoty $
E sostituendo l'equazione dell'accelerazione mi sono trovato l'attrito statico. Giusto?
Non ho capito giusto un paio di punti riguardo all'esercizio 2 (per il primo esercizio vedo più tardi)
"professorkappa":
[size=150]
Questo é un corpo che ruota istantaneamente attorno al punto di contatto. In quel punto il momento di inerzia vale $I_c=mR^2+mR^2=2mR^2$
[/size]
Qui hai utilizzato Huygens-Steiner giusto? Perchè mi trovo che il momento di inerzia del disco (credo che con ruota il professore intenda disco, no?) lungo l'asse di rotazione passante per il cdm e ortogonale al piano che la contiene è $ (mR^2)/2 $ m , quindi con Huygens-Steiner mi trovo essere in totale $ mR^(2)3/2 $
E qua:
"professorkappa":
[size=150]
a) siccome l'energia cinetica é solo funzione della velocitá e non della posizione del corpo, banalmente dalla CDE
$(dT)/(dt)+(dU)/(dt)=0$ il che significa
$2mdoty*ddoty=-mgsinthetadoty+kydoty$ che semplificando il $doty$ diventa
$2mddoty=-mgsintheta+ky$
[/size]
Io ho fatto in egual modo però mi trovo con i segni invertiti, cioè mi trovo (però con l'energia cinetica che mi ero trovato io)
$ 3/2m_1ddot(y)= -ky+m_1gsinvartheta $
Poi da qui ho risolto l'equazione differenziale con il problema di Cauchy e mi sono trovato la soluzione.
Per quanto riguarda l'ultimo punto ho semplicemente utilizzato la IECD lungo z:
$ N-m_1gcosvartheta =0 $
Da cui ricavo la reazione normale, e la IECD lungo y:
$ -F_(molla)-A_s+m_1gsinvartheta =m1ddoty $
E sostituendo l'equazione dell'accelerazione mi sono trovato l'attrito statico. Giusto?
"professorkappa":
[size=150]
Punto 2: per il punto 2 normalmente é piu facile calcolare la variazione dell'energia potenziale (in questo ha ragione il professore) come l'opposto del lavoro fatto dalle forze esterne, tutto in funzione della coordinata lagrangiana $dy$.
Per uno spostamento positivo $dy$
La forza peso fa lavoro positivo $mgsinthetady$
La molla fa lavoro negativo $-kydy$
Quindi
$dU=-mgsinthetady+kydy$ [1]
L'energia potenziale é dunque $U=-mgsinthetay+1/2ky^2+C$ con C determinare arbitrariamente.
Calcolo ora la C prendendo come valore proprio l' $y_0$ che viene richiesto nel punto (5).
Impongo che per $y_0$ si annulli la $U$. Trovi banalmente che l'energia potenziale diventa
$U=-mgsintheta(y-y_0)+1/2k(y^2-y_0^2)$ (***)
[/size]
Allora, seguendo questo ragionamento e applicandolo al problema precedente, e utilizzando l'energia potenziale che hai calcolato tu (o lei, onestamente dal suo grado di conoscenze penso proprio che tu sia un professore o comunque non un semplice studente come me, quindi forse sarebbe meglio parlarle con il lei?), posso calcolare la costante C imponendo che per $ z=z_b $ si annulli la U, perchè solo in tal punto la molla è scarica, e quindi la sua energia potenziale sia nulla, vero? Solo che andando a sostituire poi mi trovo che la C sia proprio pari a 0, non capisco proprio dove sto sbagliando
(1), io ho calcolato il momento di inerzia come se la ruota fosse un anello, non un disco. Un anello ha momento $mR^2$ a cui va aggiunto $mR^2$ per Huygens-Steiner. Ma la cosa non cambia concettualmente
(2) Ho sbagliato nei vari copia-incolla i segni delle equazioni. Li ho corretti ora nel testo originale, i segni giusti sono i tuoi.
(3) Detto questo, per il primo esercizio, quando ti chiede di scrivere l'energia potenziale, l'unica risposta che devi dare é:
$U=-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2+C$
(ricordati che la $x_B$ non é l'altezza di B dal piano orizzontale, ma la distanza di B da $z_0$, stiamo usando un sistema di riferimento piu pratico di quello imposto dal testo che sembrerebbe usare l'asse verticale per fare i calcoli)
Questa U é la risposta al quesito: non occorre andare oltre poiché non ha senso calcolare la costante.
