Dinamica dei sistemi: centro di massa, massa volumica
Allora il centro di massa è un punto geometrico $C$ definito come segue:
$\vec r _C = (\sum_{k=1}^n m_k \vec r_k) / (\sum_{k=1}^n m_k) $ ed ovviamente per trovare le sue cordinate bisogna proiettare questo vettore lungo i versori.
Ora vi cito una parte del libro: Nel caso che il sistema materiale sia costituito da una distribuzione continua di massa
caratterizzata da una massa volumica $\rho = (dm ) / (dV)$ abbiamo:
$\vec r_C = (\int_m\ \vec \r\ \dm )/( \int_m\ \dm) =( \int_V\ \vec \r\ \rho\ \dV) /( \int_V\ \rho \dV)$
Io non ho capito cosa sia di preciso la massa volumica. Simile alla densità? perchè si parla di derivata della massa e del volume? cosa si intende per distribuzione continua di massa? (distribuzione omogenea della massa?) Quando viene definito di nuovo il centro di massa, al pedice degli integrali ci sono prima la massa poi il volume perchè? e cosa stanno a rappresentare?
Grazie mille
$\vec r _C = (\sum_{k=1}^n m_k \vec r_k) / (\sum_{k=1}^n m_k) $ ed ovviamente per trovare le sue cordinate bisogna proiettare questo vettore lungo i versori.
Ora vi cito una parte del libro: Nel caso che il sistema materiale sia costituito da una distribuzione continua di massa
caratterizzata da una massa volumica $\rho = (dm ) / (dV)$ abbiamo:
$\vec r_C = (\int_m\ \vec \r\ \dm )/( \int_m\ \dm) =( \int_V\ \vec \r\ \rho\ \dV) /( \int_V\ \rho \dV)$
Io non ho capito cosa sia di preciso la massa volumica. Simile alla densità? perchè si parla di derivata della massa e del volume? cosa si intende per distribuzione continua di massa? (distribuzione omogenea della massa?) Quando viene definito di nuovo il centro di massa, al pedice degli integrali ci sono prima la massa poi il volume perchè? e cosa stanno a rappresentare?
Grazie mille
Risposte
Quel $\rho$ che vedi è proprio la distribuzione della massa nel volume, ovvero la densità. Si parla di derivata della massa rispetto al volume perché la densità è un concetto simile alle altre grandezze fisiche; in altre parole hai che $\rho_{m}=(\Deltam)/(\DeltaV)$ dal quale ottieni la densità puntuale facendo tendere $\DeltaV\rightarrow0$, ovvero $\rho=(dm)/(dV)$.
Una distribuzione continua di massa è un altro modo per chiamare un corpo rigido, ovvero un corpo formato da un sistema di punti materiali che hanno distanza tra loro fissa (da ciò l'aggettivo "rigido").
I pedici degli integrali stanno solo ad indicare che la somma integrale definita che vai a calcolare si estende per tutta la massa ($m$) e per tutto il volume ($V$)
Una distribuzione continua di massa è un altro modo per chiamare un corpo rigido, ovvero un corpo formato da un sistema di punti materiali che hanno distanza tra loro fissa (da ciò l'aggettivo "rigido").
I pedici degli integrali stanno solo ad indicare che la somma integrale definita che vai a calcolare si estende per tutta la massa ($m$) e per tutto il volume ($V$)
Una distribuzione continua di massa è un altro modo per chiamare un corpo rigido, ovvero un corpo formato da un sistema di punti materiali che hanno distanza tra loro fissa (da ciò l'aggettivo "rigido").
No , robe . Ci sono distribuzioni "continue" di massa che non costituiscono un corpo rigido : pensa ad un pezzo di plastilina , alla pasta dentifricia , a una massa d'acqua ...( ho messo "continue " tra virgolette , perchè bisogna essere d'accordo su che cosa intendiamo per "continuità" , quando parliamo di un corpo materiale : non è come la continuità che si studia in Analisi matematica , non puoi scendere per esempio a livello molecolare dove la materia si presenta sicuramente discontinua , nel considerare il volume elementare $dV$ ).
Grazie 
Siccome staimo parlando di dinamica dei sistemi volevo porre questa domanda:
Se consideriamo un sistema materiale fatto di un numero n di punti, la seconda legge della dinamica dice che la somma delle forze interne e delle forze esterne è uguale alla massa per l'accelerazione. Il libro la scrive così:
$\sum_{k=1}^n m_k\ \vec a_k = \sum_{k=1}^n \vec F_k^(e) + \sum_{k=1\ l \ne }^n * \sum_{k=1}^n \vec F_{kl}^((i))$
Non capisco il secondo pezzo del secondo membro...
