Dinamica corpo rigido: cilindro su lastra

[Rollersitch]

Ragazzi, avete un suggerimento per questo esercizio di Fisica I? E' preso da un vecchio compito del prof:
Un cilindro pieno di massa M = 3Kg e raggio R è in quiete su una lastra di massa m=10 kg che a sua volta poggia su un piano orizzontale privo di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra lastra e cilindro è μs = 0.4. Alla lastra viene applicata una forza orizzontale verso sinistra pari a 2,2 N ed il cilindro rotola senza strisciare
rispetto alla lastra. Calcolare:
a) l’accelerazione del cilindro e della lastra;
b)il valore della forza di attrito;
c) il valore massimo della forza F che può essere applicata alla piastra per cui il moto del cilindro risulti ancora di rotolamento rispetto alla lastra.

Io ho fatto i diagrammi di corpo libero; per la lastra è banale, è un pnto materiale. Se la forza d'attrito sulla lastra è verso destra, quella sul cilindro è verso sinistra, e dovrebbe essere quella che con il momento rispetto al c.m. produce il rotolamento.
Ora credo intuitivamente che ci sia un valore per F che tiene il cilindro fermo, o meglio che si muove tutt'uno con la lastra. Poi un valore maggiore di F che lo fa rotolare ma mantiene il centro di massa fermo mentre la lastra gli scorre sotto, e infine un valore oltre il quale la lastra accelera verso sinistra e il cilindro rotola verso destra.

In ogni caso mi sono affidato alle equazioni.
Per il cilindro, lungo l'asse x
$F_a = M a_(cm)$
Per la rotazione
$F_a*R = I * \alpha$
Poichè il cilindro rotola senza strisciare, $\alpha = a_(cm )/ R$, e sostituendo a $I = 1/2 * M * R²$ ottengo $F_a = 1/2 * M * a_(cm)$
Dove sbaglio? com'è possibile che un'equazione mi dia F_att uguale ad M*a_cm e un'altra l'esatta metà ??

Grazie