Dinamica dell'urto, carrelli, piano inclinato e cilindro solidale

[MicheleDV1]

Signori e signore buongiorno, ripropongo una piccola variazione di un problema che è stato già esaminato su questo forum nel 2011 (https://www.matematicamente.it/forum/pr ... 85932.html).

Un cilindro di massa $m = 100Kg$ è posizionato alla base di un piano inclinato solidale ad un carrello A che si muove con velocità $v_0 = 4 m/s$. Il sistema carrello più piano inclinato ha una massa $M_A = 500Kg$. Ad un certo punto il carrello A urta un carrello B ($M_B = 700Kg$) fermo. Dopo l'urto i due carrelli rimangono uniti. Calcolare:

A) la velocità dei due carrelli subito dopo l'urto;
B) la velocità dei due carrelli quando il cilindro raggiunge la massima altezza lungo il piano inclinato;
C) l'altezza massima a cui si porta il cilindro.
[/list:u:icmteahi]

Questo è il mio tentativo di risoluzione del problema:
E' chiaro, dalla domanda B, che il moto del cilindro deve influenzare il moto dei due carrelli.
Essendo l'urto totalmente anaelastico, si conserva la quantità di moto totale dei carrelli. Questo significa che:

$M_A v_0 = (M_A + M_B)v_f$

Il cilindro subirà quindi una variazione impulsiva della sua velocità (dovuta alla frenata) passando da velocità 0 (nel suo sistema di riferimento il cilindro era in quiete) ad una velocità finale data da $v_0 - v_f$. Possiamo imporre la conservazione dell'energia nel sistema di riferimento del cilindro:

$\frac{1}{2}m(v_0 - v_f)^2 = mgh$

Contemporaneamente nel sistema di riferimento del laboratorio abbiamo:

$\frac{1}{2}(M_A + M_B)v_f^2 + \frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}(M_A + M_B + m )v_h^2 + mgh$

Qui ho supposto che inizialmente il cilindro si debba ancora muovere nel sistema di riferimento con la sua velocità iniziale, e che alla fine i tre corpi si debbano muovere con la stessa velocità v_h altrimenti il carrello continuerebbe la sua salita.

Dopo un po di calcoli e con profondi dubbi sulla correttezza del mio ragionamento, mi trovo:
$v_f = 1.66 m/s$
$h = 0.27 m$
$v_h = 1.83 m/s$

Cosa ne pensate?

Grazie mille,
Michele

P.S. siate gentili

[mgrau]

"MicheleDV": ripropongo una piccola variazione di un problema che è stato già esaminato su questo forum nel 2011 (https://www.matematicamente.it/forum/pr ... 85932.html).

Quale sarebbe la variazione (a parte forse i numeri)?

"MicheleDV": Essendo l'urto totalmente anaelastico, si conserva la quantità di moto totale dei carrelli.

Che l'urto sia o no elastico, non ha importanza

[MicheleDV1]

La variazione sta nella domanda aggiuntiva di calcolare la velocità del sistema quando il cilindro ha raggiunto la massima altezza.

[mgrau]

"MicheleDV":La variazione sta nella domanda aggiuntiva di calcolare la velocità del sistema quando il cilindro ha raggiunto la massima altezza.

Quando il cilindro ha raggiunto la massima altezza, i tre corpi si muovono con la stessa velocità, per cui, dalla conservazione della QM, si trova che la velocità è $((100+500)*4)/(100+500+700) = 1,846... m/s$

[MicheleDV1]

Quando il cilindro ha raggiunto la massima altezza, i tre corpi si muovono con la stessa velocità, per cui, dalla conservazione della QM, si trova che la velocità è $((100+500)*4)/(100+500+700) = 1,846... m/s$

Che è equivalente alla conservazione dell'energia dopo l'urto da me impostata. Perfetto, la prendo per una conferma della corretta risoluzione dell'esercizio.
Grazie mille