Dimostrazioni delle equazioni di Maxwell
Buongiorno. All'orale, il mio Prof. di Fisica II, fa come 1° domanda sempre la solita: "Scrivimi le equazioni di Maxwell in caso stazionario e non, nel vuoto (senza materia) e nella materia, e poi dimostrami [e ne dice una]". Alla richiesta di scriverle, io risponderei nel modo seguente.
CASO STAZIONARIO NEL VUOTO
1) $div vecE_0=rho/epsilon_0$
2) $div vecB_0=0$
3) $vec(rot)vecE_0=0$
4) $vec(rot)vecB_0=mu_0vecJ$
CASO STAZIONARIO NELLA MATERIA
1) $div vecD=rho$
2) $div vecB=0$
3) $vec(rot)vecE=0$
4) $vec(rot)vecH=vecJ$
in cui $vecD=epsilon_0vecE+vecP, vecH=(vecB-mu_0vecM)/mu_0$
CASO NON STAZIONARIO NEL VUOTO
1) $div vecE_0=rho/epsilon_0$
2) $div vecB_0=0$
3) $vec(rot)vecE_0=-(partialvecB_0)/(partialt)$
4) $vec(rot)vecB_0=mu_0vecJ+epsilon_0mu_0(partialvecE_0)/(partialt)$
CASO NON STAZIONARIO NELLA MATERIA
1) $div vecD=rho$
2) $div vecB=0$
3) $vec(rot)vecE=-(partialvecB_0)/(partialt)$
4) $vec(rot)vecH=vecJ+(partialvecD)/(partialt)$
in cui $vecD=epsilon_0vecE+vecP, vecH=(vecB-mu_0vecM)/mu_0$
Riguardo le dimostrazioni, vorrei evitare di basarmi solo sul libro perché sono mischiate insieme agli argomenti di cui si sta parlando. Qualcuno conosce un sito dove trovarle? Io pensavo di studiarmi le dimostrazioni delle equazioni di Maxwell nei casi non stazionari, e poi di eliminare i termini delle derivate parziali rispetto al tempo quando si parla dei casi stazionari (qualora non trovassi tutte le dimostrazioni!). Grazie.
CASO STAZIONARIO NEL VUOTO
1) $div vecE_0=rho/epsilon_0$
2) $div vecB_0=0$
3) $vec(rot)vecE_0=0$
4) $vec(rot)vecB_0=mu_0vecJ$
CASO STAZIONARIO NELLA MATERIA
1) $div vecD=rho$
2) $div vecB=0$
3) $vec(rot)vecE=0$
4) $vec(rot)vecH=vecJ$
in cui $vecD=epsilon_0vecE+vecP, vecH=(vecB-mu_0vecM)/mu_0$
CASO NON STAZIONARIO NEL VUOTO
1) $div vecE_0=rho/epsilon_0$
2) $div vecB_0=0$
3) $vec(rot)vecE_0=-(partialvecB_0)/(partialt)$
4) $vec(rot)vecB_0=mu_0vecJ+epsilon_0mu_0(partialvecE_0)/(partialt)$
CASO NON STAZIONARIO NELLA MATERIA
1) $div vecD=rho$
2) $div vecB=0$
3) $vec(rot)vecE=-(partialvecB_0)/(partialt)$
4) $vec(rot)vecH=vecJ+(partialvecD)/(partialt)$
in cui $vecD=epsilon_0vecE+vecP, vecH=(vecB-mu_0vecM)/mu_0$
Riguardo le dimostrazioni, vorrei evitare di basarmi solo sul libro perché sono mischiate insieme agli argomenti di cui si sta parlando. Qualcuno conosce un sito dove trovarle? Io pensavo di studiarmi le dimostrazioni delle equazioni di Maxwell nei casi non stazionari, e poi di eliminare i termini delle derivate parziali rispetto al tempo quando si parla dei casi stazionari (qualora non trovassi tutte le dimostrazioni!). Grazie.
Risposte
Riguardo le dimostrazioni, vorrei evitare di basarmi solo sul libro perché sono mischiate insieme agli argomenti di cui si sta parlando.
Il mio vuole essere solo un consiglio , eviterei di estraniare queste dimostrazioni dal loro contesto .
Quando l'hanno scorso ho studiato elettromagnetismo ricordo in realtà come tutti gli argomenti
presentassero un filo comune,tipo romanzo.
Se poi vuoi trovare queste dimostrazioni , ti posso consigliare 2 libri , che sicuramente tu conosci già,
ma tanto vale...
Mencuccini e Mazzoldi .
