Dimostrazione onde piane!
Salve a tutti. Ho una difficoltà a capire un passaggio per la dimostrazione delle onde piane. Partendo dalla eq. di Helmotz il nostro professore ci ha detto che essa ha soluzioni di questo tipo:
$Ex(f)=A*e^(-jkz)+B*e^(jkz)$ dove k=Numero d'onda.
Il professore ha inoltre voluto mostrarci come facendo l'antitrasformata si vede bene che ogni soluzione in frequenza è un'onda cosinusoidale nel tempo e, facendo l'antitrasformata è arrivato a questo:
$ex(t)=A*cos(\omega*t-k*z)+B*cos(\omega*t+kz)$
Qualcuno può spiegarmi come si passa dalla frequenza al tempo? Io passando anche per la definizione non sono riuscito a venirne a capo. Grazie 1000 come sempre!
$Ex(f)=A*e^(-jkz)+B*e^(jkz)$ dove k=Numero d'onda.
Il professore ha inoltre voluto mostrarci come facendo l'antitrasformata si vede bene che ogni soluzione in frequenza è un'onda cosinusoidale nel tempo e, facendo l'antitrasformata è arrivato a questo:
$ex(t)=A*cos(\omega*t-k*z)+B*cos(\omega*t+kz)$
Qualcuno può spiegarmi come si passa dalla frequenza al tempo? Io passando anche per la definizione non sono riuscito a venirne a capo. Grazie 1000 come sempre!
Risposte
Penso che il tuo prof. si riferisse alla trasformata di Fourier (c'è anche un altro modo di vedere le cose, che è quello della rappresentazione simbolica che a me piace di più).
Allora la F.T. di un coseno del tipo $s(t)=Acos(\omegat)$ è $S(f)=A/2[\delta(f+F)+\delta(f-F)]$ dove $F=\omega/(2\pi)$.
Per la regola di traslazione nel tempo che dice che $F.T.[s(t-T)]=F.T.[s(t)]e^(-j2\pifT)$ si ha che la trasformata di
$s(t)=Acos(\omegat-kz)$ è $S(f)=A/2[\delta(f+F)+\delta(f-F)]e^(-j2\pifkz)$.
A questo punto forse nella tua formula manca qualcosa. Oppure invece il tuo prof ha usato la rappresentazione simbolica (cosa che avrei fatto io), ma allora non parliamo più di trasformate... Con la rappresentazione simbolica il discorso sarebbe abbastanza più semplice, però non so se è il caso di farlo qui perché non so come il tuo prof abbia trattato la cosa.
Allora la F.T. di un coseno del tipo $s(t)=Acos(\omegat)$ è $S(f)=A/2[\delta(f+F)+\delta(f-F)]$ dove $F=\omega/(2\pi)$.
Per la regola di traslazione nel tempo che dice che $F.T.[s(t-T)]=F.T.[s(t)]e^(-j2\pifT)$ si ha che la trasformata di
$s(t)=Acos(\omegat-kz)$ è $S(f)=A/2[\delta(f+F)+\delta(f-F)]e^(-j2\pifkz)$.
A questo punto forse nella tua formula manca qualcosa. Oppure invece il tuo prof ha usato la rappresentazione simbolica (cosa che avrei fatto io), ma allora non parliamo più di trasformate... Con la rappresentazione simbolica il discorso sarebbe abbastanza più semplice, però non so se è il caso di farlo qui perché non so come il tuo prof abbia trattato la cosa.
Ummm ok credo di aver capito che esistono più strade per raggiungere la soluzione. Vediamo se riesco a spiegare meglio quello che voglio. Allora l'obiettivo è dimostrare che una generica soluzione della eq. di Helmotz è una cosinusoide nel tempo. Quindi il prof. ha preso la soluzione (nel dominio della frequenza) e, facendo l'antitrasformata di Fourier si è riportato nel tempo. Quello che non riesco a fare è questo calcolo... arrivo ad un certo punto che non è il risultato che voglio e, non so come proseguire.
Mi farebbe molto piacere se tu potessi scrivermi come la sai tu... perlomeno ho un parere! Grazie!
Mi farebbe molto piacere se tu potessi scrivermi come la sai tu... perlomeno ho un parere! Grazie!
Ma scusa, quella che tu hai indicato come fa a essere una soluzione nel dominio della frequenza visto che non compare nemmeno la f da qualche parte?
