Dinamica del corpo rigido
ciao, spero che potrete aiutarmi a risolvere questo esercizio.
Un disco omogeneo di raggio r e massa m rotola senza strisciare sul'asse x di un sistea di riferimento {0,x,y}. Una molla di costante elastica k ha un estremo vincolato nel centro del disco e l'altro estremo vincolato nell'origine.
a) Scrivere le equazioni cardinali.
b) Trovare le equazioni del moto e risolverle.
c) Trovare le reazioni vincolari.
d) determinare la posizione di equilibrio del disco usando il principio dei lavori virtuali.
Un disco omogeneo di raggio r e massa m rotola senza strisciare sul'asse x di un sistea di riferimento {0,x,y}. Una molla di costante elastica k ha un estremo vincolato nel centro del disco e l'altro estremo vincolato nell'origine.
a) Scrivere le equazioni cardinali.
b) Trovare le equazioni del moto e risolverle.
c) Trovare le reazioni vincolari.
d) determinare la posizione di equilibrio del disco usando il principio dei lavori virtuali.
Risposte
a) la prima equazione:
$(d \vec Q)/(dt)=R_n \hat j -mg \hat j-k(x \hat i + r \hat j) -R_t \hat i$ dove il baricentro ha coordinate $G-=(x,r)$
per la seconda:
$(d \vec L_G)/(dt)=-m/2 r ddot x$
$M^e=(H-G) ^^ R_t +(H-G) ^^ R_n$ e la molla?
$(H-G) ^^ R_n=0$
$(H-G) ^^ R_t=-r R_t \hat k$
$(d \vec Q)/(dt)=R_n \hat j -mg \hat j-k(x \hat i + r \hat j) -R_t \hat i$ dove il baricentro ha coordinate $G-=(x,r)$
per la seconda:
$(d \vec L_G)/(dt)=-m/2 r ddot x$
$M^e=(H-G) ^^ R_t +(H-G) ^^ R_n$ e la molla?
$(H-G) ^^ R_n=0$
$(H-G) ^^ R_t=-r R_t \hat k$
Attenzione che l'attrito non è sempre diretto verso le x negative...per esempio se la molla lo attrae dalle x positive verso l'origine, l'attrito sarà diretto in senso opposto, cioè dall'orgine verso le x positive...In sostanza dipende dal segno dell'accelerazione.
Inoltre la seconda io la scriverei rispetto al centro di massa, cosicchè ti rimane solo $vec_r^^A_s=I(d^2theta)/(dt^2)$, unito tutto al vincolo di puro rotolamento $v=r(d theta)/(dt)$.
Inoltre la seconda io la scriverei rispetto al centro di massa, cosicchè ti rimane solo $vec_r^^A_s=I(d^2theta)/(dt^2)$, unito tutto al vincolo di puro rotolamento $v=r(d theta)/(dt)$.
L'attrito a seconda che k sia positivo o negativo cambia verso. Non so in che altro modo interpretarlo.
Per la seconda equazione infatti ho scelto $G$.
Stavo scrivendo la risultante dei momenti $M^e$ per uguagliare $(d vec L_G)/(dt)=M_G^e$
Forse per la forza elastica il momento è $(G-G) ^^ F=0$? Come per la forza peso?
A me la seconda equazione esce: $-m/2 r \ddot x+ r \vec R_t$
Per la seconda equazione infatti ho scelto $G$.
Stavo scrivendo la risultante dei momenti $M^e$ per uguagliare $(d vec L_G)/(dt)=M_G^e$
Forse per la forza elastica il momento è $(G-G) ^^ F=0$? Come per la forza peso?
A me la seconda equazione esce: $-m/2 r \ddot x+ r \vec R_t$
sì sì ovvio:-) Il momento della forza elstica rispetto al centro di massa è nullo, infatti è un vettore applicato proprio al centro di massa, quindi r=0:-)
Grazie, ho bisogno di queste conferme altrimenti non so se faccio qualche stupidaggine! 
b) dalla prima equazione cardinale trovo:
$m \ddot x= - R_t -kx$
dalla seconda trovo $R_t=m/2 \ddot x$
Sostituisco e l'equazione del moto che ottengo è $3/2 m \ddot x +kx=0$ che è un'equazione differenziale, a me interessa che il risultato è giusto, poi risolverla è facile.
