Dinamica del punto materiale. Esercizio.

[Antonio_80]

Un punto materiale $P$ di massa $m$ si muove senza attrito lungo una circonferenza fissa di raggio $R$. Sul punto $P$ agisce una forza $F$, di modulo costante $F$ e direzione sempre tangente alla circonferenza. All'istante $t=0$ il punto è fermo. Si chiede di:

1) Studiare il moto del punto (ovvero trovare la legge del moto)
2) Calcolare la reazione vincolare che la circonferenza esercita sul punto.
3) Risolvere i due punti precedenti nel caso in cui la forza $F$ sia inclinata di un angolo fisso $alpha$ rispetto alla tangente alla circonferenza.

Desidero risolvere questo esercizio, vorrei farlo insieme a voi.
Cosa conviene pensare in primis?

[quantunquemente]

al fatto che responsabile dell'accelerazione centripeta è la reazione vincolare e responsabile dell'accelerazione tangenziale è la forza $F$
per la legge oraria dell'ascissa curvilinea conta l'accelerazione tangenziale

[Antonio_80]

Ok, ma questo è evidente dalla traccia, sostanzialmente è quello che è scritto nella traccia.

[quantunquemente]

$a_t=F/m$

$s=1/2a_t t^2$

se proprio devo essere esplicito

[Antonio_80]

Ok, quindi il punto 1) è soddisfatto!

Per il punto 2), come conviene calcolare la reazione vincolare che la circonferenza esercita sul punto?
Si hanno due forze, una tangenziale e una centripeta.
Come grafico dei vettori, ho trovato qualcosa che mi sembra essere idoneo al caso, ecco qui:

Punto 2)

Restando su quel disegno che ho postato nell'ultimo messaggio, penso che la reazione vincolare che la circonferenza crea è la forza centripeta che bilancia la forza centrifuga.

Come dovrei pensare

Provo a dire qualcosa.....
Uso la coordinata $theta$ che si vede nella figura e per individuare la posizione del punto uso i versori seguenti:

$e_r = cos theta i + sin theta j$
$e_(theta) = -sin theta i + cos theta j$

Il vettore posizione è dato dalla seguente:
$(P - O) = R e_r$

La velocità e l'accelerazione di $P$ sono:

$v = R dot(e)_r = R dot(theta) e_(theta)$
$a = R ddot(theta)e_(theta) + Rdot(theta)dot(e)_(theta) = R ddot(theta)e_(theta) - Rdot(theta)^2dot(e)_(r)$

ho fatto uso di:

$dot(e)_r = dot(theta)e_(theta)$ ed $dot(e)_(theta) = - dot(theta)e_r$

Il vincolo di appoggio esercita una reazione vincolare $Phi$ ed è normale alla circonferenza.

Si ha una forza peso $F_p = - mg j$

Correggetemi se sbaglio quello che sto per dire:
La $j$ si può scrivere in questo modo:

$j = e_r cos theta + ....$ questa è la componente del versore $e_r$ che viene proiettata su $j$
$j = ......... - e_(theta) sen theta$ questa è la componente del versore $e_(theta)$ che viene proiettata su $j$ ed è negativa perchè va verso il basso.
quindi si ha:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $

Ho fatto uso delle regole sui triangoli rettangoli, calcolando le coordinate di $j$ evidenziate nella seguente:

Non sono sicuro se ho individuato le coordinate di $j$ nel modo corretto, ho usato gli angoli che ho disegnato e chiamato $theta$, dite che è così che si fa?

Datemi conferma se questi miei artifici che seguono sono corretti.

Il versore $e_r$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:

$e_r = cos (90 - theta) i + sen(90 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_r = sentheta i + costhetaj$


Il versore $e_(theta)$ con riferimento al punto $P$ ha le seguenti coordinate:

$e_(theta) = cos (360 - theta) i + sen(360 - theta) j$
che può essere scritto in questo modo:
$e_(theta) = costheta i - senthetaj$

Tenendo conto che a noi interessa solo la $j$ di entrambi i versori, si ha che:

$e_r = costhetaj$
$e_(theta) = - senthetaj$

Per cui se il testo dice che $j$ deve essere il seguente:
$j = e_r cos theta - e_(theta) sen theta $

posso giustificare la formula dicendo che:

$j = costhetaj - senthetaj $

Ops, ma perchè il testo invece moltiplica il primo addendo per $e_r$ e il secondo addendo per $e_(theta)$