Dimostrazione moto circolare

[ilyily87]

stavo facendo la dimostrazione del moto circolare...
nell'accelerazione normale perchè $vec omega\wedge(vec omega\wedgevecr) = -v^2/r * hatr$

qualcuno potrebbe scrivermi tutti i passagi per piacere?

i vettori proprio non li capisco

grazie

[cavallipurosangue]

Allora, prendi un punto nel piano (almeno credo) $P$ e fissa un sistema di versori fissi ${\veci,\vecj}$ di origine O. Il vettore $OP$ lo puoi esprimere in componenti rispetto a questo sistema: $OP=x\veci+y\vecj$.
Ora visto che parli di $\vecomega$ spero si tratti di un cospo rigido il soggetto della discussione... Comunque
Prendi ad esempio un secondo sistema di versori solidale al corpo rigido di origine $A$ ${\hati,\hatj}$. In questo nuovo sistema puoi esprimere le componenti del vettore posizione di P rispetto ad $A$:
$AP=x'\hati+y'\hatj$

Poi si puo direttamente procedere così (se si conoscono almeno le formula di Poisson):
$OP=OA+AP$

derivando ambo i membri rispetto al tempo:

$\vecv_P=\vecv_A+\vec\omega\wedgeAP$

Infatti in generale la derivata totale di un vettore è la derivata delle sue componenti espresse rispetto ad un sistema di versori qualsiasi più il prodotto delle componenti per la derivata dei versori stessi:
$(dAP)/(dt)=\dot(x')\hati+\dot(y')\hatj+x'(d\hati)/(dt)+y'(d\hatj)/(dt)$

Poi essendo il vettore solidale al corpo rigido e qindi al sistema di versori le derivate delle componenti sono nulle identicamente, mentre i due termini finali si esprimono attraverso le formule di Poisson così: $\vec\omega\wedgeAP$, come scritto più su.

Si ottiene così la formula fondamentale delle cinematica dei corpi rigidi :

$\vecv_P=\vecv_A+\vec\omega\wedgeAP$

Bene poi per ottenere la relazione per le accelerazioni (teorema di rivals) basta derivare di nuovo:

$veca_P=\veca_A+\dot{\vec\omega}\wedgeAP+\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedgeAP)$

questa è valida anche per atti di moto 3D, mentre nel caso 2D si semplifica, visto che la velocità angolare è sempre ortogonale al pano contente il corpo rigido.

$\vecomega=\dottheta\veck$ $\vec\omega\cdotAP=0$

Vite queste due considerazioni e visto che il doppio prodotto vettoriale si può esprimere anche: $\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedgeAP)=(\vec\omega\cdotAP)\vec\omega-\omega^2AP$

Si ottiene:

$veca_P=\veca_A+\dot{\vec\omega}\wedgeAP-\omega^2AP$

Essendo poi $\omega=v_p/(|OP|)$ ricavi il resto...