Dimostrazione semplificata della legge di gravitazione universale, mi perdo qualcosa...
Salve buona gente, studiando fisica I per l'esame al corso di ingegneria (da cui il "dimostrazione semplificata" 
) mi trovo ad affrontare un prepotente dilemma che mi priva del sonno. Vi espongo in quanto più breve possibile ciò che ho compreso, e il mio dubbio, che mi separa dall' happy ending.
L'obiettivo è quello di validare la legge di gravitazione universale passando dalle leggi di Keplero in una versione semplificata, ove tale semplificazione consiste nel supporre le orbite dei pianeti intorno al sole come circolari piuttosto che ellittiche. Poiché i pianeti del sistema solare hanno tutti una eccentricità orbitale più piccola di $0.25$ la semplificazione non risulta troppo restrittiva.
Nel caso di orbita circolare le tre leggi di Keplero assumono questa forma:
$\cdot1.$ I pianeti percorrono un'orbita circolare intorno al sole, che occupa il centro, ove i due fuochi dell'origine "collassano".
$\cdot2.$ I pianeti nel percorrere la traiettoria circolare presentano velocità angolare costante.
$\cdot3.$ Il quadrato del tempo impiegato per percorrere una intera circonferenza è direttamente proporzionale al cubo del raggio.
Detta $m_p$ la massa del sole, $\vec{F_{PS}}$ la forza esercitata dal sole sul pianeta, $\omega$ la velocità angolare e $r$ il raggio della circonferenza, $\hat{u}_r$ la direzione radiale (che congiunge il sole al pianeta, per il secondo principio della dinamica si deve avere che $\vec{F_{PS}} = m_p\omegar^2\hat{u}_r$
Poiché la velocità angolare è costante la si può scrivere in termini del suo periodo di rivoluzione: $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Inserendo nella formula di prima:
$\vec{F_{PS}} = m_p\frac{4\pi^2}{T^2}r\hat{u}_r$
Facciamo intervenire la terza legge di Keplero. Se tra $T^2$ e $r^3$ esiste proporzionalità diretta significa necessariamente che deve esistere una costante $k$ per cui $T^2 = kr^3$. Usando questa per riscrivere il denominatore si ottiene
$\vec{F_{PS}} = m_p\frac{4\pi^2}{kr^3}r\hat{u}_r = m_p\frac{4\pi^2}{kr^2}\hat{u}_r$.
Cerchiamo ora di trovare una espressione per la forza $\vec{F_{SP}}$ che il pianeta esercita sul sole: per il terzo principio della dinamica questa sarà vettorialmente opposta a $\vec{F_{PS}}$. Per ragioni di simmetria, riproducendo il medesimo ragionamento dal punto di vista del sole otteniamo una formula duale, tenendo anche in considerazione (non mi è chiaro il perché, delucidazioni?) che la costante che compare nella terza legge di Keplero non sarà necessariamente uguale a $k$, ma sarà piuttosto una nuova costante $k'$. Si arriva pertanto a scrivere che
$\vec{F_{SP}} = m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2}\hat{u}_r$.
Poiché $\vec{F_{SP}}$ e $\vec{F_{PS}}$ sono paralleli, valendo il terzo principio della dinamica, si deve avere che \(\begin{vmatrix}\vec{F_{PS}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{SP}} \end{vmatrix}\) e cioè
$m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2} = m_p\frac{4\pi^2}{kr^2} \to m_sk = m_pk' \to \frac{4\pi^2}{m_sk} = \frac{4\pi^2}{m_pk'}$
[size=150]Qui la mia incomprensione:[/size]
Il prof sostiene che possiamo chiamare questo valore $G$ e "sostituirlo" in una delle espressioni per i moduli di $\vec{F_{SP}}$ o $\vec{F_{PS}}$ per ottenere la legge di gravitazione universale: \(\begin{vmatrix}\vec{F} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{PS}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{SP}} \end{vmatrix} = G\frac{m_pm_s}{r^2}\).
Con che stregoneria si passa a quest'ultima forma? A cosa andrebbe sostituito $G$?. Sono fortemente perplesso...
) mi trovo ad affrontare un prepotente dilemma che mi priva del sonno. Vi espongo in quanto più breve possibile ciò che ho compreso, e il mio dubbio, che mi separa dall' happy ending.L'obiettivo è quello di validare la legge di gravitazione universale passando dalle leggi di Keplero in una versione semplificata, ove tale semplificazione consiste nel supporre le orbite dei pianeti intorno al sole come circolari piuttosto che ellittiche. Poiché i pianeti del sistema solare hanno tutti una eccentricità orbitale più piccola di $0.25$ la semplificazione non risulta troppo restrittiva.
Nel caso di orbita circolare le tre leggi di Keplero assumono questa forma:
$\cdot1.$ I pianeti percorrono un'orbita circolare intorno al sole, che occupa il centro, ove i due fuochi dell'origine "collassano".
$\cdot2.$ I pianeti nel percorrere la traiettoria circolare presentano velocità angolare costante.
$\cdot3.$ Il quadrato del tempo impiegato per percorrere una intera circonferenza è direttamente proporzionale al cubo del raggio.
