Dimostrazione generale campo elettrico conservativo

[abcde123451]

Ragazzi come si fa a dimostrare in modo generale che il campo elettrico è conservativo? Io consideravo il caso di una carica puntiforme e lo dimostravo ma oggi il prof ha chiesto di farlo nel modo più generale possibile

[abcde123451]

La butto lì:


Uso il teorema di Stokes:

$int( E_c ds)=int(rotF u_n dE)$ il primo è esteso a una linea chiusa, il secondo a una superficie E di contorno la linea chiusa
$E_c$ è il campo elettrico.

dimostro con calcoli presi dal libro che il rotore di $E_c$ è nullo quindi che l'integrale lungo una curva chiusa $int( E_c ds)$ che non è altro che la circuitazione fa zero e ciò dovrebbe garantirmi che il campo elettrostatico è conservativo giusto?

[abcde123451]

PS: è sempre vero che se la circuitazione di un generico campo è nulla allora esso è conservativo?

[CaMpIoN]

Wikipedia dice che: "Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo in un insieme semplicemente connesso, ad esempio, un insieme stellato o convesso, è che la circuitazione del campo, cioè l'integrale del campo lungo una linea chiusa, sia nulla".
Il campo vettoriale in questione è il campo elettrico.
Utilizza questa:
\(\displaystyle \oint_{\gamma} \mathbf{E}_0 \cdot d\mathbf{l}=0 \)
Credo che basti come dimostrazione generale in quanto si basa su una distribuzione di carica indipendente dal tempo.

[Sk_Anonymous]

Vorrei farei una piccola precisazione: campo elettrostatico.

[abcde123451]

Si ovviamente si parla di campo elettrostatico, scusate l'imprecisione, quindi come l'ho dimostrato io vale solo se E è definito in un semplicemente connesso, se volessi togliere questa limitazione come dovrei fare?

Io avevo pensato di estendere questo risultato dal caso di una carica puntiforme ad una distribuzione discreta tramite il principio di sovrapposizione , passando alla sommatoria per la distribuzione discreta, all'integrale per quella continua considerando dei volumetti infinitesimi