Dinamica del punto materiale
avrei bisogno della spiegazione della risoluzione di questo esercizio che ritengo alquanto difficile
Su un piano orizzontale liscio una massa puntiforme m=1 g, connessa ad una molla ideale di costante elastica k=10 N/m, inizialmente in quiete nella sua posizione di equilibrio è sollecitata all'istante t=0 dall'applicazione di una forza $F_0 sen(\omega t) $ , con $F_0=10^3 N$ diretta parallelamente alla molla. Determinare il moto della massa:
1)se il valore di $\omega=98 rad/s$ non è molto diverso dalla pulsazione propria$\omega_0$ dell'oscillatore libero $[\omega + \omega_0~=2\omega_0, \omega_0 - \omega=2\epsilon]$;
2)nel caso limite $\omega=\omega_0$
Su un piano orizzontale liscio una massa puntiforme m=1 g, connessa ad una molla ideale di costante elastica k=10 N/m, inizialmente in quiete nella sua posizione di equilibrio è sollecitata all'istante t=0 dall'applicazione di una forza $F_0 sen(\omega t) $ , con $F_0=10^3 N$ diretta parallelamente alla molla. Determinare il moto della massa:
1)se il valore di $\omega=98 rad/s$ non è molto diverso dalla pulsazione propria$\omega_0$ dell'oscillatore libero $[\omega + \omega_0~=2\omega_0, \omega_0 - \omega=2\epsilon]$;
2)nel caso limite $\omega=\omega_0$
Risposte
Potresti provare a impostare un tuo tentativo di soluzione...così possiamo partire da quello...
sinceramente non so proprio che fare
per questo chiedo il vostro aiuto
per questo chiedo il vostro aiuto
E' un esercizio abbastanza standard sulle oscillazioni forzate. In sostanza devi trovare la legge oraria risolvendo l'equazione di Newton \( F = ma \), che matematicamente si esprime tramite il problema di Cauchy
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
nei due casi
1) \( \omega \approx \omega_0 \)
2) \( \omega = \omega_0 \).
Ti torna?
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
nei due casi
1) \( \omega \approx \omega_0 \)
2) \( \omega = \omega_0 \).
Ti torna?
si ma infatti la soluzione ce l'ho sul libro
ma quello che vorrei capire(se poteste spiegarmela )
è come faccio a risolvere l'equazione differenziale?
potreste aiutarmi almeno iniziando lo svolgimento
grazie mille
ma quello che vorrei capire(se poteste spiegarmela )
è come faccio a risolvere l'equazione differenziale?
potreste aiutarmi almeno iniziando lo svolgimento
grazie mille
Prova a dare un'occhiata a qualche testo di analisi in cui sono spiegate...il discorso non è proprio di due righe e credo che studiando la teoria delle equazioni differenziali non omogenee ne trarrai più beneficio anche tu in termini di comprensione. Prova a partire da qui ad esempio.
io le ho studiate ma non riesco ad applicarle in questo esempio.
infatti la soluzione del libro non presenta esponenziali di alcun tipo quindi proprio non riesco a capire come abbia fatto a risolverlo.
infatti la soluzione del libro non presenta esponenziali di alcun tipo quindi proprio non riesco a capire come abbia fatto a risolverlo.
Immagino che tu abbia dei problemi solo con la non omogenea.
Bè non mi sembra proprio il caso di alzare la voce...
Cerca di modificare il post scrivendo tutto in minuscolo per favore. Hai un buon numero di post all'attivo e ormai dovresti conoscere la politica del forum. Ti invito a ridare un'occhiata al regolamento.
Per la cronaca....continuo a non capire dove ti blocchi....
Cerca di modificare il post scrivendo tutto in minuscolo per favore. Hai un buon numero di post all'attivo e ormai dovresti conoscere la politica del forum. Ti invito a ridare un'occhiata al regolamento.
Per la cronaca....continuo a non capire dove ti blocchi....
alle.fabbri, sono intervenuto perchè, vedendolo senza ragione spazientito, non si passasse dalle parole ai fatti! 
Grazie speculor!!! Capisco lo spazientimento di maschulillo nel non ricevere la risposta che cerca (ovvero l'intero svolgimento) però siccome la cosa è un po' corposa al momento non ho voglia di postarla tutta...
