Dinamica dei sistemi di punti materiali.
Ho difficoltà nel comprendere l'estensione delle leggi fondamentali della dinamica del punto materiale ai sistemi.
Esempio 1:
Consideriamo un sistema formato da due punti materiali. Supponiamo che le due forze agenti sui due costituiscano una coppia di forze di braccio non nullo. Il risultante delle forze agenti sul sistema è nullo. Il momento risultante non lo è! Perchè per calcolare il momento risultante si sommano i momenti delle due forze calcolati separatamente ottenendo così un risultato diverso da quello che si otterrebbe calcolando il momento del risultante delle forze (che darebbe come risultato un momento nullo)?
Esempio 2:
Stesso sistema ma stavolta la coppia di forze ha braccio nullo. Supponendo che per effetto delle due forze (costanti) i due punti si muovano di un tratto "s", perchè il lavoro complessivo delle due forze si ricava sommando il lavoro delle singole forze, ottenendo 2Fs, invece che calcolando il lavoro del risultante delle forze (che darebbe lavoro uguale a 0)?
Grazie in anticipo!
Esempio 1:
Consideriamo un sistema formato da due punti materiali. Supponiamo che le due forze agenti sui due costituiscano una coppia di forze di braccio non nullo. Il risultante delle forze agenti sul sistema è nullo. Il momento risultante non lo è! Perchè per calcolare il momento risultante si sommano i momenti delle due forze calcolati separatamente ottenendo così un risultato diverso da quello che si otterrebbe calcolando il momento del risultante delle forze (che darebbe come risultato un momento nullo)?
Esempio 2:
Stesso sistema ma stavolta la coppia di forze ha braccio nullo. Supponendo che per effetto delle due forze (costanti) i due punti si muovano di un tratto "s", perchè il lavoro complessivo delle due forze si ricava sommando il lavoro delle singole forze, ottenendo 2Fs, invece che calcolando il lavoro del risultante delle forze (che darebbe lavoro uguale a 0)?
Grazie in anticipo!
Risposte
"TS778LB":
Esempio 1:
Consideriamo un sistema formato da due punti materiali. Supponiamo che le due forze agenti sui due costituiscano una coppia di forze di braccio non nullo. Il risultante delle forze agenti sul sistema è nullo. Il momento risultante non lo è! Perchè per calcolare il momento risultante si sommano i momenti delle due forze calcolati separatamente ottenendo così un risultato diverso da quello che si otterrebbe calcolando il momento del risultante delle forze (che darebbe come risultato un momento nullo)?
Per calcolare la risultante delle forze si sommano le forze.
Per calcolare la risultante dei momenti si sommano i momenti.
Che c'è di strano?
"TS778LB":
Esempio 2:
Stesso sistema ma stavolta la coppia di forze ha braccio nullo.
Supponendo che per effetto delle due forze (costanti) i due punti si muovano di un tratto "s", perchè il lavoro complessivo delle due forze si ricava sommando il lavoro delle singole forze, ottenendo 2Fs, invece che calcolando il lavoro del risultante delle forze (che darebbe lavoro uguale a 0)?
Qui non ti capisco. Intendi che sono forze uguali e opposte applicate allo stesso punto? Se è così, trovi lavoro zero in entrambi i modi. E comunque, "per effetto delle due forze" non si vede perchè i punti dovrebbero muoversi (a meno che non fossero già in moto)
in altri termini mi interessa sapere perchè, dato un sistema di due (o in generale n) punti materiali, la relazione:
$ \sum_{i=1}^2 \vecm_i=\vecm_1(\vecF_1)+\vecm_2(\vecF_1) $
non è equivalente a:
$ \vecm(\vecF_1+\vecF_2) $
e perchè la relazione:
$ \sum_{i=1}^2 L_i=L_1(\vecF_1)+L_2(\vecF_2) $
non è equivalente a:
$ L(\vecF_1+vecF_2) $
$ \sum_{i=1}^2 \vecm_i=\vecm_1(\vecF_1)+\vecm_2(\vecF_1) $
non è equivalente a:
$ \vecm(\vecF_1+\vecF_2) $
e perchè la relazione:
$ \sum_{i=1}^2 L_i=L_1(\vecF_1)+L_2(\vecF_2) $
non è equivalente a:
$ L(\vecF_1+vecF_2) $
Cosa vorrebbero dire nella prima relazione quei vettori m? E com'è che ci sono delle F da una parte e non dall'altra? Poco chiaro...
Potresti, in generale, commentare un po' quello che hai scritto? Le sole formule sono un po' mute...
Potresti, in generale, commentare un po' quello che hai scritto? Le sole formule sono un po' mute...