Se fino a qua è giusto vado avanti.
b) dalla prima equazione cardinale trovo:
$m \ddot x= - R_t -kx$
dalla seconda trovo $R_t=m/2 \ddot x$
Sostituisco e l'equazione del moto che ottengo è $3/2 m \ddot x +kx=0$ che è un'equazione differenziale, a me interessa che il risultato è giusto, poi risolverla è facile.
Se fino a qua è giusto vado avanti.
c) dalla prima equazione cardinale ho una reazione vincolare:
$R_n=mg+kr$
mentre $R_t=m/2 \ddot x$ dove poi a $\ddot x$ sostiuisco la derivata seconda della soluzione dell'equazione differenziale di prima.
d) Qua non so da dove cominciare, non capisco quali sono le forze attive! L'attrito, la forza peso, la forza elastica?
$\vec F_{elastica}=-k(x \hat i + r \hat j)$
$\vec F_{peso}=-mg \hat j$
$\vec F_{attr}=?$ attrito
$R_n=mg+kr$
mentre $R_t=m/2 \ddot x$ dove poi a $\ddot x$ sostiuisco la derivata seconda della soluzione dell'equazione differenziale di prima.
d) Qua non so da dove cominciare, non capisco quali sono le forze attive! L'attrito, la forza peso, la forza elastica?
$\vec F_{elastica}=-k(x \hat i + r \hat j)$
$\vec F_{peso}=-mg \hat j$
$\vec F_{attr}=?$ attrito
due cose: nel$(d^2x)/(dt^2)$ è implicita la sostituzionea$R(d^2theta)/(dt^2)$?
Purtroppo non ho mai visto fin ora il principio dei lavori virtuali quindi non lo conosco
Però se ti può aiutare si possono trovare i risultati attraverso il potenziale della meccanica lagrangiana, che però non considera la presenza dell'attrito. Ma penso che coò sia ininfluente rispetto alla richiesta del problema, in quanto la presenza dell'attrito non cambia la posizione dei massimi e minimi del potenziale lagrangiano.
Dunque $U=-1/2k(x^2+y^2)-mgR$ I punti stazionari sono dove $(-kx;-ky)=(0;0)$ che che è quindi l'origine. La matrice hessiana calcolata nell'origine è $((-k, 0),(0,-k))$ e si vede che la forma quadratica associata è definita negativa, perciò il punto è di massimo per il potenziale lagrangiano e l'unica posizione di equilibrio trovata quindi è di equilibrio stabile.
Purtroppo non ho mai visto fin ora il principio dei lavori virtuali quindi non lo conosco
Però se ti può aiutare si possono trovare i risultati attraverso il potenziale della meccanica lagrangiana, che però non considera la presenza dell'attrito. Ma penso che coò sia ininfluente rispetto alla richiesta del problema, in quanto la presenza dell'attrito non cambia la posizione dei massimi e minimi del potenziale lagrangiano.
Dunque $U=-1/2k(x^2+y^2)-mgR$ I punti stazionari sono dove $(-kx;-ky)=(0;0)$ che che è quindi l'origine. La matrice hessiana calcolata nell'origine è $((-k, 0),(0,-k))$ e si vede che la forma quadratica associata è definita negativa, perciò il punto è di massimo per il potenziale lagrangiano e l'unica posizione di equilibrio trovata quindi è di equilibrio stabile.
"antani":
due cose: nel$(d^2x)/(dt^2)$ è implicita la sostituzionea$R(d^2theta)/(dt^2)$?
Non ho capito a cosa ti riferisci? A qualcosa che ho scritto?
Cmq pasticciando un po' con il principio dei lavori virtuali la posizione di equilibrio che mi esce è per $x=0$, includendo l'attrito!
Domanda: nelle equazioni cardinali cambiava qualcosa se il punto di applicazione della molla invece che nel'origine fosse stato ad esempio in $(0,r)$ o $(0,r/2)$?
"antani":
due cose: nel$(d^2x)/(dt^2)$ è implicita la sostituzionea$R(d^2theta)/(dt^2)$?