Ti ripeto che affinché esca un coseno nel domio del tempo è necessario che la soluzione nel dominio della frequenza abbia sì un esponenziale con esponente immaginario, però deve avere anche la f esplicitamente indicata all'esponente, nonché comprendere i due impulsi di dirac!!!
Se invece quella da te indicata fosse la rappresentazione simbolica (e non la trasformata di Fourier) allora ci saremmo, e mi spiego.
Nella rappresentazione simbolica il fattore $\omegat$ non si scrive perché si sottintende. E la funzione nel tempo risulta essere la parte reale della rappresentazione simbolica completa anche con questo fattore. Esempio:
La rappresentazione $\dotV=Ve^(j\phi)$ in realtà sottintende $\dotV=Ve^(j\phi)e^(j\omegat)$. Poiché vale la relazione $Ve^(j\phi)e^(j\omegat)=Ve^(j(\omegat+\phi))=V cos(\omegat+\phi)+jVsin(\omegat+\phi)$, si vede che la parte reale è proprio la funzione nel tempo simbolicamente rappresentata da $\dotV$.
Allora se la rappresentazione simbolica è $Ae^(jkz)$, si sottintende $Ae^(j(\omegat+kz))$, la cui parte reale è appunto $Acos(\omegat+kz)$
Ti ripeto che affinché esca un coseno nel domio del tempo è necessario che la soluzione nel dominio della frequenza abbia sì un esponenziale con esponente immaginario, però deve avere anche la f esplicitamente indicata all'esponente, nonché comprendere i due impulsi di dirac!!!
Se invece quella da te indicata fosse la rappresentazione simbolica (e non la trasformata di Fourier) allora ci saremmo, e mi spiego.
Nella rappresentazione simbolica il fattore $\omegat$ non si scrive perché si sottintende. E la funzione nel tempo risulta essere la parte reale della rappresentazione simbolica completa anche con questo fattore. Esempio:
La rappresentazione $\dotV=Ve^(j\phi)$ in realtà sottintende $\dotV=Ve^(j\phi)e^(j\omegat)$. Poiché vale la relazione $Ve^(j\phi)e^(j\omegat)=Ve^(j(\omegat+\phi))=V cos(\omegat+\phi)+jVsin(\omegat+\phi)$, si vede che la parte reale è proprio la funzione nel tempo simbolicamente rappresentata da $\dotV$.
Allora se la rappresentazione simbolica è $Ae^(jkz)$, si sottintende $Ae^(j(\omegat+kz))$, la cui parte reale è appunto $Acos(\omegat+kz)$
Ummm ok, quello che mi hai appena detto mi ha un pò illuminato. Effettivamente il prof. non ha detto se sottointendeva qualcosa e, visto che non lo ha detto io supponevo che non lo avesse fatto. Comunque nella soluzione che ho dato la dipendenza dalla frequenza c'è poiche:
$\k=\omega*sqrt(\mu*\epsilon)$
Ma non esiste una dimostrazione precisa delle onde piane? Cioè qualcosa di rigoroso che non lascia spazio al dubbio? E' una cosa così opinabile?
$\k=\omega*sqrt(\mu*\epsilon)$
Ma non esiste una dimostrazione precisa delle onde piane? Cioè qualcosa di rigoroso che non lascia spazio al dubbio? E' una cosa così opinabile?
"Ziko":
Ummm ok, quello che mi hai appena detto mi ha un pò illuminato. Effettivamente il prof. non ha detto se sottointendeva qualcosa e, visto che non lo ha detto io supponevo che non lo avesse fatto. Comunque nella soluzione che ho dato la dipendenza dalla frequenza c'è poiche:
$\k=\omega*sqrt(\mu*\epsilon)$
Uhmmm.... non sono convinto, perché la $\omega$ che dici tu non è la variabile della trasformata, bensì una quantità costante, quella che nel mio primo post ho chiamato $\omega=2\piF$.
Più ne parliamo e più mi convinco che il tuo prof intendeva dire: se prendiamo una equazione differenziale di Helmholtz e cerchiamo una particolare soluzione che abbia la forma $u(z,t)=e^(j\omegat)u(z)$, allora la u(z) risulta del tipo di quella che poi ha scritto. Dunque non di trasformate di Fourier trattava, ma di onde di tipo esponenziale nelle quali l'elemento temporale è separabile in questo modo. Allora vale la considerazione che ti ho fatto sul calcolo simbolico ecc. ecc.
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