Sistema materiale formato da due punti $ P_1 $ E $ P_2 $. Su $ P_1 $ agisce la forza $ \vecF_1 $, su $ P_2 $ agisce la forza $ \vecF_2 $. Nella prima relazione è riportato che il momento risultante del sistema è espresso dalla somma dei momenti delle due forze. Mi chiedo a questo punto se tale relazione è equivalente al momento della risultante delle forze esprimibile come $ \vecF_1+\vecF_2 $. Allo stesso modo il lavoro risultante fatto sul sistema è definito come somma dei lavori fatti da ciascuna forza presa singolarmente e mi chiedo se tale relazione è equivalente al lavoro compiuto dalla risultante delle forze $ \vecF_1+\vecF_2 $
Il momento di una forza F applicata ad un punto P rispetto al polo O è definito come
$vecM = vec(P-O) times vecF$
Per sommarne due dovresti scrivere
$vecM_1 + vecM_2 = vec(P_1-O) times vecF_1 + vec(P_2-O) times vecF_2$
e, come vedi, non puoi raccogliere $vecF_1 + vecF_2$. Che vettore $vecP-O$ potresti usare?
Analogamente per il lavoro. Se lo spostamento è unico, $vecs_1 = vecs_2 = vecs$ allora lo puoi raccogliere ed esprimere il lavoro come $(vecF_1 + vecF_2)*vecs$, altrimenti no
$vecM = vec(P-O) times vecF$
Per sommarne due dovresti scrivere
$vecM_1 + vecM_2 = vec(P_1-O) times vecF_1 + vec(P_2-O) times vecF_2$
e, come vedi, non puoi raccogliere $vecF_1 + vecF_2$. Che vettore $vecP-O$ potresti usare?
Analogamente per il lavoro. Se lo spostamento è unico, $vecs_1 = vecs_2 = vecs$ allora lo puoi raccogliere ed esprimere il lavoro come $(vecF_1 + vecF_2)*vecs$, altrimenti no
Ora mi è tutto chiaro. Grazie! Stando a queste delucidazioni potrei concludere che l'unica configurazione che verifica le condizioni che permettono il "raccoglimento" è che i due punti coincidano passando così alla trattazione del singolo punto materiale per il quale la somma dei momenti di più forze agenti su esso è proprio il momento del risultante delle forze ed il lavoro compiuto da più forze agenti su esso è il lavoro del risultante delle forze.
"TS778LB":
potrei concludere che l'unica configurazione che verifica le condizioni che permettono il "raccoglimento" è che i due punti coincidano passando così alla trattazione del singolo punto materiale
Forse questo è troppo stringente, ma non saprei formalizzare le condizioni minime
La questione sta nel fatto che le forze (così come le velocità, il momento angolare) non sono vettori (liberi), ma sono vettori applicati (la velocità angolare invece è un vettore libero!), ossia coppie $(P, vecv)$ formate dal punto di applicazione P e dal vettore $vecv$ in questione. Quindi non si possono fare le stesse cose che si fanno con gli usuali vettori, ma per sommare o trasformare un sistema di vettori applicati in uno equivalente bisogna rispettare determinate regole (detto in parole povere: "due sistemi di vettori applicati sono equivalenti se hanno la stessa risultante e lo stesso momento risultante", quindi nel caso delle forze non puoi sostituire un sistema di forze con la sua risultante e basta). La teoria dei vettori applicati rappresenta un importante capitolo della meccanica, ma se sei ancora agli inizi è troppo per te.
No, ci sono vari teoremi a riguardo, per esempio quando le forze sono concorrenti in un punto allora il sistema è equivalenti alla sola risultante applicata nel punto di concorrenza (teorema di Varignon), similmente se le forze sono parallele il sistema è equivalente alla sola risultante applicata nel baricentro/centrodimassa (per esempio la forza peso è applicata nel centro di massa per questo motivo).
Un punto di vista più moderno è quella della Teoria delle Viti (Screw Theory), in cui si mostra che molte equazioni fondamentali della dinamica hanno una struttura molto simile (molto usate in robotica e dinamica multy-body, in cui i corpi di cui si studia la dinamica sono numerosi)
Stando a queste delucidazioni potrei concludere che l'unica configurazione che verifica le condizioni che permettono il "raccoglimento" è che i due punti coincidano
No, ci sono vari teoremi a riguardo, per esempio quando le forze sono concorrenti in un punto allora il sistema è equivalenti alla sola risultante applicata nel punto di concorrenza (teorema di Varignon), similmente se le forze sono parallele il sistema è equivalente alla sola risultante applicata nel baricentro/centrodimassa (per esempio la forza peso è applicata nel centro di massa per questo motivo).
Un punto di vista più moderno è quella della Teoria delle Viti (Screw Theory), in cui si mostra che molte equazioni fondamentali della dinamica hanno una struttura molto simile (molto usate in robotica e dinamica multy-body, in cui i corpi di cui si studia la dinamica sono numerosi)
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