Purtroppo non ho mai visto fin ora il principio dei lavori virtuali quindi non lo conosco
Però se ti può aiutare si possono trovare i risultati attraverso il potenziale della meccanica lagrangiana, che però non considera la presenza dell'attrito. Ma penso che coò sia ininfluente rispetto alla richiesta del problema, in quanto la presenza dell'attrito non cambia la posizione dei massimi e minimi del potenziale lagrangiano.
Dunque $U=-1/2k(x^2+y^2)-mgR$ I punti stazionari sono dove $(-kx;-ky)=(0;0)$ che che è quindi l'origine. La matrice hessiana calcolata nell'origine è $((-k, 0),(0,-k))$ e si vede che la forma quadratica associata è definita negativa, perciò il punto è di massimo per il potenziale lagrangiano e l'unica posizione di equilibrio trovata quindi è di equilibrio stabile.
Il sitema meccanico ha un solo grado di libertà, per cui va ricavata una sola derivata parziale rispetto all'unico parametro scelto per definire la configurazione del sistema.
Nell'espressione del potenziale che hai scritto si ricava, dalla cinematica, che x ed y non sono indipendenti quindi non puoi derivare rispetto ad entrambi.
La forza d'attrito non influisce nella determinazione delle configurazioni di equilibrio, dato che non compie lavoro: il punto di contatto tra disco e piano è istantaneamente fermo in ogni configurazione, per la definizione stessa di rotolamento puro.
d) devo risolvere $del L= \vec R * del G+ M_G * \vec \Psi =0$
$\Psi=- del theta * \hat k=- del x/r * \hat k$
$del G=del (G-O)= del (x \hat i +r \hat j)=?=del x \hat i +del r \hat j=???$
$del L= [R_n \hat j -mg \hat j -kx \hat i -kr \hat j -R_T \hat i]del G+ (-r R_T)*(- del x/r * \hat k)=0$
$R_n \hat j *del G=???=R_n \hat j *(del x \hat i +del r \hat j)=?$
Non riesco a capire come si fanno questi calcoli.
$\Psi=- del theta * \hat k=- del x/r * \hat k$
$del G=del (G-O)= del (x \hat i +r \hat j)=?=del x \hat i +del r \hat j=???$
$del L= [R_n \hat j -mg \hat j -kx \hat i -kr \hat j -R_T \hat i]del G+ (-r R_T)*(- del x/r * \hat k)=0$
$R_n \hat j *del G=???=R_n \hat j *(del x \hat i +del r \hat j)=?$
Non riesco a capire come si fanno questi calcoli.
"okkhiblu":
d) devo risolvere $del L= \vec R * del G+ M_G * \vec \Psi =0$
$\Psi=- del theta * \hat k=- del x/r * \hat k$
$del G=del (G-O)= del (x \hat i +r \hat j)=?=del x \hat i +del r \hat j=???$
$del L= [R_n \hat j -mg \hat j -kx \hat i -kr \hat j -R_T \hat i]del G+ (-r R_T)*(- del x/r * \hat k)=0$
$R_n \hat j *del G=???=R_n \hat j *(del x \hat i +del r \hat j)=?$
Non riesco a capire come si fanno questi calcoli.
Stai facendo un po' di confusione: la forza d'attrito non compie lavoro in questo sistema, il punto del disco in cui è applicata, cioè quello di contatto tra il disco e il piano, non il punto $G$, ha velocità nulla, visto che il rotolamento è puro.
L'unica forza che compie lavoro, come puoi verificare, è quella elastica della molla.
Quindi devo fare $del L=\vec F_{elastica} del G=(-k \hat i -kr \hat j)del G$
può essere che $del G=delx \hat i$ perchè lo spostamento è solo lungo l'asse $\vec x$?
Allora ho $(-k \hat i -kr \hat j)del x \hat i=(-k \hat i)del x \hat i+(-kr \hat j)del x \hat i$ e poi?
può essere che $del G=delx \hat i$ perchè lo spostamento è solo lungo l'asse $\vec x$?
Allora ho $(-k \hat i -kr \hat j)del x \hat i=(-k \hat i)del x \hat i+(-kr \hat j)del x \hat i$ e poi?
Ho un altro dubbo che non riguarda questo problema:
L'energia cinetica di un corpo che si muove su un piano è dato dall'enegia cinetica di traslazione più l'energia cinetica di rotazione. Se ad esempio ho un'asta con un estremo fisso, questa può solo ruotare attorno a questo estremo, quindi l'enegia cinetica dell'asta è data solamente dall'energia cinetica di rotazione?