Se, per esempio, il testo avesse scritto "Calcolare l'energia potenziale SAPENDO CHE QUANDO $X_b=0$, L'energia potenziale vale $U=100J$", allora dovresti calcolare la C.
Ma siccome non ti dice altro, non ha senso esporsi a errori di calcolo. Se proprio la vuoi togliere, siccome é arbitraria, imponila pari a 0 e via, chi te lo impedisce??? Attenzione, peró, che imponendola uguale a 0, stai implicitamente assegnando un livello di potenziale nullo, e se poi ri-usi quella formula con C=0, c'e' il rischio che ti dimentichi e fai pasticci.
Ora, considerando che la C é arbitraria, sei d'accordo che potrai trovare sempre un livello di riferimento per il quale $U=0$? Bene, allora ri-passiamo al calcolo dell'energia totale (il punto 5) all'istante 0 (va da sé che questa energia totale resta costante anche per t>0, per la conservazione dell'energia meccanica).
Anche qui, evitiamo calcoli enormi, che poi si fanno errori.
Il ragionamento é semplice: all'istante 0, il corpo é fermo. L'energia potenziale la puoi decidere tu, assegnando un arbitrario livello. Allora fatti furbo! All'istante 0, calcola la C in modo che l'energia potenziale sia nulla. Facendo cosi, l'energia meccanica é nulla! niente calcoli!
E´per quello che dico che questo punto é fuorviante: perche secondo me il professore ha inconsciamente in testa un livello di energia potenziale nullo (per esempio per lui potrebbe essere il piu scontato, il pavimento) e quindi da te si aspetta un valore di energia meccanica pari all'energia potenziale rispetto al pavimento PIÚ l'energia cinetica, che é zero.
Ma tu gli scrivi che $E_0=0$ e lui non puó fiatare.
Solo ora, sapendo che quando $x_B=0$ l'energia potenziale é, per te, nulla, puoi calcolarti la C. Banalmente la C=0.
Quindi per calcolare l'energia cinetica del corpo in qualsiasi momento, prendi l'energia meccanica totale in quel generico momento ($E=1/2mdotx_B^2-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2$) e la imponi pari a $E_0$, che ti ricordo per la n-esima volta é 0!!!
Salta fuori
[size=150]$1/2mdotx_B^2-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2=0$[/size]
Quest'ultima equazione ti permette di calcolare la velocitá del corpo per ogni data posizione.
Oppure, la puoi usare per calcolare a che distanza da $x_B$ (oltre all'ovvio $x_B=0$ iniziale) il corpo é fermo.
Spero di essere stato piu chiaro perche dove sono io, ora sono le 4 del mattino e sono in preda ad insonnia annebbiante.
PS: Qui, l'ultima volta che ho controllato, ci davamo del "tu" nonostante la differenza di etá che, in alcuni casi, come per quei matusalemme di Shackle e Faussone, é mastodontica. Io e te ci passiamo solo pochi anni, perche io sono giovane
(2) Ho sbagliato nei vari copia-incolla i segni delle equazioni. Li ho corretti ora nel testo originale, i segni giusti sono i tuoi.
(3) Detto questo, per il primo esercizio, quando ti chiede di scrivere l'energia potenziale, l'unica risposta che devi dare é:
$U=-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2+C$
(ricordati che la $x_B$ non é l'altezza di B dal piano orizzontale, ma la distanza di B da $z_0$, stiamo usando un sistema di riferimento piu pratico di quello imposto dal testo che sembrerebbe usare l'asse verticale per fare i calcoli)
Questa U é la risposta al quesito: non occorre andare oltre poiché non ha senso calcolare la costante.
Se, per esempio, il testo avesse scritto "Calcolare l'energia potenziale SAPENDO CHE QUANDO $X_b=0$, L'energia potenziale vale $U=100J$", allora dovresti calcolare la C.
Ma siccome non ti dice altro, non ha senso esporsi a errori di calcolo. Se proprio la vuoi togliere, siccome é arbitraria, imponila pari a 0 e via, chi te lo impedisce??? Attenzione, peró, che imponendola uguale a 0, stai implicitamente assegnando un livello di potenziale nullo, e se poi ri-usi quella formula con C=0, c'e' il rischio che ti dimentichi e fai pasticci.