Vogliamo risolvere il problema di Cauchy
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
1) \( \omega \neq \omega_0 \)
La teoria ci insegna che per risolvere un'equazione differenziale non omogenea bisogna trovare: una soluzione dell'omogenea, una soluzione particolare (cioè una soluzione dell'equazione non omogenea) e poi imporre le condizioni iniziali. Facciamolo.
L'omogenea associata è
[tex]\displaystyle{
\ddot x + \omega_0^2 x = 0
}[/tex]
la cui soluzione è data da
[tex]\displaystyle{
x_0(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t
}[/tex]
con \( c_1 \) e \( c_2 \) costanti da determinare con le condizioni iniziali.
Ora cerchiamo la soluzione particolare. Data la forma del termine noto possiamo provare con una soluzione del tipo
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = A \sin \omega t
}[/tex]
con \(A \) costante da determinare in modo tale che \(x_p(t)\) sia soluzione dell'equazione non omogenea. Per determinare \( A \) basta sostituire e ottieni
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
&\ddot{x}_p + m \omega_0^2 x_p = \frac{F_0}{m} \sin \omega t \\
&- A \omega^2 \sin \omega t + \omega_0^2 A \sin \omega t = \frac{F_0}{m} \sin \omega t \\
& A \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) \sin \omega t = \frac{F_0}{m} \sin \omega t
\end{split}
}[/tex]
siccome vogliamo che \(x_p(t) \) sia una soluzione particolare l'ultima relazione deve essere vera per ogni valore di \( t \). Quindi dobbiamo imporre che il coefficiente del seno sia lo stesso. Questo significa risolvere
[tex]\displaystyle{
A \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) = \frac{F_0}{m}
}[/tex]
cioè
[tex]\displaystyle{
A = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}
}[/tex]
quindi
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t
}[/tex]
da notare come quest'ultima sia mal definita se \( \omega = \omega_0 \).
A questo punto la soluzione generale è
[tex]\displaystyle{
x(t) = x_0(t) + x_p(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t + \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t
}[/tex]
restano solo da determinare le costanti. Per fare questo imponiamo le condizioni iniziali
[tex]\displaystyle{
x(0) = c_1 \cos 0 + c_2 \sin 0 + \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin 0 = 0 \qquad \rightarrow \qquad c_1 = 0
}[/tex]
e
[tex]\displaystyle{
\dot{x}(0) = c_2 \omega_0 \cos 0 + \frac{F_0}{m} \frac{\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos 0 = 0 \qquad \rightarrow \qquad c_2 = - \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \frac{\omega}{\omega_0}
}[/tex]
per cui in definitiva ottieni
[tex]\displaystyle{
x(t) = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0}\sin \omega_0 t \right)
}[/tex]
Nell'approssimazione \( \omega \approx \omega_0 \), cioè \( \omega / \omega_0 \approx 1\), usando le formule di prostaferesi ottieni
[tex]\displaystyle{
x(t) \approx \frac{F_0}{m} \frac{\sin ( \epsilon t )}{\epsilon} \cos ( \omega_0 t )
}[/tex]
che è tanto più vera quanto più \( \epsilon \) è piccolo.
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
1) \( \omega \neq \omega_0 \)
La teoria ci insegna che per risolvere un'equazione differenziale non omogenea bisogna trovare: una soluzione dell'omogenea, una soluzione particolare (cioè una soluzione dell'equazione non omogenea) e poi imporre le condizioni iniziali. Facciamolo.
L'omogenea associata è
[tex]\displaystyle{
\ddot x + \omega_0^2 x = 0
}[/tex]
la cui soluzione è data da
[tex]\displaystyle{
x_0(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t
}[/tex]
con \( c_1 \) e \( c_2 \) costanti da determinare con le condizioni iniziali.