Siccome staimo parlando di dinamica dei sistemi volevo porre questa domanda:
Se consideriamo un sistema materiale fatto di un numero n di punti, la seconda legge della dinamica dice che la somma delle forze interne e delle forze esterne è uguale alla massa per l'accelerazione. Il libro la scrive così:
$\sum_{k=1}^n m_k\ \vec a_k = \sum_{k=1}^n \vec F_k^(e) + \sum_{k=1\ l \ne }^n * \sum_{k=1}^n \vec F_{kl}^((i))$
Non capisco il secondo pezzo del secondo membro...
@navigatore: quindi bisogna eccettuare il caso microscopico?
@smaug: intendi $m\vec{a}_{CM}=sum_{i}m_{i}\vec{a}_{i}=(sum_{i}\vec{F}_{i}^(est)+sum_{i}\vec{F}_{i}^(INT))$ ?
@smaug: intendi $m\vec{a}_{CM}=sum_{i}m_{i}\vec{a}_{i}=(sum_{i}\vec{F}_{i}^(est)+sum_{i}\vec{F}_{i}^(INT))$ ?
credo di si, però non capisco la formula che ho scritto, che si trova sul libro
quella $l$ sotto il simbolo di sommatoria è diversa da cosa?
il libro sotto quelle due sommatorie scrive proprio così:
$k = 1\ \l \ne k=1$
$k = 1\ \l \ne k=1$
robe ,
non è che "bisogna eccettuare il caso microscopico" , detto così è un pò vago.
La definizione di "continuità" nel caso di un corpo materiale non è come quella che si dà in analisi matematica , ma , come dire , è un pò convenzionale.
Per esempio, in un fluido , ( seguo pari pari i concetti riportati da Citrini-Noseda nel testo di Idraulica) , non puoi scendere a livello molecolare per definire una grandezza in un punto ( es densità , velocità , pressione ,ecc. ) , poichè essa risulterebbe variabile con discontinuità da punto a punto e da istante a istante , in generale . Si può però considerare un volume "elementare" , attorno ad un punto P , che contenga un insieme "non troppo piccolo" di molecole , con centro di massa in P . E allora si possono definire le grandezze dette ,per quell'insieme di molecole . Tenuto conto che il volume di questo insieme può essere tenuto nettamente inferiore all'ordine di grandezza delle dimensioni che possono interessare nello studio della meccanica dei fluidi , si procede ammettendo che il fluido sia , appunto , "continuo" . La meccanica dei sistemi continui è stata fondata da Eulero sulla base di questa schematizzazione .
non è che "bisogna eccettuare il caso microscopico" , detto così è un pò vago.
La definizione di "continuità" nel caso di un corpo materiale non è come quella che si dà in analisi matematica , ma , come dire , è un pò convenzionale.
Per esempio, in un fluido , ( seguo pari pari i concetti riportati da Citrini-Noseda nel testo di Idraulica) , non puoi scendere a livello molecolare per definire una grandezza in un punto ( es densità , velocità , pressione ,ecc. ) , poichè essa risulterebbe variabile con discontinuità da punto a punto e da istante a istante , in generale . Si può però considerare un volume "elementare" , attorno ad un punto P , che contenga un insieme "non troppo piccolo" di molecole , con centro di massa in P . E allora si possono definire le grandezze dette ,per quell'insieme di molecole . Tenuto conto che il volume di questo insieme può essere tenuto nettamente inferiore all'ordine di grandezza delle dimensioni che possono interessare nello studio della meccanica dei fluidi , si procede ammettendo che il fluido sia , appunto , "continuo" . La meccanica dei sistemi continui è stata fondata da Eulero sulla base di questa schematizzazione .
"smaug":
$\sum_{k=1}^n m_k\ \vec a_k = \sum_{k=1}^n \vec F_k^(e) + \sum_{k \ne l =1 }^n * \sum_{l=1}^n \vec F_{kl}^((i))$
Non capisco il secondo pezzo del secondo membro...
Il secondo pezzo (ho corretto nella citazione un indice che mancava e l'indice della sommatoria interna finale) rappresenta la somma delle forze (interne) che la massa $k$ scambia con tutte le masse che la circondano.
