Dinamica del punto materiale: piano inclinato
Buonasera,
ho qualche difficoltà con un problema di dinamica del punto materiale che vorrei proporvi:
Un punto materiale di massa $m_1 = 0.4 kg$ sottoposto ad una forza orizzontale $F = 1,5 N$, è posto alla base di un piano inclinato scabro ($\theta = 30°; \mu_s = 0.4, \mu_d = 0.1$), collegato tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile (passante attraverso una carrucola assimilabile ad un punto materiale di massa a sua volta trascurabile) ad un secondo punto di massa $m_2$. Calcolare il valore minimo di $m_2$ affinchè il sistema sia posto in movimento.
Il bilancio delle forze per i corpi liberi dovrebbe essere il seguente:
1) $Fcos(\theta) + T - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta) = m_1a$;
2) $m_2g - T = m_2a$;
Da cui, sommando membro a membro le due equazioni, si ottiene:
$Fcos(\theta) + m_2g - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta) = (m_1 + m_2)a$
A questo punto mi trovo in difficoltà per mancanza di dati sufficienti. Ho quindi imposto come condizione la positività del secondo termine $(m_1 + m_2)a$, da cui ho ottenuto la seguente disequazione:
$m_2 > (Fcos(\theta) - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta))/g$.
Alternativamente avrei potuto provare ad impostare un sistema o al più applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica per ricavare l'accelerazione (ma si tratta di supposizioni che non ho verificato). Inoltre nel bilancio delle forze per il primo corpo ho considerato il coefficiente di attrito statico, nonostante si supponga che il sistema sia in moto. Questo perché l'intenzione è quella di calcolare la massa minima che metta il sistema in moto, dico bene?
Voi che dite?
ho qualche difficoltà con un problema di dinamica del punto materiale che vorrei proporvi:
Un punto materiale di massa $m_1 = 0.4 kg$ sottoposto ad una forza orizzontale $F = 1,5 N$, è posto alla base di un piano inclinato scabro ($\theta = 30°; \mu_s = 0.4, \mu_d = 0.1$), collegato tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile (passante attraverso una carrucola assimilabile ad un punto materiale di massa a sua volta trascurabile) ad un secondo punto di massa $m_2$. Calcolare il valore minimo di $m_2$ affinchè il sistema sia posto in movimento.
Il bilancio delle forze per i corpi liberi dovrebbe essere il seguente:
1) $Fcos(\theta) + T - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta) = m_1a$;
2) $m_2g - T = m_2a$;
Da cui, sommando membro a membro le due equazioni, si ottiene:
$Fcos(\theta) + m_2g - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta) = (m_1 + m_2)a$
A questo punto mi trovo in difficoltà per mancanza di dati sufficienti. Ho quindi imposto come condizione la positività del secondo termine $(m_1 + m_2)a$, da cui ho ottenuto la seguente disequazione:
$m_2 > (Fcos(\theta) - \mu_sm_1gcos(\theta) - m_1gsin(\theta))/g$.
Alternativamente avrei potuto provare ad impostare un sistema o al più applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica per ricavare l'accelerazione (ma si tratta di supposizioni che non ho verificato). Inoltre nel bilancio delle forze per il primo corpo ho considerato il coefficiente di attrito statico, nonostante si supponga che il sistema sia in moto. Questo perché l'intenzione è quella di calcolare la massa minima che metta il sistema in moto, dico bene?
Voi che dite?
Risposte
Ciao.
Le equazioni che hai scritto sono sbagliate: se supponi che ci sia un'accelerazione non nulla, l'attrito in gioco è dinamico e non statico. E inoltre la forza normale con cui lo calcoli manca di un termine.
Normalmente in questo genere di problemi considero il caso limite, corrispondente alla massima intensità dell'attrito statico ( $mu_s*|vec(F)_N|$, essendo $vec(F)_N$ la forza normale) ed ovviamente all'immobilità delle superfici a contatto.