Ora cerchiamo la soluzione particolare. Data la forma del termine noto possiamo provare con una soluzione del tipo
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = A \sin \omega t
}[/tex]
con \(A \) costante da determinare in modo tale che \(x_p(t)\) sia soluzione dell'equazione non omogenea. Per determinare \( A \) basta sostituire e ottieni
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
&\ddot{x}_p + m \omega_0^2 x_p = \frac{F_0}{m} \sin \omega t \\
&- A \omega^2 \sin \omega t + \omega_0^2 A \sin \omega t = \frac{F_0}{m} \sin \omega t \\
& A \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) \sin \omega t = \frac{F_0}{m} \sin \omega t
\end{split}
}[/tex]
siccome vogliamo che \(x_p(t) \) sia una soluzione particolare l'ultima relazione deve essere vera per ogni valore di \( t \). Quindi dobbiamo imporre che il coefficiente del seno sia lo stesso. Questo significa risolvere
[tex]\displaystyle{
A \left( \omega_0^2 - \omega^2 \right) = \frac{F_0}{m}
}[/tex]
cioè
[tex]\displaystyle{
A = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}
}[/tex]
quindi
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t
}[/tex]
da notare come quest'ultima sia mal definita se \( \omega = \omega_0 \).
A questo punto la soluzione generale è
[tex]\displaystyle{
x(t) = x_0(t) + x_p(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t + \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin \omega t
}[/tex]
restano solo da determinare le costanti. Per fare questo imponiamo le condizioni iniziali
[tex]\displaystyle{
x(0) = c_1 \cos 0 + c_2 \sin 0 + \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \sin 0 = 0 \qquad \rightarrow \qquad c_1 = 0
}[/tex]
e
[tex]\displaystyle{
\dot{x}(0) = c_2 \omega_0 \cos 0 + \frac{F_0}{m} \frac{\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos 0 = 0 \qquad \rightarrow \qquad c_2 = - \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \frac{\omega}{\omega_0}
}[/tex]
per cui in definitiva ottieni
[tex]\displaystyle{
x(t) = \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0}\sin \omega_0 t \right)
}[/tex]
Nell'approssimazione \( \omega \approx \omega_0 \), cioè \( \omega / \omega_0 \approx 1\), usando le formule di prostaferesi ottieni
[tex]\displaystyle{
x(t) \approx \frac{F_0}{m} \frac{\sin ( \epsilon t )}{\epsilon} \cos ( \omega_0 t )
}[/tex]
che è tanto più vera quanto più \( \epsilon \) è piccolo.
2) \( \omega = \omega_0 \)
Il problema di Cauchy diventa
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega_0 t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
Per l'omogenea, come prima, abbiamo
[tex]\displaystyle{
x_0(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t
}[/tex]
mentre per quella particolare dobbiamo provare con la soluzione
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = t \left( A \cos \omega_0 t + B \sin \omega_0 t \right)
}[/tex]
sostituendo quest'ultima nell'equazione differenziale non omogenea (il conto è un pelo più lungo di prima quindi ometto i passaggi intermedi) ottieniamo
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
&\ddot{x}_p + \omega_0^2 x_p = \frac{F_0}{m} \sin \omega_0 t \\
&2 \omega_0 \left( B \cos \omega_0 t - A \sin \omega_0 t \right) = \frac{F_0}{m} \sin \omega_0 t
\end{split}
}[/tex]
che si deve ridurre ad una identità, quindi
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
A = -\frac{F_0}{2 m \omega_0} \\
B = 0
\end{cases}
}[/tex]
La soluzione generale si scrive
[tex]\displaystyle{
x(t) = c_1 \sin \omega_0 t + c_2 \cos \omega_0 t -\frac{F_0}{2 m \omega_0} t \cos \omega_0 t
}[/tex]
imponendo le condizioni iniziali ottieni
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
c_1 &= 0 \\
c_2 &= -\frac{F_0}{2 m \omega_0^2}
\end{cases}
}[/tex]
e in conclusione
[tex]\displaystyle{
x(t) = \frac{F_0}{2 m \omega_0^2} \left( \sin \omega_0 t - \omega_0 t \cos \omega_0 t\right)
}[/tex]
Il problema di Cauchy diventa
