Dinamica corpo rigido
Un’asta di lunghezza L = 2 m e massa M = 4 kg ha il centro
fissato ad un perno che consente la rotazione libera dell’asta stessa. Due
molle ideali identiche, aventi costante elastica k = 150 N/m, sono fissate in
posizione verticale, con il primo estremo attaccato al pavimento ed il secondo
fissato all’estremità dell’asta. Ad un certo istante, uno dei due estremi dell’asta
viene abbassato, comprimendo la corrispondente molla di una lunghezza
pari a x = 1 cm . Lasciata libera di muoversi, l’asta comincia a compiere
piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.
Dovrei calcolare il periodo....allora cerco di impostare scrivendo l'eq.cardinale per piccole oscillazioni
$Ialpha=(Mg(L/4)+kx(L/2))theta$
Primo dubbio :
Ho diviso l'asta in due parti in modo tale per cui il perno centrale diventi un perno fisso all'estremità di una sbarra di lunghezza L/2 e le forze in gioco sono il peso di questa asta e la forza elastica con i rispettivi bracci L/4 e L/2 inoltre ho calcolato I rispetto al perno : $I=1/12M(L/2)^2+M(L/4)^2$.
è corretto?
Secondo dubbio : Il risultato del periodo è pari a 0,0419 s però con il mio ragionamento non ottengo questo risultato...
Quindi ho pensato che forse dovrei dividere per due la massa se considero metà asta....oppure mi sta sfuggendo qualcosa... ad esempio le forze agenti sull'asta sono 4? -->2 di peso e 2 di forza elastica?
Grazie per l'aiuto ragazzi.
fissato ad un perno che consente la rotazione libera dell’asta stessa. Due
molle ideali identiche, aventi costante elastica k = 150 N/m, sono fissate in
posizione verticale, con il primo estremo attaccato al pavimento ed il secondo
fissato all’estremità dell’asta. Ad un certo istante, uno dei due estremi dell’asta
viene abbassato, comprimendo la corrispondente molla di una lunghezza
pari a x = 1 cm . Lasciata libera di muoversi, l’asta comincia a compiere
piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio.
Dovrei calcolare il periodo....allora cerco di impostare scrivendo l'eq.cardinale per piccole oscillazioni
$Ialpha=(Mg(L/4)+kx(L/2))theta$
Primo dubbio :
Ho diviso l'asta in due parti in modo tale per cui il perno centrale diventi un perno fisso all'estremità di una sbarra di lunghezza L/2 e le forze in gioco sono il peso di questa asta e la forza elastica con i rispettivi bracci L/4 e L/2 inoltre ho calcolato I rispetto al perno : $I=1/12M(L/2)^2+M(L/4)^2$.
è corretto?
Secondo dubbio : Il risultato del periodo è pari a 0,0419 s però con il mio ragionamento non ottengo questo risultato...
Quindi ho pensato che forse dovrei dividere per due la massa se considero metà asta....oppure mi sta sfuggendo qualcosa... ad esempio le forze agenti sull'asta sono 4? -->2 di peso e 2 di forza elastica?
Grazie per l'aiuto ragazzi.
Risposte
L'asta è imperniata nel suo centro di massa, sull'asta agiscono 4 forze: la forza peso, la reazione del perno e le due forze elastiche.e due forze elastiche spno uguali e contrarie, così come la forza peso e la reazione del perno, pertanto il cdm dell'asta non si muove, ma essa oscilla attorno al perno a causa dei momenti delle due forze elastiche rispetto al perno, mentre il momento della forza peso e della reazione vincolare è nullo. Quindi l'equazione del moto non è quella che hai scritto te, perchè il momento della forza peso è nullo.
Per quanto riguarda il momento d'inerzia va bene questo tipo di valutazione rispetto al CM(perno)?:
$I=1/12ML^2$ oppure andava bene quello che avevo indicato prima?
Per quanto riguarda la suddivisione della sbarra è corretto il ragionamento che avevo fatto?(Non devo dividere la massa per due?)
$I=1/12ML^2$ oppure andava bene quello che avevo indicato prima?
Per quanto riguarda la suddivisione della sbarra è corretto il ragionamento che avevo fatto?(Non devo dividere la massa per due?)
No, non è corretto dividere la sbarra in due, perchè la sbarra è una e una sola sulla quale agiscono 4 forze. Se te dividi la sbarra modifichi il sistema e non è detto che la soluzione venga uguale a quella in cui la sbarra è una sola.
Per quanto riguarda il momento d'inerzia, se calcolato rispetto al cdm della sbarra completa (ossia nel punto dove c'è il perno) vale $1/(12)ML^2$
Per quanto riguarda il momento d'inerzia, se calcolato rispetto al cdm della sbarra completa (ossia nel punto dove c'è il perno) vale $1/(12)ML^2$
ok allora :$Ialpha=2F_e(L/2)sintheta$
successivamente faccio le sostituzioni ed ottengo
$Ia=(L^2)/2k(x-x_0)$
alla fine ottengo 0,419 s potreste dirmi se il calcolo è corretto perché forse c'è stato un errore di battitura nella soluzione grazie
successivamente faccio le sostituzioni ed ottengo
$Ia=(L^2)/2k(x-x_0)$
alla fine ottengo 0,419 s potreste dirmi se il calcolo è corretto perché forse c'è stato un errore di battitura nella soluzione grazie
Per angolo $theta$ piccolo, si ha: $costheta=1$ e $sintheta=theta$
Il momento delle due forze elastiche rispetto al fulcro è: $-2FL/2costheta=-2FL/2=-FL$
Sapendo che $F=kL/2sintheta=kL/2theta$ si ha:
$Iddot(theta)=-kL^2/2theta$
$ddot(theta)=-kL^2/(2I)theta$
Questa è l'equazione di un moto armonico di pulsazione $omega=sqrt(kL^2/(2I)$ e quindi di periodo $T=2pi/(omega)$
Il momento delle due forze elastiche rispetto al fulcro è: $-2FL/2costheta=-2FL/2=-FL$
Sapendo che $F=kL/2sintheta=kL/2theta$ si ha:
$Iddot(theta)=-kL^2/2theta$
$ddot(theta)=-kL^2/(2I)theta$
Questa è l'equazione di un moto armonico di pulsazione $omega=sqrt(kL^2/(2I)$ e quindi di periodo $T=2pi/(omega)$
si alla fine ottengo proprio questo risultato.... comunque vi era un errore di battitura nella soluzione ho chiesto al prof.
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
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