In questo caso, hai una forza normale che in modulo è: $F_N=m_1gcos vartheta+Fsin vartheta$, visto che (da quanto ho capito) la forza $vec(F)$ è orizzontale e quindi concorre a "premere" la massa contro il piano; nel caso limite hai: $T=m_2g$ in quanto la massa $m_2$ (che se ho capito bene penzola verticalmente) è ferma; quindi il bilancio delle componenti delle forze su $m_1$ lungo la direzione del piano ti dà il valore della massa $m_2$ che corrisponde al caso limite. Per masse superiori a questa, l'attrito statico non è in grado di mantenere l'equilibrio ed il sistema inizia a muoversi.
Le equazioni che hai scritto sono sbagliate: se supponi che ci sia un'accelerazione non nulla, l'attrito in gioco è dinamico e non statico. E inoltre la forza normale con cui lo calcoli manca di un termine.
Normalmente in questo genere di problemi considero il caso limite, corrispondente alla massima intensità dell'attrito statico ( $mu_s*|vec(F)_N|$, essendo $vec(F)_N$ la forza normale) ed ovviamente all'immobilità delle superfici a contatto.
In questo caso, hai una forza normale che in modulo è: $F_N=m_1gcos vartheta+Fsin vartheta$, visto che (da quanto ho capito) la forza $vec(F)$ è orizzontale e quindi concorre a "premere" la massa contro il piano; nel caso limite hai: $T=m_2g$ in quanto la massa $m_2$ (che se ho capito bene penzola verticalmente) è ferma; quindi il bilancio delle componenti delle forze su $m_1$ lungo la direzione del piano ti dà il valore della massa $m_2$ che corrisponde al caso limite. Per masse superiori a questa, l'attrito statico non è in grado di mantenere l'equilibrio ed il sistema inizia a muoversi.
Ciao! Innanzitutto ti ringrazio per la tempestività.
Ho capito che, banalmente, ho dimenticato di considerare nella normale la forza orizzontale. Ma non ho capito perché dici che nel caso limite si ha che la tensione eguaglia la forza peso. In tal caso il sistema non sarebbe fermo?
Ho capito che, banalmente, ho dimenticato di considerare nella normale la forza orizzontale. Ma non ho capito perché dici che nel caso limite si ha che la tensione eguaglia la forza peso. In tal caso il sistema non sarebbe fermo?
Se la massa $m_2$ penzola appesa al cavo ed è ferma… Sempre che io abbia capito bene com'è il sistema:
è così?
è così?
Speculare ma si, è così. Purtroppo continuo a non capire...
Il caso limite è quello in cui il sistema è fermo e l'attrito statico ha raggiunto la massima intensità, cioè $mu_sF_N$.
Ok, ma analiticamente da dove ottieni che quando $m_2a = T$ si è al caso limite? Sicuramente sarà una banalità, ma non mi è ben chiara.
Se il sistema è immobile, lo è anche $m_2$, quindi la tensione del cavo deve avere modulo $T$ uguale al peso $m_2g$ della massa $m_2$.
Credo che ci sia un'incomprensione. Per farla breve, considerando quanto mi hai fatto notare circa la normale, la disequazione diventerebbe:
$m_2 > (Fcos(\theta) - \mu_s(m_1gcos(\theta) + Fsin(\theta)) - m_1gsin(\theta))/g$
Giusto?
$m_2 > (Fcos(\theta) - \mu_s(m_1gcos(\theta) + Fsin(\theta)) - m_1gsin(\theta))/g$
Giusto?
"Blowtorch":
Credo che ci sia un'incomprensione
Credo anch'io. Cerco di essere più chiaro.
A parte il fatto che ti ho segnalato, e che hai corretto, relativo alla componente normale della forza, l'errore di fondo delle equazioni (1) e (2) che scrivi nel tuo primo post è che supponi che il sistema abbia un'accelerazione ma nel bilancio delle forze consideri che sulla massa appoggiata sul piano agisca l'attrito statico (con il suo massimo modulo consentito). Questo è un controsenso. Se c'è attrito statico è perché la massa $m_1$ è immobile; per contro, se supponi ci sia un'accelerazione non nulla allora l'attrito è dinamico. Di fatto arrivi ad un'equazione che è identica a quella a cui arrivo io analizzando il caso limite di immobilità e quindi ottieni lo stesso risultato che troverei io, tuttavia in una prova scritta la procedura che hai usato sarebbe molto probabilmente considerata del tutto errata.
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