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
m \ddot x + m \omega_0^2 x = F_0 \sin \omega_0 t \\
x(0)=0 \\
\dot x (0) = 0
\end{cases}
}[/tex]
Per l'omogenea, come prima, abbiamo
[tex]\displaystyle{
x_0(t) = c_1 \cos \omega_0 t + c_2 \sin \omega_0 t
}[/tex]
mentre per quella particolare dobbiamo provare con la soluzione
[tex]\displaystyle{
x_p(t) = t \left( A \cos \omega_0 t + B \sin \omega_0 t \right)
}[/tex]
sostituendo quest'ultima nell'equazione differenziale non omogenea (il conto è un pelo più lungo di prima quindi ometto i passaggi intermedi) ottieniamo
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
&\ddot{x}_p + \omega_0^2 x_p = \frac{F_0}{m} \sin \omega_0 t \\
&2 \omega_0 \left( B \cos \omega_0 t - A \sin \omega_0 t \right) = \frac{F_0}{m} \sin \omega_0 t
\end{split}
}[/tex]
che si deve ridurre ad una identità, quindi
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
A = -\frac{F_0}{2 m \omega_0} \\
B = 0
\end{cases}
}[/tex]
La soluzione generale si scrive
[tex]\displaystyle{
x(t) = c_1 \sin \omega_0 t + c_2 \cos \omega_0 t -\frac{F_0}{2 m \omega_0} t \cos \omega_0 t
}[/tex]
imponendo le condizioni iniziali ottieni
[tex]\displaystyle{
\begin{cases}
c_1 &= 0 \\
c_2 &= -\frac{F_0}{2 m \omega_0^2}
\end{cases}
}[/tex]
e in conclusione
[tex]\displaystyle{
x(t) = \frac{F_0}{2 m \omega_0^2} \left( \sin \omega_0 t - \omega_0 t \cos \omega_0 t\right)
}[/tex]
Una cosa carina da osservare è che in effetti nel limite per \( \omega \rightarrow \omega_0 \) la soluzione del punto 1) tende esattamente a quella del punto 2).
Infatti, posto \( \omega = \omega_0 + \delta \) ( quindi \( \omega \rightarrow \omega_0 \) equivale a \( \delta \rightarrow 0 \) ),
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
\lim_{\omega \rightarrow \omega_0 } \quad x_1(t) &= \lim_{\omega \rightarrow \omega_0 } \quad \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0}\sin \omega_0 t \right) = \frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{ \omega_0 \sin (\omega_0 +\delta) t - (\omega_0 + \delta) \sin \omega_0 t }{\omega_0^2 - (\omega_0+\delta)^2} = \\
&= \frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{ \omega_0 \sin (\omega_0 t) \cos(\delta t) + \omega_0 \cos(\omega_0 t) \sin (\delta t) - \omega_0 \sin \omega_0 t + \delta \sin \omega_0 t }{-\delta(\delta + 2\omega_0)} = \\
&= -\frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{1}{\delta + 2\omega_0} \left( - \omega_0 \sin (\omega_0 t) \frac{1 - \cos(\delta t)}{\delta} + \omega_0 \cos(\omega_0 t) \frac{\sin (\delta t)}{\delta} - \sin \omega_0 t \right) = \\
&= \frac{F_0}{2 m \omega_0^2} \left( \sin \omega_0 t - \omega_0 t \cos \omega_0 t\right) = x_2(t)
\end{split}
}[/tex]
Infatti, posto \( \omega = \omega_0 + \delta \) ( quindi \( \omega \rightarrow \omega_0 \) equivale a \( \delta \rightarrow 0 \) ),
[tex]\displaystyle{
\begin{split}
\lim_{\omega \rightarrow \omega_0 } \quad x_1(t) &= \lim_{\omega \rightarrow \omega_0 } \quad \frac{F_0}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} \left( \sin \omega t - \frac{\omega}{\omega_0}\sin \omega_0 t \right) = \frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{ \omega_0 \sin (\omega_0 +\delta) t - (\omega_0 + \delta) \sin \omega_0 t }{\omega_0^2 - (\omega_0+\delta)^2} = \\
&= \frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{ \omega_0 \sin (\omega_0 t) \cos(\delta t) + \omega_0 \cos(\omega_0 t) \sin (\delta t) - \omega_0 \sin \omega_0 t + \delta \sin \omega_0 t }{-\delta(\delta + 2\omega_0)} = \\
&= -\frac{F_0}{m \omega_0} \quad \lim_{\delta \rightarrow 0 } \quad \frac{1}{\delta + 2\omega_0} \left( - \omega_0 \sin (\omega_0 t) \frac{1 - \cos(\delta t)}{\delta} + \omega_0 \cos(\omega_0 t) \frac{\sin (\delta t)}{\delta} - \sin \omega_0 t \right) = \\
&= \frac{F_0}{2 m \omega_0^2} \left( \sin \omega_0 t - \omega_0 t \cos \omega_0 t\right) = x_2(t)
\end{split}
}[/tex]
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