Come mi è stato detto tempo addietro (in riferimento a una tematica molto simile), le equazioni di Maxwell non possono essere dimostrate nel caso piu generale possibile. Puoi dimostrare il caso stazionario usando Coulomb e Biot-Savart, ma questo ragionamento non può valere nel caso generale (perchè E e B nel caso non stazionario non sono dati da Biot-Savart e Coulomb). In un certo senso le quattro equazioni di Maxwell stanno "prima" di Biot-Savart e Coulomb, esse sono il vero fatto sperimentale.
Se proprio si vuole scrivere una dimostrazione. si può scrivere la lagrangiana del campo elettromagnetico, ed estrarre da essa le 4 equazioni di Maxwell. Ma questo è stato fatto a "posteriori": è stata cioè cercata la lagrangiana che desse proprio loro. Perchè le eq. di Maxwell sono gli unici fatti ottenuti sperimentalmente.
Se proprio si vuole scrivere una dimostrazione. si può scrivere la lagrangiana del campo elettromagnetico, ed estrarre da essa le 4 equazioni di Maxwell. Ma questo è stato fatto a "posteriori": è stata cioè cercata la lagrangiana che desse proprio loro. Perchè le eq. di Maxwell sono gli unici fatti ottenuti sperimentalmente.
Il Picasso (Lezioni di fisica generale 2) riesce ad ottenere le equazioni di Maxwell prendendo come "postulati", ovvero come fatti sperimentali:
- La prima eq. di Maxwell, $\nabla\cdot D =\rho_l$, supposta vera anche nel caso non stazionario (e questa è un assunzione forte, perchè nel caso stazionario Coulomb mi para il sederino, ma chi mi dice che nel caso non stazionario questa continua a essere vera?)
- La relatività
- Le leggi di trasformazioni dei campi in presenza di simmetrie e di coniugazione di carica (ovvero, il potere fare i ragionamenti "per simmetria" che fai per calcolare E e B quando usi Gauss per esempio)
- L'assunzione piu forte di tutte: le leggi di trasformazioni dei campi per sistemi di riferimento non dipendono dal sistema che si sta studiando, ma sono le stesse per tutti i sistemi. Quest'assunzione legittima a "trovare" tali leggi di trasformazione per un sistema in particolare (per esempio un piano di carica infinito). Sappiamo per questo postulato che le eq. di trasformazione che troviamo varranno "per ogni sistema".
E infine
- Il campo magnetico B è indivergente (che è la III equazione!)
A questo punto la derivazione, che sembra tanto bella e formale, pecca di ridondanza e poca eleganza: quanti postulati! A sto punto si fa prima a prendere per sperimentali le 4 eq. di Maxwell direttamente. Meglio ancora, si prende la lagrangiana "giusta" e da essa si derivano le 4 equazioni di Maxwell.
- La prima eq. di Maxwell, $\nabla\cdot D =\rho_l$, supposta vera anche nel caso non stazionario (e questa è un assunzione forte, perchè nel caso stazionario Coulomb mi para il sederino, ma chi mi dice che nel caso non stazionario questa continua a essere vera?)
- La relatività
- Le leggi di trasformazioni dei campi in presenza di simmetrie e di coniugazione di carica (ovvero, il potere fare i ragionamenti "per simmetria" che fai per calcolare E e B quando usi Gauss per esempio)
- L'assunzione piu forte di tutte: le leggi di trasformazioni dei campi per sistemi di riferimento non dipendono dal sistema che si sta studiando, ma sono le stesse per tutti i sistemi. Quest'assunzione legittima a "trovare" tali leggi di trasformazione per un sistema in particolare (per esempio un piano di carica infinito). Sappiamo per questo postulato che le eq. di trasformazione che troviamo varranno "per ogni sistema".
E infine
- Il campo magnetico B è indivergente (che è la III equazione!)
A questo punto la derivazione, che sembra tanto bella e formale, pecca di ridondanza e poca eleganza: quanti postulati! A sto punto si fa prima a prendere per sperimentali le 4 eq. di Maxwell direttamente. Meglio ancora, si prende la lagrangiana "giusta" e da essa si derivano le 4 equazioni di Maxwell.
Voglio concludere con un altro "svantaggio" derivante dall'usare l'impostazione del post precedente. Sembra dare l'idea che "il campo magnetico" sia sempre e comunque generato da correnti (o da campo elettrico in sistemi di riferimento diversi). Ma ciò non è sempre vero. Esistono campi magnetici non generati da correnti, ma frutto di proprietà quantistiche della materia (il neutrone non ha carica, ma ha un momento magnetico: mistero!). Eppure le eq. di Maxwell sembrano del tutto valere anche in questi casi (e questo è un fatto puramente sperimentale)
Grazie dei consigli e delle informazioni. 
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