Dimostrazione energia elettrostatica.

[Augosoma]

Ciao a tutti,
ho un problema con una dimostrazione sul E.P.E., nell'ultimo passaggio non mi torna una cosa. Premetto che il sistema utilizzato è quello gaussiano.

Una volta arrivato a scrivere:
W=1/2 int( ro(x)V(x)dx )

sfruttando l'equazione di poisson possiamo riscrivere (con L intendo il laplaciano):

W=-1/8pigreco int ( V(x) L(V(x)) dx )

ora non mi torna perchè dice integrando per parti con integrazione estesa a tutto lo spazio si ottiene:

W=1/8pigreco int (|gradiente(V(x))|^2 dx ) (1)

Ora provo ha integrare per parti, alla fine quello che troviamo è simile alla prima identità di green, giusto? cioè:

div V*grad(V) = grad(V)°grad(V) + V*L(V) (2)
con ° ho inteso prodotto scalare.

integrando e porando dall altra parte il prodotto scalare otteniamo il nostro inegrali per parti, allora in teoria in (1) pone l'integrale del primo membro di (2) uguale a 0. perchè?

Ciao e ringrazio in anticipo a chi mi darà una mano.

[antani2]

non ho capito niente delle formule ma soprattutto...cos'è il sistema gaussiano?? me lo puoi spiegare:-D e cos'è W e tutto il resto:-D?

[Eredir]

"Augosoma":Ciao a tutti,
ho un problema con una dimostrazione sul E.P.E., nell'ultimo passaggio non mi torna una cosa. Premetto che il sistema utilizzato è quello gaussiano.

Una volta arrivato a scrivere:
$W=1/2 \int_{\RR^3} \rho(\vec{x})V(\vec{x})d^3x$

sfruttando l'equazione di poisson possiamo riscrivere:

$W=-1/8 \pi \int_{\RR^3} V(\vec{x}) \nabla^2V(\vec{x}) d^3x$

ora non mi torna perchè dice integrando per parti con integrazione estesa a tutto lo spazio si ottiene:

$W=1/8 \pi \int_{\RR^3} |\nablaV(\vec{x})|^2 d^3x$ (1)

Ora provo ha integrare per parti, alla fine quello che troviamo è simile alla prima identità di green, giusto? cioè:

$\nabla (V * \nabla V) = (\nabla V) * (\nabla V) + V*\nabla^2 V$ (2)

integrando e porando dall altra parte il prodotto scalare otteniamo il nostro inegrali per parti, allora in teoria in (1) pone l'integrale del primo membro di (2) uguale a 0. perchè?

Ciao e ringrazio in anticipo a chi mi darà una mano.

Dopo aver usato quell'identità sfrutta il teorema della divergenza, ovvero $\int_V \nabla F(\vec{x}) dV = \int_S F(\vec{x})*\hat{n} dS$. In questo modo ti accorgi che il contributo dell'integrale superficiale è nullo, in quanto il potenziale a distanza infinita è convenzionalmente posto come nullo.

Quindi $W = -1/8 \pi \int_{\RR^3} \nabla [V(\vec{x}) * \nabla V(\vec{x})] d^3x + 1/8 \pi \int_{\RR^3} |\nablaV(\vec{x})|^2 d^3x = 1/8 \pi \int_{\RR^3} |\nablaV(\vec{x})|^2 d^3x$.

P.S: Ho riscritto le formule usando MathML, ti consiglio vivamente di utilizzarlo altrimenti difficilmente riceverai molte risposte.

[Augosoma]

grazie mille della risposta.
la prossima volta userò mathml.
ciao.