Insomma per ogni massa avremo:
$m_1 a_1= F_1^{(e)} + F_(12)^{(i)} + F_(13)^{(i)}+... +F_(1n)^{(i)}$
$m_2 a_2= F_2^{(e)} + F_(21)^{(i)} + F_(23)^{(i)}+... +F_(2n)^{(i)}$
$....$
$m_n a_n= F_n^{(e)} + F_(n1)^{(i)} + F_(n2)^{(i)}+...+F_(n n-1)^{(i)}$
Sommando membro a membro ottieni quella formula (per il terzo principio poi nella formula finale la sommatoria delle forza interne è nulla). Ti è chiaro ora?
ecco c'era qualcosa che non andava con quell'indice di sommatoria.. beh non poteva che essere la somma delle forze interne che, per il terzo principio della dinamica, è nulla
"robe92":
ecco c'era qualcosa che non andava con quell'indice di sommatoria.. beh non poteva che essere la somma delle forze interne che, per il terzo principio della dinamica, è nulla
Si infatti $\sum_{k=1}^n m_k \vec \a_k = \sum_{k=1}^n \vec \F_k^(e)$
"Faussone":
[quote="smaug"]
$...=...+ \sum_{k \ne l =1 }^n * \sum_{l=1}^n \vec F_{kl}^((i))$
Ti è chiaro ora?[/quote]
Concettualmente mi è chiaro, l'ho capito. Basta scrivere per n punti l'equazione fondamentale della dinamica, e sommarle membro a membro. Ed è chiaro che la somma delle forze interne sia nulla poichè vale il terzo principio della dinamica.
Quello di cui non sono sicuro, sarà banale, ma è il formalismo della sommatoria, nel senso che siccome non voglio imparare le formule a memoria, vorrei capire bene come usare quegl'indici...la questione è che io ho due punti k ed l e la somma delle forze interne sarebbe la forza di interazione che k imprime su l e viceversa? Ma in generale e formalmente come si scrive?
Grazie
Se alla fine è solo una questione di formalismo, basta capirsi con i simboli, qui quello che crea confusione è il fatto che gli indici $k$ e $l$ devono esssere diversi, io quella condizione la scriverei in modo leggermente diverso e più chiaro (almeno per me, non so se esista una maniera corretta e universale per quello). Ragionerei così.
Scriviamo prima per ogni massa la sommatoria.
$m_1 a_1= F_1^{(e)} + F_(12)^{(i)} + F_(13)^{(i)}+... +F_(1n)^{(i)}$
$m_2 a_2= F_2^{(e)} + F_(21)^{(i)} + F_(23)^{(i)}+... +F_(2n)^{(i)}$
$....$
$m_n a_n= F_n^{(e)} + F_(n1)^{(i)} + F_(n2)^{(i)}+...+F_(n n-1)^{(i)}$
Introducendo la sommatoria sarebbe:
$m_1 a_1= F_1^{(e)} + sum_{l=1, l \ne 1 }^n F_(1l)^{(i)}$
$m_2 a_2= F_2^{(e)} + sum_{l=1, l \ne 2 }^n F_(2l)^{(i)}$
$...$
$m_n a_n= F_n^{(e)} + sum_{l=1, l \ne n }^n F_(nl)^{(i)}$
Sommando poi le equazioni si otterrebbe (qui si usa un indice che chiamiamo $k$ diverso per non creare confusione con l'indice $l$):
$sum_{k=1}^n m_k a_k= sum_{k=1}^n F_k^{(e)} + sum_{k=1}^{n} sum_{l=1, l \ne k }^{n} F_(kl)^{(i)}$
Scriviamo prima per ogni massa la sommatoria.
$m_1 a_1= F_1^{(e)} + F_(12)^{(i)} + F_(13)^{(i)}+... +F_(1n)^{(i)}$
$m_2 a_2= F_2^{(e)} + F_(21)^{(i)} + F_(23)^{(i)}+... +F_(2n)^{(i)}$
$....$
$m_n a_n= F_n^{(e)} + F_(n1)^{(i)} + F_(n2)^{(i)}+...+F_(n n-1)^{(i)}$
Introducendo la sommatoria sarebbe:
$m_1 a_1= F_1^{(e)} + sum_{l=1, l \ne 1 }^n F_(1l)^{(i)}$
$m_2 a_2= F_2^{(e)} + sum_{l=1, l \ne 2 }^n F_(2l)^{(i)}$
$...$
$m_n a_n= F_n^{(e)} + sum_{l=1, l \ne n }^n F_(nl)^{(i)}$
Sommando poi le equazioni si otterrebbe (qui si usa un indice che chiamiamo $k$ diverso per non creare confusione con l'indice $l$):
$sum_{k=1}^n m_k a_k= sum_{k=1}^n F_k^{(e)} + sum_{k=1}^{n} sum_{l=1, l \ne k }^{n} F_(kl)^{(i)}$
Grazie mille ora ho capito
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