Dimostrazione potenziale dal campo elettrico

[Sk_Anonymous]

Poichè il campo elettrico è conservativo, la quantità \(\displaystyle \vec{E} \cdot d \vec{r} \) deve essere un differenziale esatto. Possiamo porre ad esempio

\(\displaystyle \vec{E} \cdot d \vec{r} = - dV \)

e usando le espressioni cartesiane per il prodotto scalare e per il differenziale:

\(\displaystyle E_x dx + E_y dy + E_z dz = - \frac{\partial V}{\partial x} dx - \frac{\partial V}{\partial y} dy - \frac{\partial V}{\partial z} dz \)

E fin qui ci sono. Ora perchè quella sopra è vera solo se

\(\displaystyle E_x = - \frac{\partial V}{\partial x} \) eccetera .... ?

Cioè se io ho: \(\displaystyle a \cdot x + b \cdot y = c \cdot x + d \cdot y \) questa può essere vera anche se \(\displaystyle a \neq c \). Infatti posto ad esempio \(\displaystyle x=1 \) \(\displaystyle y=2 \) ottengo

\(\displaystyle a + 2b = c + 2d \) e (1,2,3,1) è soluzione pur essendo \(\displaystyle 1 \neq 3 \)

[enr87]

dire che una forma differenziale (nel tuo caso E) è esatta significa dire (per definizione) che ad essa è associato un potenziale V tale che $grad V = E$. in matematica si dimostra che ciò è equivalente ad avere circuitazione sempre nulla per il campo, e dunque le due definizioni sono coerenti.
in fisica si aggiunge il segno meno, perchè le forze conservative tendono a far diminuire l'energia potenziale.

[Sk_Anonymous]

"enr87":dire che una forma differenziale (nel tuo caso E) è esatta significa dire (per definizione) che ad essa è associato un potenziale V tale che $grad V = E$. in matematica si dimostra che ciò è equivalente ad avere circuitazione sempre nulla per il campo, e dunque le due definizioni sono coerenti.
in fisica si aggiunge il segno meno, perchè le forze conservative tendono a far diminuire l'energia potenziale.

Si, ma il mio libro per definizione pone \( \vec{E} \cdot d\vec{r} = -dV \) e poi dimostra l'uguaglianza con il gradiente partendo da li. Se tu poni per definizione il campo E uguale all'opposto del gradiente salti a piè pari il mio problema

EDIT: Rileggendo il mio primo post, in effetti non sono affatto stato chiaro. Non capisco come da \( \vec{E} \cdot d\vec{r} = -dV \) si arrivi a \( \vec{E} = -\nabla V\). Quella che ho riportato è la dimostrazione fornita nel mio testo fino al punto che non capisco, che in pratica è anche l'ultimo passaggio.

RI-EDIT: Grazie della risposta comunque, e scusa se sono stato poco chiaro nell'esporre il mio problema

[enr87]

fare fisica 2 prima di analisi 2 secondo me non dà veramente l'idea di quello che si fa.
per tornare al tuo problema, la relazione deve essere valida comunque ti muovi nello spazio. cosa succede se non hai variazioni di y e z contemporaneamente (dunque ti muovi solamente lungo x), ad esempio?

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio, ho capito