Dimostrazione famosa formula E=mc^2
In uno dei miei libri che uso come studio per prepararmi all'università, c'è la dimostrazione della nota formula $E=mc^2$ a partire dall'energia cinetica relativistica. Ma non riesco a capire come il libro ottenga il risultato...
Parte dal fatto che il lavoro $W$, compiuto da una forza $F$ su una particella accelerata da ferma ad una velocità $v$, lungo la direzione dello spostamento, sarà uguale alla variazione dell'energia cinetica $W=\Delta K = K_f - K_i = K_f$.
Ora il lavoro è uguale anche all'integrale fra le due posizioni $x_i$, $x_f$ della forza rispetto ad uno spostamento infinitesimale $dx$ quindi:
$W=\int_{x_i} ^{x_f} F dx $
La forza è uguale alla variazione di quantità di moto nel tempo, $F= {dp}/{dt}$ quindi l'integrale diventa $W=\int_{x_i} ^{x_f} {dp}/{dt} dx $
Sappiamo anche che $ p=(m*v)/sqrt(1- v^2 / c^2)$.
Fino a questo punto ho capito, ma poi non riesco a capire come procedere per ottenere:
$(dp)/dt =m((dv)/dt)/ (1-v^2 / c^2) ^ (3/2)$
$K=\int_0 ^ {t} (m((dv)/dt) v dt)/(1- v^2 / c^2) ^ (3/2) = m*\int_0 ^ {v} v/(1- v^2 / c^2)^(3/2) dv $
Dal calcolo integrale viene fuori che $K=(mc^2)/sqrt(1-v^2 /c^2) - m c^2$ ma non spiega perché $m c^2$ viene chiamata energia a riposo.
Qualcuno potrebbe dimostrarmi questa formula, seguendo se è possibile la stessa strada del libro e con tutti i passaggi?
Grazie mille!
Parte dal fatto che il lavoro $W$, compiuto da una forza $F$ su una particella accelerata da ferma ad una velocità $v$, lungo la direzione dello spostamento, sarà uguale alla variazione dell'energia cinetica $W=\Delta K = K_f - K_i = K_f$.
Ora il lavoro è uguale anche all'integrale fra le due posizioni $x_i$, $x_f$ della forza rispetto ad uno spostamento infinitesimale $dx$ quindi:
$W=\int_{x_i} ^{x_f} F dx $
La forza è uguale alla variazione di quantità di moto nel tempo, $F= {dp}/{dt}$ quindi l'integrale diventa $W=\int_{x_i} ^{x_f} {dp}/{dt} dx $
Sappiamo anche che $ p=(m*v)/sqrt(1- v^2 / c^2)$.
Fino a questo punto ho capito, ma poi non riesco a capire come procedere per ottenere:
$(dp)/dt =m((dv)/dt)/ (1-v^2 / c^2) ^ (3/2)$
$K=\int_0 ^ {t} (m((dv)/dt) v dt)/(1- v^2 / c^2) ^ (3/2) = m*\int_0 ^ {v} v/(1- v^2 / c^2)^(3/2) dv $
Dal calcolo integrale viene fuori che $K=(mc^2)/sqrt(1-v^2 /c^2) - m c^2$ ma non spiega perché $m c^2$ viene chiamata energia a riposo.
Qualcuno potrebbe dimostrarmi questa formula, seguendo se è possibile la stessa strada del libro e con tutti i passaggi?
Grazie mille!
Risposte
Ciao . Provo a dissipare qualche tuo dubbio, senza farla troppo difficile .
Prima di ogni cosa, diciamo che stiamo parlando del moto unidimensionale di una particella di massa invariante $m$, la cui quantità di moto relativistica, parte spaziale, si scrive :
$p = (mv)/sqrt(1-(v/c)^2) = \gamma mv $
dove la velocità , diretta lungo un asse che prendiamo come asse $x$ spaziale , è funzione del tempo dell'osservatore , che si chiama anche "tempo coordinato " : $v=v(t)$ . Perciò si puo evitare di introdurre il vettore $vecv$ , e considerare solo la quantità scalare $v$ , componente del vettore sull'asse del moto.
La legge del moto di Newton : $ F = (dp)/(dt) $ , si deve adattare , in relatività, ai risultati sperimentali , i quali portano a concludere che essa si può ancora applicare, a patto di scrivere la quantità di moto relativistica:
$F = d/(dt) (mv)/sqrt(1-(v/c)^2) $
Essendo la massa invariante, la togliamo di mezzo ponendo : $m=1$ , perché dà fastidio nei calcoli. Dopo si può sempre moltiplicare per $m$ . Perciò , scrivo :
$p = (v(t))/sqrt(1-((v(t))/c)^2)$ , dove ho evidenziato che la velocità è funzione del tempo coordinato. Calcolo ora la derivata di $p$ rispetto a $t$ , come al solito, tenero conto che si deve derivare un rapporto di funzioni di $t$ :
$ d/(dt) (v)/sqrt(1-(v/c)^2) = (((dv)/dt)*sqrt(1-(v/c)^2) - v* d/(dt)sqrt(1-(v/c)^2) )/(1-(v/c)^2$
a parte calcolo la derivata della radice quadrata che compare nel secondo termine al numeratore :
$d/(dt)(1-(v/c)^2)^(1/2) = 1/2(1-(v/c)^2)^(1/2-1)*(-2v/c^2)*(dv)/(dt) = ((-v/c^2)(dv)/(dt))/sqrt(1-(v/c)^2) $
sostituisco nella precedente , e ottengo (salto alcuni passaggi facili) :
$ d/(dt) (v)/sqrt(1-(v/c)^2) = ( (dv)/(dt)* (1-(v/c)^2) +v^2/c^2* (dv)/(dt) )/((1-(v/c)^2)*(1-(v/c)^2)^(1/2) ) = ((dv)/(dt))/ (1-(v/c)^2)^(3/2) $
e questo è il calcolo, che non ti era chiaro, della derivata di $p $ (relativistica!) rispetto al tempo dell'osservatore.