Detta $m_p$ la massa del sole, $\vec{F_{PS}}$ la forza esercitata dal sole sul pianeta, $\omega$ la velocità angolare e $r$ il raggio della circonferenza, $\hat{u}_r$ la direzione radiale (che congiunge il sole al pianeta, per il secondo principio della dinamica si deve avere che $\vec{F_{PS}} = m_p\omegar^2\hat{u}_r$
Poiché la velocità angolare è costante la si può scrivere in termini del suo periodo di rivoluzione: $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Inserendo nella formula di prima:
$\vec{F_{PS}} = m_p\frac{4\pi^2}{T^2}r\hat{u}_r$
Facciamo intervenire la terza legge di Keplero. Se tra $T^2$ e $r^3$ esiste proporzionalità diretta significa necessariamente che deve esistere una costante $k$ per cui $T^2 = kr^3$. Usando questa per riscrivere il denominatore si ottiene
$\vec{F_{PS}} = m_p\frac{4\pi^2}{kr^3}r\hat{u}_r = m_p\frac{4\pi^2}{kr^2}\hat{u}_r$.
Cerchiamo ora di trovare una espressione per la forza $\vec{F_{SP}}$ che il pianeta esercita sul sole: per il terzo principio della dinamica questa sarà vettorialmente opposta a $\vec{F_{PS}}$. Per ragioni di simmetria, riproducendo il medesimo ragionamento dal punto di vista del sole otteniamo una formula duale, tenendo anche in considerazione (non mi è chiaro il perché, delucidazioni?) che la costante che compare nella terza legge di Keplero non sarà necessariamente uguale a $k$, ma sarà piuttosto una nuova costante $k'$. Si arriva pertanto a scrivere che
$\vec{F_{SP}} = m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2}\hat{u}_r$.
Poiché $\vec{F_{SP}}$ e $\vec{F_{PS}}$ sono paralleli, valendo il terzo principio della dinamica, si deve avere che \(\begin{vmatrix}\vec{F_{PS}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{SP}} \end{vmatrix}\) e cioè
$m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2} = m_p\frac{4\pi^2}{kr^2} \to m_sk = m_pk' \to \frac{4\pi^2}{m_sk} = \frac{4\pi^2}{m_pk'}$
[size=150]Qui la mia incomprensione:[/size]
Il prof sostiene che possiamo chiamare questo valore $G$ e "sostituirlo" in una delle espressioni per i moduli di $\vec{F_{SP}}$ o $\vec{F_{PS}}$ per ottenere la legge di gravitazione universale: \(\begin{vmatrix}\vec{F} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{PS}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{F_{SP}} \end{vmatrix} = G\frac{m_pm_s}{r^2}\).
Con che stregoneria si passa a quest'ultima forma? A cosa andrebbe sostituito $G$?. Sono fortemente perplesso...
Risposte
Nessuna idea? 
Non capisco la domanda e ho letto molto in fretta, ma mi pare che il professore, giustamente, imponga $G=(4pi^2)/(m_sk)=(4pi^2)/(m_pk')$
"professorkappa":
Non capisco la domanda e ho letto molto in fretta, ma mi pare che il professore, giustamente, imponga $G=(4pi^2)/(m_sk)=(4pi^2)/(m_pk')$
È così e la motivazione mi sembra coerente, ma poi dice di "sostituirlo" nella formula del modulo di una delle due forze. Il punto è che se lo sostituisco a qualcosa, quel qualcosa deve avere le medesime dimensioni di G, cioè $[l]^3[m]^{-1}[t]^{-2}$, ma non c'è niente che soddisfi questo requisito in $m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2}$ ad esempio. (Scusa la limitatezza della mia intuizione fisica).
Il senso in cui devi intendere la sostituzione è che devi ricavare la massa del pianeta (o del sole) in funzione di G e sostituire tale massa nella formula della forza (che contiene quella massa).
"mathbells":
Il senso in cui devi intendere la sostituzione è che devi ricavare la massa del pianeta (o del sole) in funzione di G e sostituire tale massa nella formula della forza (che contiene quella massa).
Ponendo $G = \frac{4\pi^2}{m_pk'}$ e invertendo la formula per esplicitare $m_p$ ottengo che $m_p = \frac{4\pi^2}{Gk'}$. Sostituendola nell'unica delle due in cui compare $m_p$, e cioè in $F_{PS} =m_p\frac{4\pi^2}{kr^2}$ ottengo che $F_{PS} = \frac{16\pi^4}{Gkk'r^2}$ che non è il risultato indicato. Dove sbaglio?
[size=150]EDIT[/size]
Il tuo suggerimento tuttavia mi ha spinto nella direzione giusta, ho intuito che dovessimo esprimere $k'$ in funzione di G per poi sostituirlo. Così otteniamo che $k' = \frac{4\pi^2}{Gm_p}$ che sostituito in $F_{SP} = m_s\frac{4\pi^2}{k'r^2}$ risulta in
$F_{SP} = m_s\frac{4\pi^2}{\frac{4\pi^2}{Gm_p}r^2} = G \frac{m_sm_p}{r^2}$
Grazie!
Sì hai ragione, mi ero confuso io.
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