Ora, considerando che la C é arbitraria, sei d'accordo che potrai trovare sempre un livello di riferimento per il quale $U=0$? Bene, allora ri-passiamo al calcolo dell'energia totale (il punto 5) all'istante 0 (va da sé che questa energia totale resta costante anche per t>0, per la conservazione dell'energia meccanica).
Anche qui, evitiamo calcoli enormi, che poi si fanno errori.
Il ragionamento é semplice: all'istante 0, il corpo é fermo. L'energia potenziale la puoi decidere tu, assegnando un arbitrario livello. Allora fatti furbo! All'istante 0, calcola la C in modo che l'energia potenziale sia nulla. Facendo cosi, l'energia meccanica é nulla! niente calcoli!
E´per quello che dico che questo punto é fuorviante: perche secondo me il professore ha inconsciamente in testa un livello di energia potenziale nullo (per esempio per lui potrebbe essere il piu scontato, il pavimento) e quindi da te si aspetta un valore di energia meccanica pari all'energia potenziale rispetto al pavimento PIÚ l'energia cinetica, che é zero.
Ma tu gli scrivi che $E_0=0$ e lui non puó fiatare.
Solo ora, sapendo che quando $x_B=0$ l'energia potenziale é, per te, nulla, puoi calcolarti la C. Banalmente la C=0.
Quindi per calcolare l'energia cinetica del corpo in qualsiasi momento, prendi l'energia meccanica totale in quel generico momento ($E=1/2mdotx_B^2-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2$) e la imponi pari a $E_0$, che ti ricordo per la n-esima volta é 0!!!
Salta fuori
[size=150]$1/2mdotx_B^2-(m_s+m_r+m_r)gsintheta*x_B+1/2kx_B^2=0$[/size]
Quest'ultima equazione ti permette di calcolare la velocitá del corpo per ogni data posizione.
Oppure, la puoi usare per calcolare a che distanza da $x_B$ (oltre all'ovvio $x_B=0$ iniziale) il corpo é fermo.
Spero di essere stato piu chiaro perche dove sono io, ora sono le 4 del mattino e sono in preda ad insonnia annebbiante.
PS: Qui, l'ultima volta che ho controllato, ci davamo del "tu" nonostante la differenza di etá che, in alcuni casi, come per quei matusalemme di Shackle e Faussone, é mastodontica. Io e te ci passiamo solo pochi anni, perche io sono giovane
quei matusalemme di Shackle e Faussone
Faussone non ha neanche 50 anni…
Le vecchie abitudini sono rimaste, ci diamo ancora il “tu” , studenti e matusalemme vari
[ot]
Confermo, anche se sono vicino ormai. Grazie Shackle.
Io ancora mi impressiono quando i ragazzini mi fanno del lei, se lo fanno i ventenni poi è la fine...
E comunque sui forum ci si dà del tu normalmente, per fortuna.[/ot]
"Shackle":quei matusalemme di Shackle e Faussone
Faussone non ha neanche 50 anni…
Confermo, anche se sono vicino ormai. Grazie Shackle.
Io ancora mi impressiono quando i ragazzini mi fanno del lei, se lo fanno i ventenni poi è la fine...
E comunque sui forum ci si dà del tu normalmente, per fortuna.[/ot]
"professorkappa":
Spero di essere stato piu chiaro perche dove sono io, ora sono le 4 del mattino e sono in preda ad insonnia annebbiante.
Ciao, ti ringrazio infinitamente, sei stato davvero il mio salvatore! Ho aperto il thread credendo di aver capito quasi tutto di questa parte di programma, e di avere solo piccoli buchi, e in realtà non avevo capito proprio un bel nulla, e avrei sicuramente fatto una figuraccia quando dovrò sostenere l'esame! Non so davvero come ringraziarti!
Purtroppo in questi ultimi 10 giorni devo concentrarmi sugli esercizi di geometria delle masse (in cui spero di non avere problemi, anche se mi hanno detto che sono più facili di questi di dinamica) e soprattutto il mattone d'orale (che fatica!), però nei prossimi giorni penso proprio che tornerò un po' su qualche esercizio di dinamica, e vedrò ti mettere a frutto tutto ciò che ho capito grazie a questo thread e grazie a te.
Grazie mille e buona giornata!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo