Dimostrazione formula per la profondità apparente.
Salve a tutti, spero possiate darmi una mano.
Devo dimostrare questa formula per la profondità apparente $d'$ vista da un osservatore posto in aria sulla verticale di un'oggetto immerso in acqua a profondità $d$:
$ d' = d(n_(aria)/n_(acqua)) $
Ma i conti non mi tornano... vi allego uno schema (ripreso in parte dal libro) e vi scrivo la dimostrazione che ho tentato di seguire:
l'immagine è al link: http://i59.tinypic.com/2py2fpe.jpg
L'oggetto è il punto posto sul fondo a profondità reale $d$. Da esso partono due raggi luminosi che vengono rifratti arrivati in aria. I raggi rifratti formano con la normale della superficie di separazione un angolo $\theta$ segnato in nero. Se prolungo i raggi rifratti nell'acqua noto che essi si intersecano in un punto, che è il punto da cui essi sembrano provenire: allora questo punto sarà posto alla profondità $d'$. Ho preso in considerazione quindi i due triangoli segnati uno in rosso e l'altro in blu. Il triangolo in blu ha per ipotenusa il raggio reale incidente che forma con la normale l'angolo di incidenza $\theta'$. Il triangolo in rosso invece ha per ipotenusa il raggio virtuale che forma con la normale l'angolo $\theta''$, che è equivalente a $\theta$ poichè angoli opposti al vertice. I triangoli hanno congruente il cateto minore $x$, essendo il punto virtuale sulla verticale di quello reale. Pertanto ho scritto:
$tan(\theta') = x/d$ e $tan(\theta'') = x/(d')$.
Ricordando che $x$ è uguale in entrambi i triangoli e che $\theta''$ è uguale a $\theta$, si ha
$d tan(\theta') = d' tan(\theta)$ da cui
$d sin(\theta')/cos(\theta') = d' sin(\theta)/cos(\theta)$
$sin(\theta')$ e $sin(\theta)$ sono legati dalla legge di Snell, infatti
$ n_(acqua) sin(\theta') = n_(aria) sin(\theta)$ da cui
$sin(\theta') = (n_(aria) sin(\theta))/n_(acqua)$, sostituendo nella relazione di prima e semplificando si ottiene
$d n_(aria)/(n_(acqua)cos(\theta')) = (d')/cos(\theta)$
In pratica ci sono questi coseni in più... dove sbaglio? FOrse possono essere considerati uguali a $1$ perchè gli angoli sono molto piccoli?
Devo dimostrare questa formula per la profondità apparente $d'$ vista da un osservatore posto in aria sulla verticale di un'oggetto immerso in acqua a profondità $d$:
$ d' = d(n_(aria)/n_(acqua)) $
Ma i conti non mi tornano... vi allego uno schema (ripreso in parte dal libro) e vi scrivo la dimostrazione che ho tentato di seguire:
l'immagine è al link: http://i59.tinypic.com/2py2fpe.jpg
L'oggetto è il punto posto sul fondo a profondità reale $d$. Da esso partono due raggi luminosi che vengono rifratti arrivati in aria. I raggi rifratti formano con la normale della superficie di separazione un angolo $\theta$ segnato in nero. Se prolungo i raggi rifratti nell'acqua noto che essi si intersecano in un punto, che è il punto da cui essi sembrano provenire: allora questo punto sarà posto alla profondità $d'$. Ho preso in considerazione quindi i due triangoli segnati uno in rosso e l'altro in blu. Il triangolo in blu ha per ipotenusa il raggio reale incidente che forma con la normale l'angolo di incidenza $\theta'$. Il triangolo in rosso invece ha per ipotenusa il raggio virtuale che forma con la normale l'angolo $\theta''$, che è equivalente a $\theta$ poichè angoli opposti al vertice. I triangoli hanno congruente il cateto minore $x$, essendo il punto virtuale sulla verticale di quello reale. Pertanto ho scritto:
$tan(\theta') = x/d$ e $tan(\theta'') = x/(d')$.
Ricordando che $x$ è uguale in entrambi i triangoli e che $\theta''$ è uguale a $\theta$, si ha
$d tan(\theta') = d' tan(\theta)$ da cui
$d sin(\theta')/cos(\theta') = d' sin(\theta)/cos(\theta)$
$sin(\theta')$ e $sin(\theta)$ sono legati dalla legge di Snell, infatti
$ n_(acqua) sin(\theta') = n_(aria) sin(\theta)$ da cui
$sin(\theta') = (n_(aria) sin(\theta))/n_(acqua)$, sostituendo nella relazione di prima e semplificando si ottiene
$d n_(aria)/(n_(acqua)cos(\theta')) = (d')/cos(\theta)$
In pratica ci sono questi coseni in più... dove sbaglio? FOrse possono essere considerati uguali a $1$ perchè gli angoli sono molto piccoli?
Risposte
devi approssimare per $theta$ piccoli
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