Dimostrazione equazione di Varignon
Ciao a tutti.
Ho da poco iniziato a studiare fisica e matematica quindi sono un principiante e volevo chiedere se qualcuno può illuminarmi su una piccola dimostrazione. Sul mio libro di meccanica è riportata una figura simile a quella sottostante:
Il punto O al centro (al di sotto dell'angolo) risulta in equilibrio statico se le tre masse soddisfano la relazione:
$m_3^2=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2cos(\beta)$
Questa relazione viene ricavata nel modo seguente:
Considerando i tre vettori in O possiamo scrivere le condizioni per l'equilibrio attraverso le componenti verticali e orizzotali:
$m_3g=m_1gcos\alpha_1+m_2gcos\alpha_2 $
$m_1gsen\alpha_1=m_2gsen\alpha_2 $ con $\alpha_1+\alpha_2=\beta$
Successivamente dalla somma dei quadrati delle due relazioni di equilibrio si ottiene la condizione scritta sopra. Io non riesco a ottenerla e vorrei chiedere se qualcuno mi può mostrare i vari passaggi. La dimostrazione l'ho fatta comunque con un altro metodo. Ovvero considerando che i vettori geometricamente devono potersi disporre in modo da formare una poligonale chiusa (un triangolo in questo caso)in quanto l'ipotesi è che la risultante sia nulla, e quindi si valutano solo i moduli dei vettori. Successivamente ponendo $c=m_3g=m_1g+m_2g$ attraverso il prodotto scalare $\vec c * \vec c$ ottengo la relazione ricercata(a me sembra corretto come metodo). Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
PS:mi potreste anche consigliare su come disegnare i vettori?
Ho da poco iniziato a studiare fisica e matematica quindi sono un principiante e volevo chiedere se qualcuno può illuminarmi su una piccola dimostrazione. Sul mio libro di meccanica è riportata una figura simile a quella sottostante:
Il punto O al centro (al di sotto dell'angolo) risulta in equilibrio statico se le tre masse soddisfano la relazione:
$m_3^2=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2cos(\beta)$
Questa relazione viene ricavata nel modo seguente:
Considerando i tre vettori in O possiamo scrivere le condizioni per l'equilibrio attraverso le componenti verticali e orizzotali:
$m_3g=m_1gcos\alpha_1+m_2gcos\alpha_2 $
$m_1gsen\alpha_1=m_2gsen\alpha_2 $ con $\alpha_1+\alpha_2=\beta$
Successivamente dalla somma dei quadrati delle due relazioni di equilibrio si ottiene la condizione scritta sopra. Io non riesco a ottenerla e vorrei chiedere se qualcuno mi può mostrare i vari passaggi. La dimostrazione l'ho fatta comunque con un altro metodo. Ovvero considerando che i vettori geometricamente devono potersi disporre in modo da formare una poligonale chiusa (un triangolo in questo caso)in quanto l'ipotesi è che la risultante sia nulla, e quindi si valutano solo i moduli dei vettori. Successivamente ponendo $c=m_3g=m_1g+m_2g$ attraverso il prodotto scalare $\vec c * \vec c$ ottengo la relazione ricercata(a me sembra corretto come metodo). Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
PS:mi potreste anche consigliare su come disegnare i vettori?
Risposte
Buongiorno.
Non c'è proprio nessuno che potrebbe aiutarmi a migliorare? so che è un problema banale ma vorrei farcela.
Facendo la somma dei quadrati ottengo:
$m_3^2+m_1^2sen^2(\alpha_1)=m_1^2cos^2(\alpha_1)+m_2^2cos^2(\alpha_2)+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2)+m_2^2sen^2(\alpha_2) rArr $
$m_3^2=m_1^2[cos^2(\alpha_1)-sen^2(\alpha_1)]+m_2^2[cos^2(\alpha_2)+sen^2(\alpha_2)]+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2) rArr $
$ m_3^2=m_1^2 cos(2\alpha_1)+m_2^2+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2) $
da qui non so come ottenere la relazione scritta nel primo post.
Non c'è proprio nessuno che potrebbe aiutarmi a migliorare? so che è un problema banale ma vorrei farcela.
Facendo la somma dei quadrati ottengo:
$m_3^2+m_1^2sen^2(\alpha_1)=m_1^2cos^2(\alpha_1)+m_2^2cos^2(\alpha_2)+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2)+m_2^2sen^2(\alpha_2) rArr $
$m_3^2=m_1^2[cos^2(\alpha_1)-sen^2(\alpha_1)]+m_2^2[cos^2(\alpha_2)+sen^2(\alpha_2)]+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2) rArr $
$ m_3^2=m_1^2 cos(2\alpha_1)+m_2^2+2m_1m_2cos(\alpha_1)cos(\alpha_2) $
da qui non so come ottenere la relazione scritta nel primo post.
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