Dimostrazione seconda legge di Klepero
ciao a tutti! come posso dimostrare la seconda legge di Klepero mediante la conservazione del momento angolare? sono arrivato fin qui: Iw1=I w2--->m r^2 w=m r^2 w2--> poi ho sostituto al posto di w v/r così arrivo a v1 r=v2 r ma non riesco più,potete aiutarmi? grazie mille!
Risposte
La seconda legge di Keplero afferma che la velocità areolare è costante ovvero
$$\frac{dA}{dt}=c$$
e ricordiamo che la conservazione del momento angolare ha certe conseguenze, ovvero la conservazione di direzione dello stesso implica che il piano su cui giace il moto è costante (cioè il moto è piano), la conservazione della direzione dello stesso implica che il moto avviene sempre nella stessa direzione, la conservazione del suo modulo infine implica come vediamo adesso la costanza della velocità areolare.
Il momento angolare (con polo coincidente con il fuoco occupato dal sole) è dato da
$$\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$$
inoltre essendo il moto piano, possiamo usare un sistema di coordinate polari e quindi esprimere la velocità come somma della velocità trasversa e di quella radiale
$$\vec{L}=\vec{r}\times m(\vec{v}_{r}+\vec{v}_{\theta})=\vec{r}\times m\vec{v}_{\theta}$$
dalla quale ricavi che il modulo di $\vec{L}$ vale $L=mr^{2}\frac{d\theta}{dt}$ (che ricordiamo essere costante. osserva che è il prodotto a essere costante non in generale ciascun fattore), e dal quale otteniamo ancora che
$$\frac{L}{m}=r^{2}\frac{d\theta}{dt}$$
Ricordando la definizione di velocità areolare
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\frac{L}{2m}$$
cioè la velocità areolare è appunto costante.
$$\frac{dA}{dt}=c$$
e ricordiamo che la conservazione del momento angolare ha certe conseguenze, ovvero la conservazione di direzione dello stesso implica che il piano su cui giace il moto è costante (cioè il moto è piano), la conservazione della direzione dello stesso implica che il moto avviene sempre nella stessa direzione, la conservazione del suo modulo infine implica come vediamo adesso la costanza della velocità areolare.
Il momento angolare (con polo coincidente con il fuoco occupato dal sole) è dato da
$$\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$$
inoltre essendo il moto piano, possiamo usare un sistema di coordinate polari e quindi esprimere la velocità come somma della velocità trasversa e di quella radiale
$$\vec{L}=\vec{r}\times m(\vec{v}_{r}+\vec{v}_{\theta})=\vec{r}\times m\vec{v}_{\theta}$$
dalla quale ricavi che il modulo di $\vec{L}$ vale $L=mr^{2}\frac{d\theta}{dt}$ (che ricordiamo essere costante. osserva che è il prodotto a essere costante non in generale ciascun fattore), e dal quale otteniamo ancora che
$$\frac{L}{m}=r^{2}\frac{d\theta}{dt}$$
Ricordando la definizione di velocità areolare
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\frac{L}{2m}$$
cioè la velocità areolare è appunto costante.
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