L'energia cinetica di un corpo che si muove su un piano è dato dall'enegia cinetica di traslazione più l'energia cinetica di rotazione. Se ad esempio ho un'asta con un estremo fisso, questa può solo ruotare attorno a questo estremo, quindi l'enegia cinetica dell'asta è data solamente dall'energia cinetica di rotazione?
"okkhiblu":
Quindi devo fare $del L=\vec F_{elastica} del G=(-k \hat i -kr \hat j)del G$
può essere che $del G=delx \hat i$ perchè lo spostamento è solo lungo l'asse $\vec x$?
Allora ho $(-k \hat i -kr \hat j)del x \hat i=(-k \hat i)del x \hat i+(-kr \hat j)del x \hat i$ e poi?
C'è da fare un prodotto scalare tra due vettori
"okkhiblu":
Ho un altro dubbo che non riguarda questo problema:
L'energia cinetica di un corpo che si muove su un piano è dato dall'enegia cinetica di traslazione più l'energia cinetica di rotazione. Se ad esempio ho un'asta con un estremo fisso, questa può solo ruotare attorno a questo estremo, quindi l'enegia cinetica dell'asta è data solamente dall'energia cinetica di rotazione?
Può essere scritta come energia cinetica di rotazione attorno al punto fisso, oppure scelta una cosìdetta terna di Koenig, centrata nel centro di massa e che non ruota rispetto al sistema di riferimento fisso, come energia di traslazione e di rotazione attorno al centro di massa, il risultato ottenuto è lo stesso.
Se $O$ è il punto fisso dell'asta (l'estremo), $E_c=1/2 \bar w I_o \bar w$ con $I_o=m*l^2/3$
Allora ho $(-kx \hat i -kr \hat j)del x \hat i=(-kx \hat i)del x \hat i+(-kr \hat j)del x \hat i=-kx \del x -kr*0$ può essere?
In generale come faccio a capire quali sono le forze attive che agiscono sul sistema? La forza peso e qualla d'attrito non lo sono mai?
In generale come faccio a capire quali sono le forze attive che agiscono sul sistema? La forza peso e qualla d'attrito non lo sono mai?
"okkhiblu":
Se $O$ è il punto fisso dell'asta (l'estremo), $E_c=1/2 \bar w I_o \bar w$ con $I_o=m*l^2/3$
Non ho controllato il calcolo del momento di inerzia, l'energia cinetica comunque si può ricavare in questo modo.
Un altro modo per ricavare lo stesso valore sarebbe stato $E_c=1/2mv_g^2+1/2I_(g)omega^2$, con $I_g$ momento di inerzia calcolato rispetto ad un asse parallelo al vettore $omega$ e passante per il centro di massa.
Grazie, mi stai aiutando molto!
Infatti ho parecchi dubbi su questi argomenti!
E' giusto $del L=-kx \del x$?
Infatti ho parecchi dubbi su questi argomenti!
E' giusto $del L=-kx \del x$?
"okkhiblu":
Allora ho $(-kx \hat i -kr \hat j)del x \hat i=(-kx \hat i)del x \hat i+(-kr \hat j)del x \hat i=-kx \del x -kr*0$ può essere?
In generale come faccio a capire quali sono le forze attive che agiscono sul sistema? La forza peso e qualla d'attrito non lo sono mai?
Per capire quali sono le forze che compiono lavoro, bisogna applicare la definizione di lavoro (infinitesimo) prodotto da una forza, a tutte le forze (anche quelle interne) che agiscono nel sistema meccanico.
$deltaL=vecF*dP$ cioè il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento infinitesimo del punto (materiale, non geometrico) su cui è applicata.
Per esempio nel caso del disco con rotolamento puro su un piano la forza d'attrito non compie lavoro perchè la velocità del punto del disco che si trova istantaneamente a contatto con il piano è nulla, per la definizione stessa di rotolamento puro. (il punto del disco a contatto con il piano non è da confondere con il punto di contatto tra disco e piano come punto geometrico, che ha la stessa velocità del centro del disco).
Se il disco strisciasse con attrito sul piano il lavoro prodotto dalla forza d'attrito non sarebbe nullo.
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