Adesso, il calcolo di $K$ viene fuori , come hai scritto, dal teorema dell'energia cinetica, che vale anche in meccanica relativistica : il lavoro delle forze agenti su $m$ è uguale alla variazione di energia cinetica di $m$ . L'integrale definito che hai scritto , e cioè :
$ K = m*\int_0 ^ {v} v/(1- v^2 / c^2)^(3/2) dv $
è uguale a $ m[c^2/sqrt(1-(v/c)^2)]_0^v = \gamma(v)*mc^2 - mc^2 $
Quindi si può scrivere : $ E = \gammamc^2 = K + mc^2 $ , dando ad $E$ il significato di energia totale della particella in moto.
Evidentemente, quando la particella è ferma rispetto all'osservatore la sua energia cinetica è nulla, e $\gamma = 1 $ . LA quantità $E = K + mc^2 $ però non si annulla , poichè rimane :
cioè , la particella pur essendo in quiete rispetto all'osservatore ha un contenuto di energia, detta energia di riposo ( da cui il pedice "0" messo accanto ad $E$ ) o energia di massa, uguale al prodotto : $mc^2 $ .
E questa è l'equazione piu famosa del mondo , trovata da Einstein. Ma bisogna scriverla bene : non è l'energia totale della particella , è quella di quiete.
Spero sia tutto chiaro.
Prima di ogni cosa, diciamo che stiamo parlando del moto unidimensionale di una particella di massa invariante $m$, la cui quantità di moto relativistica, parte spaziale, si scrive :
$p = (mv)/sqrt(1-(v/c)^2) = \gamma mv $
dove la velocità , diretta lungo un asse che prendiamo come asse $x$ spaziale , è funzione del tempo dell'osservatore , che si chiama anche "tempo coordinato " : $v=v(t)$ . Perciò si puo evitare di introdurre il vettore $vecv$ , e considerare solo la quantità scalare $v$ , componente del vettore sull'asse del moto.
La legge del moto di Newton : $ F = (dp)/(dt) $ , si deve adattare , in relatività, ai risultati sperimentali , i quali portano a concludere che essa si può ancora applicare, a patto di scrivere la quantità di moto relativistica:
$F = d/(dt) (mv)/sqrt(1-(v/c)^2) $
Essendo la massa invariante, la togliamo di mezzo ponendo : $m=1$ , perché dà fastidio nei calcoli. Dopo si può sempre moltiplicare per $m$ . Perciò , scrivo :
$p = (v(t))/sqrt(1-((v(t))/c)^2)$ , dove ho evidenziato che la velocità è funzione del tempo coordinato. Calcolo ora la derivata di $p$ rispetto a $t$ , come al solito, tenero conto che si deve derivare un rapporto di funzioni di $t$ :
$ d/(dt) (v)/sqrt(1-(v/c)^2) = (((dv)/dt)*sqrt(1-(v/c)^2) - v* d/(dt)sqrt(1-(v/c)^2) )/(1-(v/c)^2$
a parte calcolo la derivata della radice quadrata che compare nel secondo termine al numeratore :
$d/(dt)(1-(v/c)^2)^(1/2) = 1/2(1-(v/c)^2)^(1/2-1)*(-2v/c^2)*(dv)/(dt) = ((-v/c^2)(dv)/(dt))/sqrt(1-(v/c)^2) $
sostituisco nella precedente , e ottengo (salto alcuni passaggi facili) :
$ d/(dt) (v)/sqrt(1-(v/c)^2) = ( (dv)/(dt)* (1-(v/c)^2) +v^2/c^2* (dv)/(dt) )/((1-(v/c)^2)*(1-(v/c)^2)^(1/2) ) = ((dv)/(dt))/ (1-(v/c)^2)^(3/2) $
e questo è il calcolo, che non ti era chiaro, della derivata di $p $ (relativistica!) rispetto al tempo dell'osservatore.
Adesso, il calcolo di $K$ viene fuori , come hai scritto, dal teorema dell'energia cinetica, che vale anche in meccanica relativistica : il lavoro delle forze agenti su $m$ è uguale alla variazione di energia cinetica di $m$ . L'integrale definito che hai scritto , e cioè :
$ K = m*\int_0 ^ {v} v/(1- v^2 / c^2)^(3/2) dv $
è uguale a $ m[c^2/sqrt(1-(v/c)^2)]_0^v = \gamma(v)*mc^2 - mc^2 $
Quindi si può scrivere : $ E = \gammamc^2 = K + mc^2 $ , dando ad $E$ il significato di energia totale della particella in moto.
Evidentemente, quando la particella è ferma rispetto all'osservatore la sua energia cinetica è nulla, e $\gamma = 1 $ . LA quantità $E = K + mc^2 $ però non si annulla , poichè rimane :
[size=150]$E_0 = mc^2$ [/size]
cioè , la particella pur essendo in quiete rispetto all'osservatore ha un contenuto di energia, detta energia di riposo ( da cui il pedice "0" messo accanto ad $E$ ) o energia di massa, uguale al prodotto : $mc^2 $ .
E questa è l'equazione piu famosa del mondo , trovata da Einstein. Ma bisogna scriverla bene : non è l'energia totale della particella , è quella di quiete.
Spero sia tutto chiaro.
Grazie mille, è stato molto chiaro!
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