Dimostrazione formula velocità angolare
Buonasera a tutti, sto cercando una dimostrazione in rete della formula $v=omegaxr$ che nel libro da cui studio viene fuori intuitivamente, ma credo che ci sia una dimostrazione matematica. Sapreste aiutarmi per favore?
Risposte
Intendi questa ?
Si chiama radiante.$s=rtheta$
$ omega=(d theta)/dt $
Poi sai che la velocità tangenziale è
$ v_theta=vecomegaxxvecr $
$ omega=(d theta)/dt $
Poi sai che la velocità tangenziale è
$ v_theta=vecomegaxxvecr $
Ma perchè la velocità tangenziale risulta un vettore tridimensionale?
"Ma perchè la velocità tangenziale risulta un vettore tridimensionale?"
Innanzitutto sai la differenza tra speed e velocity? Se no, studiala da solo tanto è semplice.
Poi... sai cosa è una curva parametrica? Se si, allora è facile.
Prendiamo un moto circolare uniforme particolarmente semplice, supponiamo che lo puoi parametrizzare così $(cos(\t), sin(\t))$ (verifica su geogebra impostando uno slider e vedendo che il puntino fa una circonferenza)
Adesso hai il vettore posizione, per ottenere la velocità bisogna derivare, in questo caso devi derivare tutte le coordinate rispetto al tempo e... ottieni un vettore che ha come componenti le derivate del vettore posizione.
Ecco perché la velocità (velocity) è un vettore.
Innanzitutto sai la differenza tra speed e velocity? Se no, studiala da solo tanto è semplice.
Poi... sai cosa è una curva parametrica? Se si, allora è facile.
Prendiamo un moto circolare uniforme particolarmente semplice, supponiamo che lo puoi parametrizzare così $(cos(\t), sin(\t))$ (verifica su geogebra impostando uno slider e vedendo che il puntino fa una circonferenza)
Adesso hai il vettore posizione, per ottenere la velocità bisogna derivare, in questo caso devi derivare tutte le coordinate rispetto al tempo e... ottieni un vettore che ha come componenti le derivate del vettore posizione.
Ecco perché la velocità (velocity) è un vettore.
Data una qualunque traiettoria nello spazio, (che supponiamo essere una curva regolare) , riferita ad un sistema di coordinate cartesiane $O(x,y,z)$ (ma si possono usare anche altre coordinate, volendo, a seconda del problema da trattare) , e detto $P = P(t)$ un punto mobile su tale traiettoria , il vettore posizione di $P$ rispetto ad $O$ è funzione del tempo :
$(P-O)(t) = vecr(t)$
cioè , nel riferimento di coordinate detto, le componenti di $vecr(t)$ sono funzioni del tempo :
$x=x(t)$ ; $y=y(t)$ ; $z=z(t)$ ; quindi :
$vecr(t) = x(t)hati + y(t)hatj + z(t)hatk$
il vettore velocità è la derivata rispetto al tempo del vettore posizione ; quindi :
$vecv(t) = (dvecr(t))/(dt) = dotx(t) hati + doty(t) hatj + dotz(t) hatk $
il vettore velocità va calcolato naturalmente nel punto che ci interessa , cioè varia da punto a punto, ed è tangente alla traiettoria nel punto in esame . Perciò si può anche definire, nel punto, un versore tangente alla traiettoria $hatt$ , e scrivere :
$vecv = vhatt$
dove $v$ è la velocità scalare.
È chiaro che se la curva è piana, sia $vecr$ che $vecv$ giacciono nel piano.
Poco tempo fa abbiamo parlato con un altro utente del motivo per cui il vettore che si ottiene derivando rispetto al tempo è tangente alla curva, qui. Dai un’occhiata.
$(P-O)(t) = vecr(t)$
cioè , nel riferimento di coordinate detto, le componenti di $vecr(t)$ sono funzioni del tempo :
$x=x(t)$ ; $y=y(t)$ ; $z=z(t)$ ; quindi :
$vecr(t) = x(t)hati + y(t)hatj + z(t)hatk$
il vettore velocità è la derivata rispetto al tempo del vettore posizione ; quindi :
$vecv(t) = (dvecr(t))/(dt) = dotx(t) hati + doty(t) hatj + dotz(t) hatk $
il vettore velocità va calcolato naturalmente nel punto che ci interessa , cioè varia da punto a punto, ed è tangente alla traiettoria nel punto in esame . Perciò si può anche definire, nel punto, un versore tangente alla traiettoria $hatt$ , e scrivere :
$vecv = vhatt$
dove $v$ è la velocità scalare.
È chiaro che se la curva è piana, sia $vecr$ che $vecv$ giacciono nel piano.
Poco tempo fa abbiamo parlato con un altro utente del motivo per cui il vettore che si ottiene derivando rispetto al tempo è tangente alla curva, qui. Dai un’occhiata.
Basta scrivere il vettore tangente in coordinate polari, e farne la derivata .
"Capitan Harlock":
Basta scrivere il vettore tangente in coordinate polari, e farne la derivata .
Ma il vettore tangente è proprio quello che cerchiamo. Se lo derivi rispetto al tempo, stai trovando l’accelerazione, non la velocità.
Tanto lo so che hai capito che stavo parlando di come vedere l'ortogonalità facilmente in un moto circolare .
Grazie a tutti, ora è chiaro.
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